2023-2024学年第一学期期中考试教师版
姓名 ___________班级 ___________座号 ___________
一 单选题 每题 5分 共 40分
2 x
1．设集合 A x∣x 2 x 8 0 , B x∣2 2 0 则 A B
A． 1, B． 1, 4 C． 2, 4 D． 2,
答案 B
分析 先求出集合 A , B 再由交集的定义求解即可.
详解 因为 2x 2 x 8 0 所以 x 2 x 4 0 则 2 x 4
又因为 x2 2 0 则 x 1 所以 A 2, 4 , B 1,
所以 A B 1, 4 .
故选 B.
2．欧拉公式 i e cos i si n 由瑞士数学家欧拉发现 其将自然对数的底数 e 虚数单
iπ
位 i 与三角函数 cos sin 联系在一起 被誉为 数学的天桥 若复数 z e 2 则
z的虚部为
2 2
A． i B．1 C． i D．
2 2
答案 D
分析 由欧拉公式化简复数 z 再由复数的定义即可得出答案.
iπ
iπ 1 2 iπ π i
详解 因为 z e 2 e 2 e 4 e 4
π
i π π 2 2 2
因为 e 4 cos i si n i 所以 z的虚部为 .
4 4 2 2 2
故选 D.
3．若向量 a , b 满足 a 1, a b a , 2a b b ,则 b
2
A．2 B． 2 C．1 D．
2
答案 B
(a b ) a 0 1 b a 0
详解 试题分析 由题意易知 { 即 {
2b 2a b 2
(2a b ) 2b 0 2b a b 0
即 b 2 .
故选 B.
考点 向量的数量积的应用.
试卷第 1页 共 3页
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4．已知等差数列 a n 的公差不为 0 a 1且 a a a1 2 4 8成等比数列 则
a a a a
A． a 4 5
S n 1n 1 1 194045
2023 B． C． D． 2
a a
3 4 n 1 2 a a4 6
答案 D
分析 先求出通项公式 a nn 再利用通项公式和前 n项和公式对四个选项一一计算
进行判断.
详解 设等差数列 a n 的公差为 d d 0 .
2
因为 a 1且 a , a , a1 2 4 8成等比数列 所以 1 3d 1 d 1 7d .
解得 d 1 所以 a a n 1 d 1 n 1 1 nn 1 .
对于 A a 20232023 故 A错误
a a 4 5 1 a a
4 5
对于 B 因为 4 50 所以 故 B错误
a a 3 4 12 a a
3 4 3 4
a a n 1 n 2 n 1
对于 C 因为 1 n 1
S
n 1
2 2
S n 1 n 2 n 2 n 1n 1
所以 故 C 错误 n 1 2 n 1 2 2
a a 1 19
1 19
对于 D 因为 2 故 D正确.
a a 4 6
4 6
故选 D
5．如图是一个圆台的侧面展开图 扇形的一部分 若扇形的两个圆弧所在圆的半径分
别是 1和 3 且 ABC 120 则该圆台的体积为
14 2 2 52 2 4 2
A． π B． π C． π D． π
81 3 81 3
答案 C
分析 根据给定条件 求出圆台的上下底面圆的半径 再求出圆台的高并结合圆台的
体积公式求解作答.
2π
详解 设圆台上底面圆半径为 r r1 下底面圆半径为 2 依题意 2πr 11 且
3
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2π 1
2πr 3
2 解得 r , r 11 2
3 3
2 2 2 4 2而圆台的母线长 2l AD 3 1 2 因此圆台的高 h l ( r r ) 4 ( )
2 1
3 3
π π 4 2 1 1 52 2π
所以圆台的体积 2V h ( r r r 2 2 2r ) [( ) 1 1 ] .
