热点18 直角三角形的应用(含答案)
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热点18 直角三角形的应用
（时间：100分钟 总分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．如图1，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°，则拉线AC的长为（ ）
A．5tan60°米 B．米 C．5cot60°米 D．米
（1） （2） （3）
2．直角三角形的斜边与一直角边的比是：1，且较大的锐角为θ，则sinθ等于（ ）
A． B． C． D．
3．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图2的三角形空地上移植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
4．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长，线与地面的夹角如下表（假设风筝线是直的），则三人所放的风筝中（ ）
同学 甲 乙 丙
放出风筝线长（米） 100m 100m 90m
线与地面夹角 40° 45° 60°
A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低
5．已知楼房AB高50m，如图3，铁塔塔基距楼房房基间水平距离BD为50m，塔高CD为m．
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
6．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处（如图4），从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°，那么B处船与小岛M的距离为（ ）
A．20海里 B．20海里 C．15海里 D．20海里
（4） （5） （6） （7）
7．如图5，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
9．横断面为等腰梯形的河坝，若下底AB=，上底CD=7.5，高为4，那么斜坡CB的坡度为（ ）
A． B． C． D．：1
10．如图7，渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（ ）
A．7海里 B．14海里 C．7海里 D．14海里
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．某风景区改造中，需测量湖面两岸游船码头A、B间的距离，设计人员由码头A沿与AB垂直方向前进了500米到达C处（如图8），测量得∠ACB=60°，则两个码头间的距离AB=______m．
12．一出租车从立交桥头直行了500米，到达立交桥上高250米处，那么这段斜坡路的坡度是_________．
13．某人沿坡度为3：4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高了_______米．
14．桥头堡高10米，站在堡顶发现附近有一可疑物，测得其俯角为60°，若此人的身高不计，则可疑物离堡底_________米．
15．某同学用一个60°角的直角三角板估测学校旗杆的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米的支架上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D、B的距离为5米，如图9所示，则旗杆AB的高度为________米（AB为旗杆）．
（8） （9） （10） （11）
16．如图10，某建筑物BC直立于水平地面上，AC=9米，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建________阶（最后一阶不足20厘米时，按1阶计算，取1.732）．
17．某落地钟钟摆的摆长为0.5米，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为a米，最大高度为b米，则b-a=_________米（不取近似值）．
18．如图11，∠AOB=30°，OP是角平分线，PC∥OA，PD⊥OA，若PD=1，则PC的长为________．
三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．建设中的昆石高速公路，在某施工段上沿AC方向开山修路，为加快施工速度，要在山坡的另一边同时施工，如图所示，从AC上的一点B取∠ABD=150°，BD=380米，∠D=60°，那么开挖点离D多远，正好使A、C、E成一直线．
20．如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B测得仰角为60°，已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度．
21．某海岛四周18海里内有暗礁，一货轮由西向东航行，见此岛在北偏东60°，行 海里后，见此岛在北偏东30°，货轮沿原方向继续航行，有无触礁危险？
22．如图，在一座山顶B处，用高为1米的测倾器AB量地面C、D两点测得的俯角分别为60°和45°，若已知CD长是20米，求山高BE．
23．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会有噪音影响．则当拖拉机以18千米/时的速度在公路MN上行驶时，学校是否会受影响？如果受影响，请计算出学校受影响的时间是多长？如果不受影响请说明理由．
24．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时15千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是多少？
25．如图所示，张琪家居住在甲楼AB，现计划在他家居住的楼前修建一座乙楼CD，楼高约为18米，两楼之间的距离为20米，已知冬天的太阳最低时，光线与水平线的夹角为31°（tan31°取0.600 9，cot31°取1.664）．
（1）试求乙楼CD的影子落在甲楼AB上的高BE的长．
（2）若让乙楼的影子刚好不影响甲楼，则两楼之间的距离至少应是多少米？（精确到0.01米）
答案：
一、选择题
1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．B 7．A 8．B 9．B 10．A
二、填空题
11．500 12． 13．6 14． 15．
16．26 17．（1-cos10°） 18．2
三、解答题
19．解：∵∠ABD=150°，∠D=60°，∴∠BED=90°．
在Rt△BDE中，DE=BD·cos60°=380×=190（米）．
20．解：过点C作CD⊥AB于D，则
在Rt△ACD中，AD==CD，
在Rt△BCD中，BD==CD，
∴AB=AD-BD，即20=CD-CD．
解得，CD=（30+10）米，故气球高为（30+10）米．
21．解：如图，由已知得∠AMB=30°=∠BAMBM=
MC=BM·sin60°=×=20>18，
故无触礁危险．
22．解：在Rt△ADE中，DE==AE，
在Rt△ACE中，CE==AE．
而CD=DE-CE即20=AE-AE，解得AE=（30+10）（米）．
故BE=（29+10）（米）．
23．解：会受影响．如图，作AD⊥MNAD=80<100．AB=AC=100 BC=120．
故受影响时间 =0.4（分）
24．解：（1）过点A作AD⊥BC于D，
由题意易得∠B=30°，∠BAC=105°，∠BCA=45°，AC=30千米，
在Rt△ADC中，CD=AD=AC．cos45°=30千米，
在Rt△ABD中，AB=2AD=60千米，t==4（时）．
（2）由（1）知BD=AB·cos30°=30千米，
∴BC=30+30（千米） v==（千米/时）．
25．解：（1）tan31°==0.600 9，
故BE=18-12.018=5.982≈5.98（米）
tan31°=FD=，FD≈29.96（米）
故两楼间的距离至少应是29.96米．毛
