陕西省咸阳市武功县普集镇高级中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

普集镇高级中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试
（数学）试卷
试题范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、椭圆 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
2．设x，，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C．3 D．
3．在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆的标准方程是，圆：关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
6．设椭圆中心在原点，两焦点，在x轴上，点P在椭圆上，若椭圆的离心率为，的周长为12，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
7．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（ ）
A．-1 B．2 C．-l或2 D．-2或l
8．已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法错误的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为
C．圆C：过定点
D．椭圆C的方程为，它的焦距为6，短轴长为4
10．已知圆M：，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M关于对称 B．点在圆M内
C．直线与圆M相切 D．半径为
11．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
A．直线与直线所成的角为90° B．平面
C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为
12．设椭圆C：的焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率 B．的最大值为3
C．面积的最大值为 D．的最小值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，且，则______．
14．已知椭圆的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的大小为______．
15．若直线l：被圆C：截得线段的长为6，则实数m的值为______．
16．在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：上运动，则点P到直线的距离的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
求直线L的方程：
（1）求过点且与直线平行的直线的一般式方程；
（2）求过点且与直线垂直的直线的一般式方程．
18．（本小题满分12分）
已知点，，，向量．
（1）若，求实数k的值；
（2）求向量与向量所成角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
圆M经过两点，，且圆心在直线上．
（1）求圆M的方程；
（2）求圆M与圆N：的公共弦的长．
20．（本小题满分12分）
已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若P为C上一点，且，求的面积．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为。
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，，求椭圆C的标准方程．
22．（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥中，底面ABCD，，E为AB的中点，底面四边形ABCD满足，，．
（1）证明：平面PAC；
（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
（2）求平面PED与平面PEB夹角的余弦值．
普集镇高级中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试
（数学）参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A 2．B 3．A 4．C 5．C 6．B 7．A 8．D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ABD 10．AC 11．BD 12．AD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13．6；14．120°；15．；16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
【解析】（1）因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率也为，
由点斜式得整理得，所以直线的方程：；
（2）因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，
由点斜式得整理得，所以直线的方程：．
18．（本小题满分12分）
【解析】（1）因为，，则，且，
由，可得，解得；
（2）因为，，则，，
则，，
所以．
19．（本小题满分12分）
【解析】（1）设圆M的方程为，
因为圆M经过两点，，
所以圆M的方程为；
（2）由圆M的方程和圆N的方程可得公共弦的方程为：，整理得到：，
M到公共弦的距离为，故公共弦的弦长为：．
20．（本小题满分12分）
【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c，因为，可得，所以，，
则，，
由椭圆的定义可得，所以，
故椭圆C的标准方程为；
（2）由，可得，又由椭圆的定义，可得，
平方得，即，
解得，所以的面积．
21．（本小题满分12分）
【解析】（1）由题意可知，椭圆上顶点的坐标为，左右顶点的坐标分别为、，
∴，即，则．又，∴，所以椭圆的离心率；
（2）设，，由得：，
∴，，，
∴，
解得，∴，满足，∴，∴椭圆C的方程为．
22．（本小题满分12分）
【解析】（1）∵底面ABCD，平面ABCD，∴，
如图，以点C为原点，直线CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
∴，，∴，∴，
又，PC，平面PAC，∴平面PAC；
（2）设为平面PDE的一个法向量，
又，，，
则，取，得，
所以，
∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
（3）设为平面PEB的一个法向量．又，，
则，取，得．∴，
∴平面PED与平面PEB夹角的余弦值．