1 1 2 2
3 3 3 3 3 81
故选 C
6．算盘起源于中国 迄今已有 2600多年的历史 是中国传统的计算工具 现有一种
算盘 如图 1 共两档 自右向左分别表示个位和十位 档中横以梁 梁上一珠拨下
记作数字 5 梁下五珠 上拨一珠记作数字 1 如图 2中算盘表示整数 51 .如果拨动
图 1算盘中的两枚算珠 则表示的数字大于 50的概率为
1 3 1 5
A． B． C． D．
4 8 2 8
答案 B
分析 根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果 从而得到表示不同整数的个数
和表示的数字大于 50的个数 再根据古典概型概率计算公式即可求解.
详解 拨动图 1算盘中的两枚算珠 有两类办法
第一类 只在一个档拨动两枚算珠共有 4种方法 表示的数字分别为 2, 6, 20, 60
第二类 在每一个档各拨动一枚算珠共有 4种方法 表示的数字分别为11,15, 51, 55
所以表示不同整数的个数为 8.
其中表示的数字大于 50的有 51, 55, 60共 3个
3
所以表示的数字大于 50的概率为 .
8
故选 B
2 2
x y
7．已知椭圆 C 1 a b 0 过点 a , 0 且方向向量为 n 1, 1 的光
2 2
a b
线 经直线 y b反射后过 C的右焦点 则 C的离心率为
3 2 3 4
A． B． C． D．
5 3 4 5
答案 A
分析 设过点 A a , 0 且方向向量为 n 1, 1 的光线 经直线 y b的点为 B 右
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{#{QQABQQaAggigQBJAABhCQwESCgKQkAEACAoGABAIsAAAABNABCA=}#}
焦点为 C 根据方向向量 n 1, 1 的直线斜率为 1 结合反射的性质可得 AB BC
再结合等腰直角三角形的性质列式求解即可.
详解 设过点 A a , 0 且方向向量为 n 1, 1 的光线 经直线 y b的点为 B 右
焦点为 C.
因为方向向量 n 1, 1 的直线斜率为 1 则 C AB 45 k 1AB 又由反射光的性
质可得 k 1BC 故 AB BC 所以 ABC 为等腰直角三角形 且 B 到 AC 的距离为 b
又 AC c 2 2 2 2 2a 故 a c 2b a c 2ac 4b 4 a c 则 3a 5c a c 0
c 3
故 3a 5c 离心率 e .
a 5
故选 A
8．已知奇函数 f x 在 R 上是减函数 g x xf x 若 a g log 5.1 b g2 3
0.8c g 2 则 a b c的大小关系为
A． a b c B． c b a C． b c a D． b a c
答案 D
分析 由题可知 g x 为偶函数 且在 0, 上单调递减 利用函数的单调性可比较
出 b a c .
详解 因 f x 为奇函数且在 R 上是减函数 所以 f x f x 且 x 0 时
f x 0 .
因 g x xf x 所以 g x xf x xf x 故 g x 为偶函数.
当 x 0时 g x f x xf x 0 因 f x 0 f x 0 所以 g x 0 .
即 g x 在 0, 上单调递减.
a g log 5.1 g log 5.12 2
0.8 0.8因 3 log 9 log 5.1 log 4 2 22 2 2 所以 g 3 g log 5.12 g 2 即 b a c .
故选 D.
二 多选题
9．下列说法正确的是
A．一组数 1 5 6 7 10 13 15 16 18 20的第 75百分位数为 16
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B．在经验回归方程 y 0.6 x 2中 当解释变量 x 每增加 1个单位时 相应变量 y
增加 0.6 个单位
C．数据 a , a , a , , a1 2 3 n的方差为 M 则数据 3a 1, 3a 1, 3a 1, , 3a 11 2 3 n 的方差为
9M
50
2 1 2
D．一个样本的方差 s x 2i 则这组样本数据的总和等于 100
50 i 1
答案 ACD
分析 由百分位数的定义 即可判断 A 由回归方程的性质即可判断 B 由方差的性
质即可判断 CD.
