重庆市部分学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
试卷满分150分 考试用时120分钟
注意事项:
１．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
２．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．过，两点的直线的倾斜角是( )
A．45 B．60° C．120° D．135°
已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
3．过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
4. 三棱锥中，平面，ΔABC为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的离心率为，则双曲线E的两条渐近线的夹角为( )
A． B． C．或 D．或
6．已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为( )
A． B．
C． D．
7．已知点M(0，4)，点P在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值是( )
A． B． C．4 D．6
8．如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
二 多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9．已知直线，，，以下结论正确的是( ).
A．不论a为何值时，与都互相垂直；
B．当，与x轴的交点A到原点的距离为
C．不论a为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是( )
A．过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8
B．椭圆上不存在点，使得
C．直线与椭圆恒有公共点
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
11．如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是（ ）
A．点为的中点
B．三棱锥的体积为
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是
12．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
三 填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.)
13．在线段上运动，已知，则的取值范围是_______.
14．已知圆：，圆：，、分别是圆，上动点是轴上动点，则的最大值是_________.
已知双曲线的左右焦点分别为，，其一条渐近线倾斜角为，若点P在双曲线上，且，则______．
16．如图，正方体的棱长为4，点P在正方形的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成，则四面体的体积的取值范围_________.
解答题(本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.)
17．已知圆M的圆心在直线上，圆M与y轴相切，且圆M截x轴正半轴所得弦长为．
(1)求圆M的标准方程；
(2)若过点且斜率为k的直线l交圆M于A、B两点，且点，当的面积为，求直线l的方程．
18．直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成二面角的余弦值．
19．已知抛物线上的点到焦点的距离为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．
已知椭圆：()右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且的周长为.是椭圆上一动点，是直线上一点，且直线轴.
(1)求椭圆的方程：
(2)记直线与椭圆另一交点为，直线是否过轴上一定点？若是，求出该定点：若否，请说明理由.
如图1，在平面四边形PDCB中，，，，.将沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如图2所示.
(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
(2)点Q在线段SC上（点Q不与端点重合），平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为，求线段BQ的长.
已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左 右焦点分别为 ，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A B两点，求周长的取值范围.参考答案
1． D 2.D 3． B. 4. D 5． B .6． C. 7． C 8． C．
9． AD. 10.ACD 11． ABC 12． ACD．
1 5 16 32
13． , 14． 4 2 15， 13 16． ,
6 3 3 3
r a
1
17． (1)设圆 M 的圆心M (a,b)，半径为 r，则由已知可得 b a ，
2
2
3 b
2 a2
a 2
所以 b 1，所以圆的方程为 (x 2)
2 (y 1)2 4．
r 2
(2)根据题意，设直线 l 的方程为 y kx 2k 2，
1 3 4k 2
则圆心 M 到直线 l 的距离d ，则 | AB | 2 r2 d 2 2 ，
1 k 2 1 k 2
| 2 1| 3
又由P(2, 1)，则 P 到直线 l 的距离d ，
1 k 2 1 k 2
1 3 4k 2
若△PAB的面积为3 3，则有 d | AB | 3 3 3 ，
2 1 k 2
解可得： k 0，则直线 l 的方程为 y 2．
18．（1）证明：在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AA1 平面 A1B1C1，且 AC AB ，则 A1C1 A1B1
以点 A1为坐标原点， A1A、 A1B1 、 A1C1所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间
直角坐标系，
则 A 2,0,0 、B 2,2,0 、C 2,0,2 、A1 0,0,0 、B1 0,0,2 、C1 0,0,2 、D 0,1,0 、E 1,0,0 、
1 uuur 1
F 1, ,1 ，则EF 0, ,1 ，
2 2
ur uuur ur uuur ur
易知平面 ABC的一个法向量为m 1,0,0 ，则EF m 0，故EF m，
Q EF 平面 ABC ，故EF // 平面 ABC .
{#{QQABRQIAggCgAAIAABhCQwViCEAQkBGACAoOAEAEoAAAgANABCA=}#}
uuuur uuuur uuur
（2）C1C 2,0,0 ，C1D 0,1, 2 ，EB 1,2,0 ，
v uuuuvr u C1C 2x1 0
设平面CC1D 的法向量为u x1, y1, z1 ，则 v uuuuv ，
u C1D y1 2z1 0
uuur r
r uuur r EB u 4
取 y 2，可得u 0,2,1 ， cos EB,u uuur r 1 .
EB u 5
4
因此，直线 BE 与平面CC1D 夹角的正弦值为 .
5
uuur uuuur
（3） A1C 2,0,2 ， A1D 0,1,0 ，
v uuuvr v A1C 2x2 2z 0
设平面 A1CD 的法向量为v x2 , y2 , z2
2
，则 v uuuuv ，
v A1D y2 0
r r
r r r u v 1 10
取 x2 1，可得v 1,0, 1 ，则cos u,v r r ，
u v 5 2 10
10
因此，平面 A1CD 与平面CC1D 夹角的余弦值为 .