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（时间：100分钟 总分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．如图1，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°，则拉线AC的长为（ ）
A．5tan60°米 B．米 C．5cot60°米 D．米
（1） （2） （3）
2．直角三角形的斜边与一直角边的比是：1，且较大的锐角为θ，则sinθ等于（ ）
A． B． C． D．
3．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图2的三角形空地上移植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
4．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长，线与地面的夹角如下表（假设风筝线是直的），则三人所放的风筝中（ ）
同学 甲 乙 丙
放出风筝线长（米） 100m 100m 90m
线与地面夹角 40° 45° 60°
A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低
5．已知楼房AB高50m，如图3，铁塔塔基距楼房房基间水平距离BD为50m，塔高CD为m．
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
6．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处（如图4），从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°，那么B处船与小岛M的距离为（ ）
A．20海里 B．20海里 C．15海里 D．20海里
（4） （5） （6） （7）
7．如图5，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
9．横断面为等腰梯形的河坝，若下底AB=，上底CD=7.5，高为4，那么斜坡CB的坡度为（ ）
A． B． C． D．：1
10．如图7，渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（ ）
A．7海里 B．14海里 C．7海里 D．14海里
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．某风景区改造中，需测量湖面两岸游船码头A、B间的距离，设计人员由码头A沿与AB垂直方向前进了500米到达C处（如图8），测量得∠ACB=60°，则两个码头间的距离AB=______m．
12．一出租车从立交桥头直行了500米，到达立交桥上高250米处，那么这段斜坡路的坡度是_________．
13．某人沿坡度为3：4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高了_______米．
14．桥头堡高10米，站在堡顶发现附近有一可疑物，测得其俯角为60°，若此人的身高不计，则可疑物离堡底_________米．
15．某同学用一个60°角的直角三角板估测学校旗杆的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米的支架上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D、B的距离为5米，如图9所示，则旗杆AB的高度为________米（AB为旗杆）．
（8） （9） （10） （11）
16．如图10，某建筑物BC直立于水平地面上，AC=9米，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建________阶（最后一阶不足20厘米时，按1阶计算，取1.732）．
17．某落地钟钟摆的摆长为0.5米，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为a米，最大高度为b米，则b-a=_________米（不取近似值）．
18．如图11，∠AOB=30°，OP是角平分线，PC∥OA，PD⊥OA，若PD=1，则PC的长为________．
三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．建设中的昆石高速公路，在某施工段上沿AC方向开山修路，为加快施工速度，要在山坡的另一边同时施工，如图所示，从AC上的一点B取∠ABD=150°，BD=380米，∠D=60°，那么开挖点离D多远，正好使A、C、E成一直线．
20．如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B测得仰角为60°，已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度．
21．某海岛四周18海里内有暗礁，一货轮由西向东航行，见此岛在北偏东60°，行 海里后，见此岛在北偏东30°，货轮沿原方向继续航行，有无触礁危险？
22．如图，在一座山顶B处，用高为1米的测倾器AB量地面C、D两点测得的俯角分别为60°和45°，若已知CD长是20米，求山高BE．
23．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会有噪音影响．则当拖拉机以18千米/时的速度在公路MN上行驶时，学校是否会受影响？如果受影响，请计算出学校受影响的时间是多长？如果不受影响请说明理由．
24．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时15千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是多少？
25．如图所示，张琪家居住在甲楼AB，现计划在他家居住的楼前修建一座乙楼CD，楼高约为18米，两楼之间的距离为20米，已知冬天的太阳最低时，光线与水平线的夹角为31°（tan31°取0.600 9，cot31°取1.664）．
（1）试求乙楼CD的影子落在甲楼AB上的高BE的长．
（2）若让乙楼的影子刚好不影响甲楼，则两楼之间的距离至少应是多少米？（精确到0.01米）
答案：
一、选择题
1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．B 7．A 8．B 9．B 10．A
二、填空题
11．500 12． 13．6 14． 15．
16．26 17．（1-cos10°） 18．2
三、解答题
19．解：∵∠ABD=150°，∠D=60°，∴∠BED=90°．
在Rt△BDE中，DE=BD·cos60°=380×=190（米）．
20．解：过点C作CD⊥AB于D，则
在Rt△ACD中，AD==CD，
在Rt△BCD中，BD==CD，
∴AB=AD-BD，即20=CD-CD．
解得，CD=（30+10）米，故气球高为（30+10）米．
21．解：如图，由已知得∠AMB=30°=∠BAMBM=
MC=BM·sin60°=×=20>18，
故无触礁危险．
22．解：在Rt△ADE中，DE==AE，
在Rt△ACE中，CE==AE．
而CD=DE-CE即20=AE-AE，解得AE=（30+10）（米）．
故BE=（29+10）（米）．
23．解：会受影响．如图，作AD⊥MNAD=80<100．AB=AC=100 BC=120．
故受影响时间 =0.4（分）
24．解：（1）过点A作AD⊥BC于D，
由题意易得∠B=30°，∠BAC=105°，∠BCA=45°，AC=30千米，
在Rt△ADC中，CD=AD=AC．cos45°=30千米，
在Rt△ABD中，AB=2AD=60千米，t==4（时）．
（2）由（1）知BD=AB·cos30°=30千米，
∴BC=30+30（千米） v==（千米/时）．
25．解：（1）tan31°==0.600 9，
故BE=18-12.018=5.982≈5.98（米）
tan31°=FD=，FD≈29.96（米）
故两楼间的距离至少应是29.96米．毛
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