详解 因为10 75 0 7 . 50 所以这组数据的第 75百分位数是第 8个数 即为 16
A正确
由回归方程可知 当解释变量 x 每增加 1个单位时 相应变量 y 减少 0.6 个单位 B错
误
选项 C 由 D X M 可得 D 3X 1 9D X 9M C正确
50
2 1 2
由 s x 2i 得 x 2 所以这组样本数据的总和等于 50 2 100 故 D正确
50 i 1
故选 ACD
1
10．把函数 y sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 再把所得
2
π
曲线向左平移 个单位长度 得到函数 y g x 的图象 则
6
π 5π
A． g x 在 , 上单调递减
3 6
B． g x 在 0, π 上有 2个零点
πC． y g x 的图象关于直线 x 对称
12
π 3 3
D． g x 在 , 0 上的值域为 , 2 2 2
答案 BC
分析 由题意 由函数 y A sin( x+ )的图象变换规律 求得 y g x 的解析式 再
根据正弦函数的图象和性质 逐一判断各选项得出结论.
1 详解 把函数 y sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变
2
可得到 y sin 2 x 的图象
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{#{QQABQQaAggigQBJAABhCQwESCgKQkAEACAoGABAIsAAAABNABCA=}#}
π π
再把所得曲线向左平移 个单位长度 得到函数 y g x sin(2 x ) 的图象
6 3
π 5π π
x ( , ) 时 2 x (π, 2π )
3 6 3
π 7π 7π 5π
则 g x 在 ( , )单调递减 在 ( , ) 单调递增 故 A错误
3 12 12 6
π kπ π
令 g x 0 得 2 x kπ(k Z ) 即 x
3 2 6
kπ π 1 7
因为 x [0, π] 所以 0 π 解得 k
2 6 3 3
因为 k Z 所以 k 1或 k 2 所以 g x 在 0, π 上有 2个零点 故 B正确
π π π π
因为 g ( ) sin(2 ) sin 1 为 g x 的最大值
12 12 3 2
π
所以直线 x 是 y g x 的图象的一条对称轴 故 C正确
12
π π
2π π 3
当 x , 0 时 2 x , g ( x ) 1, 故 D错误. 2 3 3 3 2
故选 BC
11．如图 在矩形 AEFC中 AE 2 3 EF=4 B为 EF中点 现分别沿 AB BC将
△ABE △BCF翻折 使点 E F重合 记为点 P 翻折后得到三棱锥 P-ABC 则
4 2
A．三棱锥 P ABC 的体积为 B．直线 PA与直线 BC所成角的余弦值为
3
3
6
1
C．直线 PA与平面 PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥 P ABC 外接球的半径为
3
22
2
答案 BD
分析 证明 BP 平面 P AC 再根据V VP ABC B P AC 即可判断 A 先利用余弦定理求
出 cos AP C 将 BC 用 P C , P B 表示 利用向量法求解即可判断 B 利用等体积法求出点
d
A 到平面 P BC 的距离d 再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 即可判断C
P A
利用正弦定理求出♀ P AC 的外接圆的半径 再利用勾股定理求出外接球的半径即可判
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{#{QQABQQaAggigQBJAABhCQwESCgKQkAEACAoGABAIsAAAABNABCA=}#}
断 D.
详解 由题意可得 BP AP , BP C P
又 AP C P P , AP , C P P , AP , C P 平面 P AC
所以 BP 平面 P AC
2
在 P AC 中 2♀ P A P C 2 3 AC 边上的高为 2 3 2 2 2
1 1 8 2
所以V V 4 2 2 2 故 A错误 P ABC B P AC
3 2 3
12 12 16 1
对于 B 在♀ P AC 中 cos AP C
2 2 3 2 3 3
BC 12 4 4
P A BC P A P C P B P A P C P A P B
cos P A , BC
P A BC 2 3 4 8 3
1
2 3 2 3
3
3
8 3 6
3
所以直线 PA与直线 BC所成角的余弦值为 故 B正确
6
1
对于 C S P B P C 2 3P BC
2
设点 A 到平面 P BC 的距离为d
1 8 2 4 6
由V VB P AC A P BC 得 2 3d 解得 d
3 3 3
4 6
所以直线 PA与平面 PBC所成角的正弦值为 d 3
2 2
故 C错误
P A 2 3 3
1 2 2
由 B选项知 cos AP C 则 sin AP C
3 3
1 AC 3
所以♀ P AC 的外接圆的半径 r
2 sin AP C 2
设三棱锥 P ABC 外接球的半径为 R
又因为 BP 平面 P AC
2
2 2 1 9 11 22则 R r P B 1 所以 R
2 2 2 2
22
即三棱锥 P ABC 外接球的半径为 故 D正确.
