余姚中学2023学年第一学期期中考试高二数学学科试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)
1在平面直角坐标系中，斜率为√3的直线倾斜角为
A.30
B.60
C.90
D.120
2.在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，且OM=2MA,N为BC中点，
则MN=
+
A
a+导c+号a++月
2
1
B.
22
3.已知向量a,b是平面“的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线I的一个方向向量，则c·=0且
c.b=0是1⊥u的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积
是5的倍数的概率为
A目
2
3
C.
5
03
5.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉
骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的
3
五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一
眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份，如图，假设三庭中一庭的高
度为2cm,五眼中一眼的宽度为lcm,若图中提供的直线AB近似记为该人像
的刘海边缘（其中点A、B在如图所示的网格线交点处），且该人像的鼻尖位
于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为
A.3.9 cm
B.3.2 cm
C.2.5 cm
D.1.8 cm
6.已知函数y=f'(X)的图像如图所示
(其中f'(X)是函数f(X)的导函数)，
则下面四个图像中，y=千()的图像
大致是
D
7四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有
出现点数6的是
A,平均数为3，中位数为2
B.中位数为3，众数为2
C.平均数为2，方差为2.4
D.中位数为3，方差为2.8
8.过直线3x+4y+12=0上一点P作圆C:x2+y2-2x=0的切线，切点为A、B,则四边形PACB的面
积的最小值为
(
A.25
B.3
C.2√2
D.√6
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知圆O:(X-1)2+y2=4和圆O2:x2+(y-1)2=2的交点为A、B,则
A.两圆的圆心距|OO2=2
B.直线AB的方程为×-y+1=0
第1页，共4页余姚中学 2023学年第一学期期中考试高二数学学参考答案
1. B 2. D 3. B 4. A 5. C 6. A 7. C 8. B
9. BD 10. BCD 11. AC 12. ABC
7 8 5 2
13. 2 或1 14. ( , , ) 15. ( ,2) 16. 0,1+
3 3 3 e
17. 解：（Ⅰ） 每组小矩形的面积之和为 1，
(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010) 10 =1， a = 0.030；
（Ⅱ）成绩落在[40,80) 内的频率为 (0.005+0.010+0.020+0.030) 10 =0.65，
落在[40,90) 内的频率为 (0.005+0.010+0.020+0.030+0.025) 10= 0.9，
设第 75 百分位数为 m，由0.65+ (m 80) 0.025= 0.75，
得m =84，故第 75 百分位数为 84；
（Ⅲ）由图可知，成绩在[50,60) 的市民人数为100 0.1=10，
成绩在[60,70) 的市民人数为100 0.2= 20，
10 51+ 63 20
故 z = = 59 ，
10 + 20
设成绩在[50,60) 中 10 人的分数分别为 x1 ， x x2 ， x3 ， ， 10 ；
成绩在[60,70) 中 20 人的分数分别为 y1 ， y2 ， y3， ， y20 ，
x2 2 2 2 2 2
则由题意可得， 1
+ x2 + + x10 2 y1 + y + + y 51 = 7 ， 2 20 632 = 4，
10 20
即 x21 + x
2 2 2 2 2
2 + + x10 = 26080， y1 + y2 + + y20 = 79460 ，
s2
1
= (x2 + x2 + + x2 + y2 + y2 2 2
1 2
1 2 10 1 2 + + y20 ) z = (26080+ 79460) 59 = 37 ，
10 + 20 30
所以两组市民成绩的总平均数是 59，总方差是37 .
18. 解：（Ⅰ）在 PAB 中， PA2 + AB2 = 32 + 22 = ( 13)2 = PB2 .
