2023年11月高中数学指数函数、对数函数解答题 （含解析）

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2023年11月高中数学 指数函数、对数函数解答题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（2021秋·广东深圳·高一深圳中学校考期中）函数.
(1)当时，求函数在区间上的最值；
(2)已知方程的两个实数根，，满足，求实数的取值范围.
2．（2020秋·广东深圳·高一校考期中）定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数.
(1)当，时，求函数的不动点；
(2)若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求实数a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且线段AB的中点C在函数的图象上，求实数b的最小值.
3．（2022春·广东深圳·高一校考期中）已知，函数．
(1)当时，求函数的定义域；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
4．（2021春·广东深圳·高一深圳市宝安中学（集团）校考期中）已知函数，在时最大值为1和最小值为0.设.
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数m的取值范围.
5．（2020秋·广东深圳·高一深圳中学校考期中）已知关于x的方程的解集为M.
（1）当时，求集合M；
（2）当时，求集合M.
6．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知函数，其中．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并给予证明；
（3）求使的x取值范围．
7．（2020秋·广东深圳·高一深圳中学校考期中）函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）用单调函数的定义证明：函数在上单调递增；
（3）若，求实数的取值范围.
8．（2020秋·广东深圳·高一校考期中）已知
（1）设，求t的取值范围；
（2）求的值域.
9．（2020秋·广东深圳·高一深圳中学校考期中）已知关于的函数，.
（1）若函数是上的偶函数，求实数的值；
（2）若函数，当时，恒成立，求实数的取范围.
10．（2020秋·广东深圳·高一深圳中学校考期中）已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用定义加以证明；
（3）求的值域.
参考答案：
1．(1)最小值为-5，最大值为-1
(2)
【分析】（1）利用换元法，结合二次函数的性质求得最大值、最小值.
（2）结合二次函数零点分布列不等式组，由此求得的取值范围.
(1)
设，由可得，
故所求即为在上的最值，
该函数为开口向上的二次函数，且对称轴为
故的最小值为，最大值为，
所以，当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为.
(2)
所求即为方程的两个实数根，，
满足，设
可得：，即：，
解得，
实数的取值范围为.
2．(1)和3
(2)
(3)
【分析】（1）按照不动点的定义计算即可；
（2）方程有两个不等实根，，得到关于的二次函数，再利用判别式求解即可；
（3）求出点C坐标，代入，结合，得到，借助二次函数求出最小值即可.
【详解】（1）当，时，由，解得或，
故所求的不动点为和3.
（2）令，则①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，
即对任意的恒成立，
则，∴.
（3）依题意设，，则AB中点C的坐标为，
又AB的中点在直线上，
∴，∴，
又，是方程①的两个根，∴，即，
∴，
∵，∴.所以时，b的最小值为.
3．(1)
(2)
【分析】（1）由对数函数真数大于0求解定义域；（2）先求出在上单调递减，从而得到在区间上的最大值与最小值分别为，，列出不等式，转化为，对任意成立，利用二次函数的单调性求出最小值，列出不等式，求出a的取值范围.
【详解】（1）由，得，
解得:．
（2）当时，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
，
即，对任意成立．
因为，所以，函数开口向上，在区间上单调递增，
故当时，y有最小值，
由，得，故a的取值范围为．
4．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）就、、分类讨论后可求的值.
（2）令，则原不等式等价于在上恒成立，参变分离后可求的取值范围.
（3）令，则原方程等价于在有两个不同的实数解，利用根分布可求的取值范围.
【详解】解：（1）∵函数，在时最大值为1和最小值为0.
∴（i）当时，不符合题意；
（ii）当时，由题意得对称轴为，在单调增，
∴，∴；
（ⅲ）当时，由题意得对称轴为，在单调减，
∴，∴，，不符合题意，
综上：；
（2）当，令，
∴在上恒成立，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
又当时，最小值为，∴；
（3）令，
∴当时，方程有两个根；当时，方程没有根.
