婺源县2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试卷
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1．图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B．3 C． D．51
3．已知直线，是函数图像相邻的两条对称轴，将的图像向右平移个单位长度后，得到函数的图像．若在上恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆，对于直线上的任意一点，圆上都不存在两点、使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图三棱柱中，是棱的中点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．记正整数的最大公约数为，例如，．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．50 B．75 C．100 D．1275
8．已知函数，设，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9．已知，且，下列正确的有（ ）
A．的最小值为9 B．
C．的最小值为0 D．若，则
10．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．函数的图像关于直线对称
C．将图象上所有点向右平移个单位长度，可得图象
D．若，则
11．已知椭圆： 的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当时，的最大值为
C．存在点，使得
D．的最小值为1
12．设定义在上的函数的导函数为，若与均为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．2为的一个周期
C．的图象关于对称 D．为偶函数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，且，则的最小值是 .
14．已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 ．
15．已知双曲线的两条渐近线方程为，并且经过点，则该双曲线的标准方程是 .
16．已知函数，则 .
四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知定义在上的函数满足：①对，，；②当时，；③.
(1)求，判断并证明的单调性；
(2)若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）如图，已知平面平面，四边形是矩形，，点，分别是，的中点.
(1)若点为线段中点，求证：平面；
(2)求证：平面.
19．（12分）如图，在中，，E是AD的中点，设，．
(1)试用，表示，；
(2)若，与的夹角为，求．
20．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为，乙得分的概率为；若乙发球，乙得分的概率为，甲得分的概率为．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．
(1)求第三回合甲发球的概率；
(2)设前三个回合中，甲的总得分为，求的分布列及期望．
21．（12分）已知数列为等比数列，在数列中，，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和.
22．（12分）已知函数（）满足：，，且当时，．
(1)求a的值；
(2)求的解集；
(3)设，（），若，求实数m的值．高三数学参考答案
1．B
【详解】由韦恩图，图中阴影部分表示的集合为：.
故选：B
2．B
【详解】由题意，定义域关于原点对称，则，解得，
则，又是偶函数，
则，即，解得，
则，，
则.
故选：B.
3．A
【详解】因为直线，是函数图像相邻的两条对称轴，
所以的周期为，又，所以，得到，所以，
由，得到，
令，得到，令，得到，令，得到，令，得到，
又在上恰有三个不同的零点，则，得到，
故选：A.
4．C
【详解】由题意，解得或（舍去），
从而，，
所以.
故选：C.
5．B
【详解】如下图所示：
圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，
考虑、都与圆相切，
此时，由切线长定理可知，，
又因为，，则，
设，则，
因为，则，故当时，最大，此时，最大，
因为对于直线上的任意一点，
圆上都不存在两点、使得，则，可得，
则，可得，解得或.
故选：B.
6．B
【详解】由已知可得，
因为为棱的中点，则.
故选：B.
7．B
【详解】依题意，，
以此类推……，可知当时：
当为奇数时，当为偶数时，，
所以.
故选：B
8．A
【详解】当时，，证明如下：
令在单调递减，所以，故，因此，
设则当时单调递减，当时，单调递增，故当，故当等号成立，
故
构造函数，则，
所以函数单调递减，故，
则，进而可得，
进而可得，
又，（证明如下：故在单调递减，故）
所以，进而，
由于时，，故，
从而
因此，进而，
由于，所以在上单调递增，
故，即
故选：A
9．ABD
【详解】对选项A：，
当且仅当，即，时等号成立，正确；
对选项B：，即，
当且仅当，即时等号成立，正确；
对选项C：.
当且仅当，即时成立，不成立，故等号不成立，错误；
对选项D：，，要证，即，即，
成立，正确；
故选：ABD
10．BCD
【详解】因为，故错误；
函数的对称轴为，，得，，
所以函数的图像关于直线对称，故正确；
由题意知，所将图像上所有点向右平移个单位，得，故正确；
因为，且，所以，所以，
因为，得，故正确.
故选：.
11．ABD
【详解】对于A项：因为点在椭圆内部，所以，得，
所以得：，故A项正确；
对于B项：由椭圆定义知，
当在轴下方时，且，，三点共线时，有最大值，
由，得，，所以得，
所以最大值，故B项正确；
对于C项：设，若，即：，
则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，
又由A项知：，得，
又因为，得，
所以得：，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误；
对于D项：由椭圆定义得，
所以
，
当且仅当时取等号，故D项正确.
故选：ABD.
12．ABC
【详解】因为为偶函数，则的图象关于对称，则，故A正确；
因为为偶函数，则的图象关于对称，则，
所以，即，
所以2为的一个周期，故B正确；
因为2为的一个周期，则，
又，所以，
所以，即，
所以的图象关于对称，故C正确；
由，得，
所以，则为奇函数，故D错误.
故选：ABC.
13．8
【详解】因为，所以，
所以，所以.
又，所以，即，
即，所以，
则，当且仅当时，等号成立.
故答案为：8
14．
【详解】由已知可得，.
因为，
所以，
解得或（舍去），
所以，，
所以，向量在向量方向上的投影向量为，坐标为.
故答案为：.
15．
【详解】依题意可设双曲线方程为，；
由渐近线方程为可得，
将点代入可得，解得，
所以双曲线标准方程为.
故答案为：
16．
【详解】函数，求导得，
当时，，所以.
故答案为：
17．【详解】（1）令，得，
解得；在上的单调递增.
证明如下：任取，即，
则，
因为时，，所以时，，
所以在上的单调递增.
（2）令，得，
因为，所以，
不等式等价于，
即；
因为在上单调递增，所以恒成立，
①时，，解得，不等式并非在上恒成立；
②时，只有满足条件，解得.
综上可得.
18．【详解】（1）连结交于，连结，，，
因为四边形是矩形，所以，且，
又，分别为的中点，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以为的中点，
又因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）在矩形中，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以面，
因为平面，所以，
因为，点是的中点，
所以，
又因为平面，所以平面.
19．【详解】（1）因为，所以，
所以.
因为E是AD的中点，
所以
.
（2）因为，与的夹角为，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
20．【详解】（1）若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲，
故第三回合甲发球的概率为
（2）设甲在第回合得分记为事件乙在第回合得分记为事件 ，
则,此时甲得3分，
，此时甲得2分，
，此时甲得2分，
，此时甲得1分，
，此时甲得2分，
，此时甲得1分，
，此时甲得1分，
，此时甲得0分，
故的分布列为：
0 1 2 3
故
21．【详解】（1）由已知，所以等比数列的公比为，
所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）得：
.
22．【详解】（1）由题意，所以，
又当时，，代入得，所以．
（2）设，则，
所以，又，代入解得；
显然，在是单调递增，又，所以时，，
又时，，则，
所以时，，类推可得时，，
综上，的解集为．
（3）函数，由，即定义域为，
且在上单调递减，
所以在上单调递减，
又有，结合（2）结论知时，时，，
由恒成立，
即在上恒成立，设，
则不等式在上恒成立，
①当时，不等式化为，显然不满足恒成立；
②当时，将代入得，与矛盾；
③当时，只需，
综上，实数的值为．
