2023年12月高中数学指数函数与对数函数（含解析）

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2023年12月高中数学 指数函数与对数函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（22·23高一上·广东深圳·期末）已知函数.
(1)利用单调性定义证明：在上是增函数；
(2)解不等式
2．（22·23高一上·广东深圳·期末）已知函数.
(1)若，求x的值；
(2)对于恒成立，求实数m的取值范围.
3．（22·23高一上·广东深圳·期末）已知定义在上的函数为奇函数.
(1)求的值，试判断的单调性，并用定义证明；
(2)若，求的取值范围.
4．（21·22高一上·广东深圳·期末）已知函数．
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)判断的单调性，并用定义法给予证明．
5．（21·22高一下·广东深圳·期末）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)若，求的值；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
6．（21·22高一上·广东深圳·期末）已知函数.
(1)求的值；
(2)求函数的值域；
(3)若，且对任意的、，都有，求实数的取值范围.
7．（22·23高一上·广东深圳·期末）已知函数（且）.
(1)判断函的奇偶性，并说明理由；
(2)若，且，求的取值范围.
8．（22·23高一上·广东深圳·期末）已知函数（且）．
(1)若，求的值域；
(2)若，在上单调递增，求的取值范围．
9．（22·23高一上·广东深圳·期末）已知函数.
(1)若，求x的取值范围；
(2)若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.
10．（19·20高一上·广东深圳·期末）设为奇函数，其中为常数.
（1）求的值；
（2）求在区间上的值域；
（3）若对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用定义法即可证明；
（2）令，则，因为在上是增函数，所以，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）证明：任取，
，
因为，所以，，
故，
所以，即在上是增函数；
（2）今，则，
因为在上是增函数，所以，
解得：，即，解得，
故不等式的解集是.
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据绝对值计算规则写出不同区间的解析式，再根据解析式列出等式，根据指数和对数函数计算规则计算即可；
（2）将不等式展开，根据指数和对数计算规则计算即可.
【详解】（1）当时，；当时，
若，则，解得
因为，所以，解得
（2）当，
即，展开可得，
因为，所以，化简可得
可得，所以实数m的取值范围为.
3．(1)，在上单调递减，证明见解析；
(2).
【分析】（1）由函数奇偶性的定义可求得实数的值，判断出函数为上的减函数，然后任取、且，作差，变形后判断的符号，即可证得结论成立；
（2）由函数的单调性结合可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】（1）解：因为函数为上的奇函数，则，即，
即，解得，
所以，，则函数为上的减函数，证明如下：
任取、且，则，
所以，，
则，所以，函数为上的减函数；
（2）解：由且函数为上的减函数，
则，解得，
因此，满足不等式的的取值范围是.
4．(1)奇函数，理由见解析
(2)是上的增函数.，证明见解析
【分析】（1）利用奇偶性的定义进行证明；
（2）结合指数函数单调性及复合函数单调性法则判断，再利用单调性的定义进行证明.
【详解】（1）因为的定义域是，
且当时，，
故是奇函数；
（2）变形得，
令，则，
因为在上是增函数，，
又在上是单调递增，
所以是增函数，下面用定义法证明：
任取两个实数，，且，
则 ，
因为，所以，所以，
又，
所以，即，
故是上的增函数.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可求出，从而得到的解析式，再解方程即可；
（2）首先判断函数的单调性，结合奇偶性与单调性得到在上恒成立，参变分离可得，恒成立，根据二次函数的性质求出的最小值，即可得解；
(1)
解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，所以，
即，则，符合题意，
又，即，即，即，
即，解得
(2)
解：因为，
所以在定义域上单调递增，又是定义在上的奇函数，
所以在恒成立，
等价于在上恒成立，
即在上恒成立，即，恒成立，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，、，
所以，所以，即；
6．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）代值计算即可得解；
（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质可求得函数的值域；
（3）令，，分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据题意可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：.
（2）解：.
，则 ，则 ，所以，，
函数的值域为 .
（3）解：，
令，则，，函数的对称轴为直线.
①当时，函数在上单调递减，，
，解得，此时的取值不存在；
②当时，函数在 上单调递增，，
，解得，此时的取值不存在；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，且，
所以， ，解得，此时.
综上，实数的取值范围为.
7．(1)偶函数，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用奇偶性的定义直接判断；
（2）先判断出函数在上的单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】（1）函数的定义域为.
因为，所以，
所以函数为偶函数.
（2）当时，定义域为，所以有：.①.
②.
由①知函数为偶函数，所以可化为：.
因为为增函数，在上递减，
所以函数在上递减，所以.③.
由①②③解得：的取值范围为.
8．(1)
(2)
【分析】（1）首先设，再结合对数函数的性质求值域即可.
（2）根据复合函数的单调性得到，再解不等式组即可.
【详解】（1），
因为，所以的定义域为，
令，
所以，即的值域为
（2）令函数，
该函数在上单调递减，在上单调递增．
当时，要使在上单调递增，
则在上单调递增，且恒成立，
故，解得．
9．(1)
(2)，.
【分析】（1）由对数的运算以及单调性解不等式；
（2）由周期性以及偶函数的性质得出当时，，再由对数和指数函数的关系得出反函数.
【详解】（1），由得，
由，
得，因为，所以，解得，
由，得，
的取值范围为；
（2）当时，，
因此，
，，
则的反函数为，.
10．（1）1；（2）；（3）
【解析】（1）由奇函数的性质即可求解；
（2）判断出在区间的单调性即可求出；
（3）根据的单调性求出即可.
【详解】（1） 为奇函数，
，即 ，即，
整理得，即，，检验得；
（2），其中在区间上单调递减，
在区间上单调递减，，
在区间上的值域为；
（3）令，
由（2）知在单调递减，在单调递减，
则在单调递减，则，
不等式恒成立，即，
.
【点睛】关键点睛：第一问由奇函数的性质求参数，关键是根据求解；第二问求函数的值域，关键是根据，利用复合函数的单调性特点判断出单调性求解；第三问解不等式的恒成立问题，利用的单调性求出最值是关键.
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