所以 PAB = 90 ，即 AB ⊥ PA；
又因为 AB ⊥ AD ，
在平面 PAD 中， PA AD = A，
所以 AB ⊥平面 PAD ；
（Ⅱ）因为平面 PAB ⊥平面 ABCD ，
平面 PAB 平面 ABCD = AB ， AB ⊥ AD ，
AD 平面 ABCD ，
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所以 AD ⊥平面 PAB ，所以 AD ⊥ PA ，
由（Ⅰ）已证 AB ⊥ PA，且已知 AB ⊥ AD ，
故以 A 为原点，建立如图空间直角坐标系 A-xyz ，
则 D(2,0,0)， P(0,0,3)，C(3,2,0) ，
所以 AP = (0,0,3) ， AD = (2,0,0)，
AC = (3,2,0) ，CP = ( 3, 2,3)
因为 E 为 PD 中点，
1 3
所以 AE = (AP + AD) = (1,0, )，
2 2
由 PC = 3FC知，
1 2 4
AF = AC +CF = AC + CP = (3,2,0) + ( 1, ,1) = (2, ,1)，
3 3 3
设平面 AEF 的法向量为 n = (x, y, z)，
3
x + z = 0 n AE = 0 2
则 即 ，令 z = 2 ，则 x = 3， y = 3，
n AF = 0 42x + y + z = 0
3
于是 n = ( 3,3,2)，
又因为由（Ⅰ）已证 AB ⊥平面 PAD ，
所以平面 PAD 的法向量为 AB = (0,2,0)，
n AB 3 2 3 22
所以 cos n, AB = = = ，
| n || AB | 2 9 + 9 + 4 22
3 22
平面 FAE 与平面 AED 夹角的余弦值 ；
22
（Ⅲ）设 Q 是线段 AC 上一点，则存在 [0,1]使得 AQ = AC ，
因为 AC = (3,2,0) ， DA = ( 2,0,0)，
所以 DQ = DA+ AQ = DA+ AC = (3 2,2 ,0) ，
因为 DQ 平面 AEF ，
所以 DQ / / 平面 AEF 当且仅当 DQ n = 0 ，
即 (3 2,2 ,0) ( 3,3,2) = 0，
即 (3 2) ( 3) + 2 3+ 0 2 = 0，解得 = 2，
因为 = 2 [0,1]，所以线段 AC 上不存在 Q 使得 DQ / / 平面 AEF .
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19. 解：（Ⅰ）以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，过点 A 且垂直于 AB 的直线为 y 轴，建立如图所示
的平面直角坐标系．
由题意可设点 P 的坐标为 (a,1) ，
因为直线 AN 的斜率 kAN = tan = 1，
且直线 AN 经过点 A(0,0) ，
所以直线 AN 的方程为 x + y = 0
a +1
因为点 P 到直线 AN 的距离为 2 ，所以 = 2 ，
2
解得 a =1或 a = 3(舍去 ) ，
所以点 P 的坐标为 (1,1)；
（Ⅱ）由题意可知直线 BC 的斜率一定存在，故设其直线方程为 y 1= k(x 1)，
y 1= k(x 1) k 1 k 1
联立 ，得 x
x + y = 0 C
= ， yC = ，
k +1 k +1
1 k 1
对于直线 BC 的方程 y 1= k(x 1)，令 y = 0 ，得 xB = +1= ，
k k
1 k 1 k 1 1
所以 S ABC = = 4 ，解得 k = ，
2 k k +1 3
1
所以直线 BC 的方程为 y 1= (x 1)，即 x + 3y 4 = 0 .
3
1 ax 1
20. 解：（Ⅰ）易知 x 0， f (x) = a = ，
x x
当 a 0时， f (x) 0 ，函数 f (x) 在 (0,+ ) 上单调递减；
1 1
当 a 0时， x (0, )时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减， x ( ,+ ) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增，
a a
综上，当 a 0时，函数 f (x) 在 (0,+ ) 上单调递减；
1 1
当 a 0时， f (x) 在 (0, )上单调递减，在 ( ,+ )上单调递增；
a a
1
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0 a 1时， f (x) 在 x = 处取得最小值1+ lna，
a
若 x (0,+ ) ，使得 f (x) 3a a2 ln 2，只需 a2 3a +1+ ln a + ln 2 0 ，
1 (2a 1)(a 1)
令 g(a) = a2 3a +1+ ln a + ln 2，由 g (a) = 2a 3+ = ，
a a
1
可得，当 a (0, )时， g (a) 0， g (a)单调递增，
2
1
当 a ( ,1) 时， g (a) 0， g (a)单调递减，
2
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1 1 1 3 1 1
故当 a = 时， g(a)max = g( ) = +1+ ln + ln 2 = 0，
2 2 4 2 2 4
所以， x (0,+ ) ，使得 f (x) 3a a2 ln 2 .
