2023年11月高中数学指数函数解答题专项（含解析）

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2023年11月高中数学 指数函数解答题专项
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（2021秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：
①在内是单调函数；
②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为上的精彩函数，为函数的精彩区间.
(1)写出一个具体的精彩函数及其精彩区间；
(2)函数，判断是否为精彩函数？若是，求出其精彩区间；若不是，请说明理由；
(3)若函数是精彩函数，求实数的取值范围.
2．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)证明在上单调递增；
(2)设函数，求使函数有唯一零点的实数a的值；
(3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)利用单调性定义证明：在上是增函数；
(2)解不等式
4．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)若，证明：；
(2)若是定义在上的奇函数，且当时，.
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）求方程的所有根.
5．（2023春·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中）已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)设函数（），若有唯一零点，求实数的取值范围．
6．（2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）已知函数（且）.
(1)判断函的奇偶性，并说明理由；
(2)若，且，求的取值范围.
7．（2023春·广东深圳·高一红岭中学校考期中）已知函数是偶函数．
(1)求实数的值；
(2)当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
(3)设函数（且），若函数与的图像有两个公共点，求实数的取值范围．
8．（2023秋·广东深圳·高一校考期末）已知函数（且）．
(1)若，求的值域；
(2)若，在上单调递增，求的取值范围．
9．（2022秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）已知函数.
(1)若，求x的值；
(2)对于恒成立，求实数m的取值范围.
10．（2022秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）已知函数.
(1)若，求x的取值范围；
(2)若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.
参考答案：
1．(1)，精彩区间为（答案不唯一）
(2)不是精彩函数，理由见解析
(3)
【分析】（1）不妨取，精彩区间为，根据精彩函数的定义判断即可；
（2）判断函数是否满足精彩函数的条件即可；
（3）由是精彩函数，可知至少存在两个不等的实数解，可转化为有两个不等的实数根，两实根都不小于和，结合二次函数的性质，求出的取值范围.
【详解】（1）不妨取，精彩区间为，
由题意，是上的增函数，
易知在上的值域为，
所以函数是精彩函数，是该函数的精彩区间.
（2）不是精彩函数，证明如下：
函数在上单调递增，
若是精彩函数，令，则方程至少存在两个不等的实数解，
又，方程无解，所以不是精彩函数.
（3）由题意，函数的定义域为，且在定义域上为单调递增函数，
因为函数是精彩函数，所以方程至少存在两个不等的实数解，
方程整理得，
所以该方程有两个不等的实数根，设为，不妨设，则，，
令，
由题意得，，
即，解得.
所以实数的取值范围是.
2．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）任取，作差化简判断符号，得出单调性结论；
（2）有唯一零点，即有唯一的解，可化为，由偶函数可知，化简计算可得结果；
（3）设，不等式等价为恒成立，构造函数，只需，求解即可得出结果.
【详解】（1）由题意可知的定义域为，，则，
，所以，所以为偶函数；
任取，则，
因为
，
当时，，，，
所以，所以，
所以在上单调递增；
（2）函数的零点就是方程的解，
因为有唯一零点，所以方程有唯一的解，
因为函数为偶函数，所以方程变形为，
因为函数在上的单调递增，所以，
平方得，，
当时，，
经检验方程有唯一解，
当时，，解得，
综上可知，的值为.
（3）设，则，
所以原命题等价于时，不等式恒成立，
令，
即，
所以即.
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用定义法即可证明；
（2）令，则，因为在上是增函数，所以，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）证明：任取，
，
因为，所以，，
故，
所以，即在上是增函数；
（2）今，则，
因为在上是增函数，所以，
解得：，即，解得，
故不等式的解集是.
4．(1)证明见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ），，
【分析】（1）根据对数函数的性质，基本不等式结合条件即得；
（2）根据奇函数的性质可得函数的解析式，方程转化成曲线与直线的交点情况，结合函数的图象和性质即得.
【详解】（1）证明：因为，
所以，，
由基本不等式，当时，，
即，
即；
（2）（ⅰ）依题意得，当时，，
因为是定义在上的奇函数，所以，代入上式成立，
即当时，，
设，则，所以，
所以；
（ⅱ）方程转化成曲线与直线的交点情况，
当时，与交于点和点，

由（1）知的图象总是向上凸的，所以除外不会有其它交点，
同理，当时，根据对称性，两个图象还有一个交点，
所以方程有三个根，，.
5．(1)
(2)或
【分析】（1）根据偶函数性质代入即可求解；
（2）令，转化为关于的一元二次函数，对分类讨论即可求解.
【详解】（1）依题意，
因为的定义域为的偶函数，所以，
所以，
所以
所以
所以，即．
（2）由（1）知
所以，
令，，
即，整理得，
其中，所以，
令，则得，
①当时，，即，
所以方程在区间上有唯一解，
则方程对应的二次函数，恒有，，，
所以当时，方程在区间上有唯一解．
②当时，，即，
方程在区间上有唯一解，
因为方程对应的二次函数的开口向下，恒有，
，所以满足恒有，解得
综上所述，当或时，有唯一零点．
【点睛】方法点睛：（1）利用偶函数的性质代入原函数即可求解参数；
（2）通过换元思想可以将复杂的函数转化为常见的函数模型，换元时一定要注意先求元的范围.
6．(1)偶函数，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用奇偶性的定义直接判断；
（2）先判断出函数在上的单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】（1）函数的定义域为.
因为，所以，
所以函数为偶函数.
（2）当时，定义域为，所以有：.①.
②.
由①知函数为偶函数，所以可化为：.
因为为增函数，在上递减，
所以函数在上递减，所以.③.
由①②③解得：的取值范围为.
7．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）函数是偶函数，所以，计算可得；
（2）依题意问题转化为在上有实数解，求出的值域即可得解；
（3）因为函数与的图像有两个公共点，所以关于的方程有两个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数是偶函数，
所以，即，
所以，即，
所以，解得.
（2）解：由（1）可知，则，
因为当时，函数存在零点，即在上有实数解，
即在上有实数解，
令，，
因为，则，所以，则，所以，
即，所以.
（3）解：因为函数与的图像有两个公共点，
所以关于的方程有两个解，
所以，即，显然，
所以
令，得…（*），
记，
①当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以不符合题意；
②当时，因为，所以只需，
解得或，
又，所以
方程（*）有两个不相等的正实根，所以满足题意，
综上，的取值范围是.
8．(1)
(2)
【分析】（1）首先设，再结合对数函数的性质求值域即可.
（2）根据复合函数的单调性得到，再解不等式组即可.
【详解】（1），
因为，所以的定义域为，
令，
所以，即的值域为
（2）令函数，
该函数在上单调递减，在上单调递增．
当时，要使在上单调递增，
则在上单调递增，且恒成立，
故，解得．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据绝对值计算规则写出不同区间的解析式，再根据解析式列出等式，根据指数和对数函数计算规则计算即可；
（2）将不等式展开，根据指数和对数计算规则计算即可.
【详解】（1）当时，；当时，
若，则，解得
因为，所以，解得
（2）当，
即，展开可得，
因为，所以，化简可得
可得，所以实数m的取值范围为.
10．(1)
(2)，.
【分析】（1）由对数的运算以及单调性解不等式；
（2）由周期性以及偶函数的性质得出当时，，再由对数和指数函数的关系得出反函数.
【详解】（1），由得，
由，
得，因为，所以，解得，
由，得，
的取值范围为；
（2）当时，，
因此，
，，
则的反函数为，.
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