2
故选 BD.
12．设函数 f x 的定义域为 R 且满足 f x f 2 x f x f x 2 当 x 0,1
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时 f x x ln x 则 ．
A． f x 是周期为 2的函数
B． f 2022 0
C． f x 的值域是 e, e
2023
D．方程 ef x 1在区间 0, 内恰有 1011个实数解 2
答案 BD
分析 根据已知条件推出函数 f x 是奇函数．且以 4为周期 得 A错误 根据周期
计算 f 2022 0 得 B正确 利用导数和函数的周期性求出函数的值域可得 C错误
根据函数 y
1
f x 图象与 y 的图象交点个数 可得 D正确．
e
详解 函数 f x 的定义域为 R 关于原点对称
因为 f x f 2 x 所以 f x f x 2
又因为 f x 2 f x 所以 f x f x 所以 f x 是奇函数．
由 f x f x 2 得 f x 4 f x 2 f x
所以 f x 以 4为周期 故 A错误．
因为 f x 是奇函数 且定义域为 R 所以 f 0 0．
因为 f 2022 f 4 505 2 f 2 f 0 0 所以 f 2022 0 故 B正确．
因为当 x 0,1 时 f x x ln x 所以 f x ln x 1
1 1
当 0 x 时 f ( x ) 0 当 x 1时 f ( x ) 0
e e
1 1
所以 f x 在 0, 上单调递减 在 ,1 上单调递增
e e
1 1 1
所以 f ( x ) f ( ) 又 f (1) 0 所以 f x , 0min ．
e e e
1
因为 f x 为奇函数 所以当 x 1, 0 时 f x 0, e
1 1
因为 f x 的图象关于直线 x 1对称 所以当 x 1, 3 时 f x , e e
1 1
因为 f x 的周期为 4 所以当 x R 时 f x , 故 C错误． e e
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方程 ef x
1
1的解的个数 即 y f x 的图象与 y 的图象交点个数．
e
1
因为 y f x 的周期为 2 且当 x 0, 2 时 y f x 与 y 有 2个交点
e
2023 1
所以当 x 0, 时 y f x 与 y 有 1011个交点 故 D正确． 2 e
故选 BD.
点睛 方法点睛 求函数零点或方程实根根的个数常用的方法
1 直接法 直接求解方程得到方程的根
2 数形结合法 先对解析式或方程变形 进而构造两个函数 然后在同一平面直角
坐标系中画出函数的图象 利用数形结合的方法求解.
三 填空题
13．若 cos
3
是第三象限角 则 tan 2 ．
5
24
答案
7
分析 根据同角三角函数的关系分别求出角 的正弦和正切 再利用二倍角的正切公
式即可求解.
3
详解 因为 cos 且 是第三象限角
5
2 4 sin 4
所以 sin 1 cos 则 tan
5 cos 3
8
2 tan 3 24
所以 tan 2
2
1 tan 16 7
1
9
24
故答案为 .
7
n
2
14．已知 x 展开式中各项的二项式系数和是 64 则展开式中的常数项
x
为 .
答案 160
n
2
分析 先通过 n2 64得到 n 再写出 x 的展开式的通项 令 x 的次数为 0即可
x
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得到常数项.
n
2
详解 由 x 的展开式中 二项式系数之和为 64得
n
2 64 n 6
x
n r
2 r 6 r
2 r
则 r 6 2 r x 的展开式的通式为T C x 2 C x r 1 6 6
x x
令 6 2 r 0 得 r 3
3 3
所以展开式中常数项为T 2 C 160 .4 6
故答案为 160 .