∵关于x的方程有四个不同的实数解，
∴关于s的方程在有两个不同的实数解，
∴在有两个不同的实数解，
∴，∴.
综上：关于x的方程有四个不同的实数解时，.
【点睛】方法点睛：对于指数不等式的恒成立问题或对数方程的有解问题，我们可以通过换元把它们转化为一元二次不等式的恒成立问题（可用参变分离来求参数的取值范围）或一元二次方程的解的问题（可用根分布来处理）.
5．（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）当时，根据对数函数的定义域和对数运算建立方程组，解之可得集合；
（2）根据对数函数的定义域和对数运算建立方程组，分和两种情况讨论得解集.
【详解】解：（1）当时，原方程为 ，
所以即解得不合题意，舍去.
所以当时，集合.
（2）当时，
所以即 ，
由得，所以关于x的方程有两实根，
分别记为，.
因为，所以，且，即，
同时，即，
所以当时，是原方程的一个实根.
令，得.
①当时，，不合题意；
②当时，，
由知此时不是原方程的实根；
③当时，，由知，
且由得，故此时是原方程的一个实根.
综上所述，当时，原方程有两个实根，，即集合；
当时，原方程有且仅有一个实根，
即集合.
6．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）
【分析】（1）根据对数的定义知真数大于0，即可求定义域；
（2）利用奇偶性的定义得知函数为奇函数；
（3）由，可得，即可求解.
【详解】(1)∵已知,∴,即,解得,故f(x)的定义域为( 1,1).
(2)∵的定义域关于原点对称, ,故函数是奇函数．
(3)由>0可得,即,解得,故求使>0的的取值范围是(0,1).
【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
7．（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）利用奇函数的定义可求得的值；
（2）任取、，，作差，因式分解，并判断的符号，由此可证得结论成立；
（3）将所求不等式变形为，利用（2）中的结论可得出关于实数的不等式，由此可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由题意知恒成立，即，
所以，故；
（2）证明：任取、，，则
，
由函数在单调递增，知，即，
且知，即，从而.
故函数在单调递增；
（3）由函数是奇函数，
得.
由函数在单调递增，得，
所以，即或.
所以实数的取值范围为.
8．（1）；（2）
【解析】（1）由函数在上是增函数即可求得结果；
（2）利用换元法，根据二次函数的性质即可求出值域.
【详解】（1）设，由函数在上是增函数，故有，所以t的取值范围是；
（2）由，由（1）知，设，则
利用换元法得：，该二次函数的对称轴为，开口向上
故当时，函数有最小值为3；当时，函数有最大值为7，所以的值域为
【点睛】方法点睛：本题考查函数求值域问题，常用的方法有：
（1）图像法(针对二次函数和三角函数)
（2）配方法（针对二次函数）
（3）分离常数法 (形如函数 )
（4）换元法（注意换元之后的范围）
9．（1）；（2）.
【解析】（1）由函数为偶函数的充分必要条件得到关于的恒等式，据此求解实数的值即可，
（2）首先确定函数的单调性，然后结合二次函数的性质可得实数的取值范围
【详解】（1）因为函数是上的偶函数，
所以函数满足，
即，
解得.
（2），当时，恒成立，
因为函数单调递增，所以当时，，
则对于恒成立，
即 对于恒成立，
令在单调递增，所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查偶函数的定义及其应用，复合函数的单调性，二次函数的性质等知识，属于中档题.
10．（1）；（2）为上的减函数，证明见解析；（3）.
【解析】（1）直接根据奇函数的性质，求出，再进行验证；
（2）先判断函数单调递减，再利用函数单调性的定义用作差比较法证明；
（3）根据指数函数的性质得出函数的值域.
【详解】（1）因为为奇函数，
所以，
即，
解得，
此时，，再验证如下：
，
所以，为定义域上的奇函数；
（2）因为，
所以为上的减函数，证明如下：
任取，，且，
则，
因为，
所以，
所以为上的单调递减函数；
（3）因为，
其中，，所以，，
所以，，，
因此的值域为：.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用以及函数值域的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
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