10
2
19． (1)因为抛物线C : y 2 px p 0 上的点 2, t 到焦点F 的距离为4 ，
p
所以2 4，解得 p 4，所以抛物线方程为 y2 8x
2
(2)抛物线 y2 8x的焦点F (2,0)，设 A(x1, y1), B(x2 , y2 )，
y2 8x
由 ，得 k 2 x
2 (2k 8)x 1 0，
y kx 1
由 (2k 8)2 4k 2 0，得 k 2，
8 2k 1
x1 x2 , x1x2 2 ， k k 2
uuur uuur uuur uur
因为FA FB 4， FA (x1 2, y1)，FB (x2 2, y )， 2
所以 (x1 2)(x2 2) y1y2 4，
所以 x1x2 2(x1 x2 ) 4 (kx1 1)(kx2 1) 4，
2
所以 (k 1)x1x2 (k 2)(x1 x2) 5 4，
2 1 8 2k
所以 (k 1) (k 2) 1 0，
k 2 k 2
5
化简得12k 15 0，得 k ，
4
{#{QQABRQIAggCgAAIAABhCQwViCEAQkBGACAoOAEAEoAAAgANABCA=}#}
5
所以直线 l 的方程为 y x 1，即5x 4y 4 0
4
π
20. (1)解：因为椭圆的右焦点为F c,0 ， B 0,b 为椭圆的上顶点，且 FBO ，
6
c 3
所以 tan FBO ，即b 3c ，
b 3
又 a b2 c2 2c，b c a 3 3，
解得 c 1,a 2,b 3 ，
x2 y2
所以椭圆方程为 1；
4 3
(2) F 1,0 ，易知直线 PQ 斜率为 0 时，QM 为 x 轴，
则若 QM 过定点，则定点位于 x 轴上，
当直线 PQ 斜率不为 0 时，设PQ : x my 1，
x my 1
与椭圆方程联立 x2 y2
2 2
，得 3m 4 y 6my 9 0，
1
4 3
设P x1, y1 ,Q x2 , y2 , M 4, y1 ，
6m 9
则 y1 y2 , y1 y2 ，
3m2 4 3m2 4
y1 yk 2QM ，
4 x2
y1 y2
所以直线 QM 的方程为 y y1 x 4 ，
4 x2
y1 4 x2 3y my y
令 y 0 ，得 x 4 4
1 1 2
，
y1 y2 y1 y2
9m 3
因为my1 y2 y1 y2 2 ， 3m 4 2
3 5
所以 x 4 ，
2 2
5
故直线 QM 过定点 N , 0 .
2
21(1)依题意， AD AB，
因为PD P BC ，所以BC AB，
由于平面 SAB 平面 ABCD，且交线为 AB，BC 平面 ABCD，
所以BC 平面 SAB，
因为 l 是平面 SDC 与平面 SAB 的交线，
所以 l 平面 SAB，
{#{QQABRQIAggCgAAIAABhCQwViCEAQkBGACAoOAEAEoAAAgANABCA=}#}
故BC l .
(2)由上可知， AD 平面 SAB，所以 AD SA，
由题意可知 SA AB， AD AB，
以点 A 为坐标原点，分别以 AD，AB，AS 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
则 A 0,0,0 ，B 0,2,0 ，C 2,2,0 ，D 1,0,0 ， S 0,0, 2 ，
uuur uuur
BD 1, 2,0 ， SC 2,2, 2 ，
uuur uuur uuur
设 SQ SC 0 1 ，则Q 2 , 2 , 2 2 ，BQ 2 ,2 2,2 2 ，
r
设n x, y, z 是平面 QBD 的一个法向量，
r uuuv
n BD x 2y 0 r 1 3
则 r uuuv ，令 x 2，可得n 2,1,
n BQ 2 x 2 1 y 2 1 z 0 1
ur
由于m 0,0,1 是平面 CBD 的一个法向量，
依题意，二面角Q BD C
6
的余弦值为 ，
6
ur r 1 3
ur r m n 1 6
所以 cos m,n ur r
m n 2 1 3 6
，
1 4 1
1
1
解得 0,1 ，
2
uuur uuur
此时BQ 1, 1,1 ， BQ 3 ，
即线段 BQ 的长为 3 .
2 2
22 .(1)设双曲线 C 的方程为 x 3y ，
2
代入点P 3, 2 ，得 32 3 2 3，
x2
所以双曲线 C 的标准方程为 y2 1 .
3
(2)双曲线 C 的左焦点为F1 2,0 ，
设 A x1, y1 B x2 , y2 ，
{#{QQABRQIAggCgAAIAABhCQwViCEAQkBGACAoOAEAEoAAAgANABCA=}#}
3 3
①若直线 l 的斜率不存在，则 l : x 2，得 A B 的坐标分别为 2, 和 2, ， 3 3
16 3
此时VABC的周长为 .
3
②若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y k x 2 ，
y k x 2
由 x2 得 1 3k
2 x2 12k2x 12k 2 3 0，
y2 1
3
因为直线 l 交双曲线的左支于 A B 两点，
1 3k 2 0
2
12k 2 4 1 3k 2 12k 2 3 0
所以 12k
2 ，
x1 x2 01 3k 2
12k 2 3
x1x2 0 1 3k
2
1
得 k
2
3
设VABF2 的周长为 z，
z AF2 BF2 AB 2 3 AF1 2 3 BF1 AB 4 3 2 AB
2 2 2 2
4 3 2 x1 x2 y1 y2 4 3 2 x1 x2 kx1 kx 2
2
2 12k 2 12k 2 3
4 3 2 1 k 2 x1 x2 4x1x2 4 3 2 1 k
2
4 2 2
1 3k 1 3k
12 k 2 1 k 2 1
4 3 2 1 k 2 4 3 4 3
2 ， 2
1 3k 2 1 3k
2 1
设 t 3k 2 1，由 k ，得 t 0，
3
t 1
1
16 3 16 3 ， t 0，
z 4 3 4 3 3
t 3t 3
16 3
所以 z ,
，
3
16 3
综上，由①②可得 的周长的取值范围 , .
3
{#{QQABRQIAggCgAAIAABhCQwViCEAQkBGACAoOAEAEoAAAgANABCA=}#}