1 3
+ =12a2 4b2
c 2
21. （Ⅰ）由题意， e = = ，解得a2 = 2，b2 =1，c2 =1，
a 2
a2 = b2 + c2
x2
所以椭圆的标准方程为 + y2 =1；
2
（Ⅱ）由题意，两直线 l1、 l2 的斜率均存在，且两直线的斜率之积为 1，
1
设 l2 的斜率为 k，则 l1的斜率为 (k 0)，
k
则直线 l y = k x m kx y km = 02 的方程为 ( )，即 ，
1
直线 l1的方程为 y = (x m)，即 x ky m = 0，
k
m
l1 与圆 O 相切于点 P， =1，化简得m
2 =1+k2，
1+ k 2
y = k (x m)
由 x2 得，2 (2k
2 +1) x2 4mk2x + 2k2m2 2 = 0，
+ y =1
2
= ( 4mk2)2 4(2k2 +1)(2m2k2 2) 0，化简得，1+ k2 (2 m2 ) 0，
由m2 =1+k2得， k2 =m2 1，
代入上式化简得，m4 3m2 +1 0，
3 5 3+ 5
解得 m2 ，
2 2
3+ 5 5 +1
又m 1，则1 m2 ，得1 m ，
2 2
5 +1
所以 m 的取值范围是 1, .
2
解：（Ⅰ）所以 f (x)的单调增区间为 ( , 3]，单调减区间为[ 3,+ )；
4
（Ⅱ）原命题等价于方程a = (1 ) ex解的个数
x + 4
x 2
4 4 4 x e (x + 2)
令 (x) = (1 ) ex ， '(x) = [ +1 ] e = 0，
x+ 4 (x + 4)
2 x + 4 (x + 4)2
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当 x → 时， (x) → 0+ ，
当 x→ 4 时， (x)→+ ，
当 x→ 4+时， (x)→ ，
当 x →+ 时， (x)→+ ， (0) = 0，
于是，当a 0时，方程有两个解，
即函数 f (x)有两个不动点，
当 a 0时，方程只有一个解，
即函数 f (x)有一个不动点；
（Ⅲ）设 t = f (x) ，则 f (t) = t ，
（ⅰ）当a 0时，
f (t) = t 有两个解 t1， t2 ，
其中 t1 4， t2 0 ，
于是 t1 = f (t1) = f (x)，
a(t1 + 4) a(x + 4)即 t1 = = 4， t
e 1 ex
有一个解 x1 ，
t2 = f (t2 ) = f (x) ，
a(t2 + 4) a(x + 4)即 t2 = = 0， t
e 2 ex
有两个解 x2 ， x3 ，
因此a 0不成立；
（ⅱ）当a 0时，
f (t) = t 有且只有一个解 t0 ，
其中 4 t0 0 ，
于是 t0 = f (t0 ) = f (x)，
a(t + 4) a(x + 4)
即 4 t = 00 = 0， t
e 0 ex
t0 t0 + 4 x+ 4即 = = ，其中 4 t0 3， t
a e 0 ex
或 3 t0 0，方程有两个解 x1 ， x2 ，
当 t0 = 3时，方程只有一个解 x = 3，此时
3
a = ，
e3
3 3
综上所述， a 的取值范围 ( , ) ( ,0) .
e3 e3
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