热点20 与圆有关的证明问题(含答案)
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热点20 与圆有关的证明问题
（时间：100分钟 总分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO，则图中全等三角形有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
（1） (2) (3) (4)
3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题是（ ）
A．①②③④ B．①③②④
C．①④②③ D．②③①④
4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，2.3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交，则上述结论正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．在⊙O中，C是的中点，D是上的任意一点（与A、C不重合），则（ ）
A．AC+CB=AD+DB B．AC+CBC．AC+CB>AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
6．如图2，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于点C，则图中与∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图3，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，交⊙O于G．下面的结论：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG·FB=EC·ED．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
9．如图5，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；②；③AP=BH；④DH为圆的切线，其中一定成立的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
(5) (6) (7) (8)
10．如图6，在⊙O中，AB=2CD，那么（ ）
A．; B．;
C．; D．AD与2CD的大小关系可能不确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB为直径，MN为弦，试写出一个你认为正确的结论：_________．
12．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为10cm，6cm，OO的长为3cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________．
13．如图7，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD，请你根据图中所给的条件（不再标字母或添辅助线），写出一个你认为正确的结论____________．
14．已知⊙O的直径为10，P为直线L上一点，OP=5，那么直线L与⊙O的位置关系是_______．
15．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是△ABC的外心，现以O为圆心，分别以2，2．5，3为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是________．
16．以等腰△ABC的一腰AB为直径作圆，交底边BC于D，则∠BAD与∠CAD的大小关系是∠BAD________∠CAD．
17．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C为圆心，以2为半径的圆与直线AB的位置关系是____________．
18．如图8所示，A、B、C是⊙O上的三点，当BC平分∠ABO时得结论_________．
三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．
20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．
21．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD．
22．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，，BF和AD交于E，
求证：AE=BE．
23．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．
（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．
24．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．
（1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．
（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？
（2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？
答案：
一、选择题
1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．B 9．D 10．A
二、填空题
11．BM=BN等 12．内含 13．∠ADO=∠BDC等 14．相交或相切
15．在圆外、在圆上、在圆内 16．= 17．相交 18．OC∥AB等
三、解答题
19．证明：过点O作OE∥AB于E，则AE=BE．在△OCD中，OE⊥CD，OC=OD，
∴CE=DE．∴AC=BD．
20．证明：∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠DEC=∠B．
又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=CD．
∴△DEC为等腰三角形．
21．证明：连结BC，由AB是直径可知，
∠ABC=60°．
CD是切线∠BCD=∠A=30°∠D=30°=∠AAC=CD．
22．证明：连结AB，AC，
∠BAD=∠ABFAE=BE．
23．证明：（1）连结OD，AO是直径AD=DC．
（2）连结O1D，
DE是切线．
24．解：（1）连结BC，
∠B=62°．
MN是切线∠ACM=∠B=62°．
（2）过点B作BD⊥MN，则
△ACB∽△CNB
AB·CD1=AC·BC．
过点A作AD2⊥MN，则
△ABC∽△ACD2
CD2·AB=AC·CB
25．解：（1）过点C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式得AB·CH=AC·BC，
∴CH==，即圆心到直线的距离d=．
∵d=>3，∴⊙O与AB相离．
（2）过点O作OE⊥AB于E，则OE=3．
∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，
∵OA==
∴OC=AC-OA=5-=．
∴当OC=时，⊙O与AB相切．毛
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（时间：100分钟 总分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO，则图中全等三角形有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
（1） (2) (3) (4)
3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题是（ ）
A．①②③④ B．①③②④
C．①④②③ D．②③①④
4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，2.3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交，则上述结论正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．在⊙O中，C是的中点，D是上的任意一点（与A、C不重合），则（ ）
A．AC+CB=AD+DB B．AC+CB
6．如图2，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于点C，则图中与∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图3，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，交⊙O于G．下面的结论：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG·FB=EC·ED．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
9．如图5，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；②；③AP=BH；④DH为圆的切线，其中一定成立的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
(5) (6) (7) (8)
10．如图6，在⊙O中，AB=2CD，那么（ ）
A．; B．;
C．; D．AD与2CD的大小关系可能不确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB为直径，MN为弦，试写出一个你认为正确的结论：_________．
12．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为10cm，6cm，OO的长为3cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________．
13．如图7，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD，请你根据图中所给的条件（不再标字母或添辅助线），写出一个你认为正确的结论____________．
14．已知⊙O的直径为10，P为直线L上一点，OP=5，那么直线L与⊙O的位置关系是_______．
15．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是△ABC的外心，现以O为圆心，分别以2，2．5，3为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是________．
16．以等腰△ABC的一腰AB为直径作圆，交底边BC于D，则∠BAD与∠CAD的大小关系是∠BAD________∠CAD．
17．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C为圆心，以2为半径的圆与直线AB的位置关系是____________．
18．如图8所示，A、B、C是⊙O上的三点，当BC平分∠ABO时得结论_________．
三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．
20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．
21．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD．
22．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，，BF和AD交于E，
求证：AE=BE．
23．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．
（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．
24．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．
（1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．
（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？
（2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？
答案：
一、选择题
1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．B 9．D 10．A
二、填空题
11．BM=BN等 12．内含 13．∠ADO=∠BDC等 14．相交或相切
15．在圆外、在圆上、在圆内 16．= 17．相交 18．OC∥AB等
三、解答题
19．证明：过点O作OE∥AB于E，则AE=BE．在△OCD中，OE⊥CD，OC=OD，
∴CE=DE．∴AC=BD．
20．证明：∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠DEC=∠B．
又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=CD．
∴△DEC为等腰三角形．
21．证明：连结BC，由AB是直径可知，
∠ABC=60°．
CD是切线∠BCD=∠A=30°∠D=30°=∠AAC=CD．
22．证明：连结AB，AC，
∠BAD=∠ABFAE=BE．
23．证明：（1）连结OD，AO是直径AD=DC．
（2）连结O1D，
DE是切线．
24．解：（1）连结BC，
∠B=62°．
MN是切线∠ACM=∠B=62°．
（2）过点B作BD⊥MN，则
△ACB∽△CNB
AB·CD1=AC·BC．
过点A作AD2⊥MN，则
△ABC∽△ACD2
CD2·AB=AC·CB
25．解：（1）过点C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式得AB·CH=AC·BC，
∴CH==，即圆心到直线的距离d=．
∵d=>3，∴⊙O与AB相离．
（2）过点O作OE⊥AB于E，则OE=3．
∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，
∵OA==
∴OC=AC-OA=5-=．
∴当OC=时，⊙O与AB相切．毛
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