15．已知点 A 2, 0 B 0, 2 动点M满足 AM M B 0 则点M到直线 y x 2 的
距离可以是 ． 写出一个符合题意的整数值
答案 0或 1 (只写一个即可)
2 2分析 由题设知 M 的轨迹为 ( x 1) ( y 1) 2 根据圆心到 y x 2 距离得到 M 到
直线距离的范围 即可写出一个值.
详解 由题设知 AM M B 即 M 在以 AB 为直径的圆上 且圆心为 ( 1,1) 半径为 2
2 2
所以 M 的轨迹为 ( x 1) ( y 1) 2
0
而 ( 1,1)到 y x 2 的距离为 d 0 即直线过圆心
2
所以M到直线 y x 2 的距离范围 [0, 2 ]
所以点M到直线 y x 2 的距离的整数值可以是 0或 1.
故答案为 0或 1 (只写一个即可)
3 2 a a 6
16．若函数 f x 2 x ax a 0 在 , 上有最大值 则 a的取值范围
2 3
是 .
答案 , 4
a 3a
分析 令 f x 0 易得当 x 时 f x 取得极大值 f x 再由
3 27
3
a a a a a 6
3 2f x 2 x 2ax 求得 x 或 x 根据 f x 在 , 上有最大值
27 3 6 2 3
a a 6 a
由 求解.
3 3 6
3 2 详解 解 因为函数 f x 2 x ax a 0
2
所以 f x 6 x 2ax
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a
令 f x 0 解得 x 0或 x
3
a
当 x 或 x 0时 f ( x) > 0
3
a
当 x 0 时 f x 0
3
a 3a
所以当 x 时 f x 取得极大值 f x
3 27
3 2
3 2 a a a 又 f x 2 x 2ax 即 x 2 x 0
27 3 3
a a
解得 x 或 x
3 6
a a 6
因为 f x 在 , 上有最大值
2 3
a a 6 a
所以
3 3 6
解得 a 4
所以 a的取值范围是 , 4 .
故答案为 , 4
四 解答题
17．已知角 的顶点与坐标原点重合 始边与 x 轴的非负半轴重合 角 的终边过点
A 5, 12 ．
3π
(1)求 sin 2 的值
2
π 4(2)若 0, 2π 0, sin 求 cos 的值．
2 5
119
答案 (1)
169
63
(2)
65
分析 1 根据终边所过点可得 sin , cos 利用诱导公式和二倍角余弦公式可求得
结果
2 根据角的范围和同角三角函数平方关系可求得 cos 由
cos cos 利用两角和差余弦公式可求得结果.
12 12
详解 1 角 的终边过点 A 5, 12 sin
2
5
2 13
12
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5 5cos
2 2
5 1312
3π
2 25 119sin 2 cos 2 1 2 cos 1 2 .
2 169 169
3π
2 0, 2π sin 0 cos 0 π,
2
π 0,
π
, 0
π 3π 2 3
, cos 1 sin
2 2 2 2 5
cos cos cos cos sin sin
5 3 12
4
63
.
13 5 13 5 65
218．等比数列 a n 的各项均为正数 且 2a 3a 1, a 9a a1 2 3 2 6 .
1 求数列 a n 的通项公式
1
2 设 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an 求数列 的前 n项和 Tn .
bn
1 2n
答案 1 a n 2 .n
3 n 1
分析 1 根据题意列出方程组 求出首项与公比 即可求出等比数列的通项公式即
可
1
2 由 an＝ 化简 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an 可得到 bn的通项公式 求出
n
3
1
的通项公式 利用裂项相消法求和.
b
n
详解 1 设数列{an}的公比为 q,
2
由 a ＝9a a
2 2
2 6得 a a3 3 ＝9 4 ,
2 1 1
所以 q ＝ .由条件可知 q＞0,故 q＝ .
9 3
1
由 2a1＋3a2＝1得 2a1＋3a1q＝1,所以 a1＝ .
3
1
故数列{an}的通项公式为 an＝ .
n
3
n n 1
2 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－ 1＋2＋…＋n ＝－ .
2
1 2
1 1
故 2
b n n
.
1 n n 1n
1 1 1 1 1 1 1 1 2n 2 1
b b b 2 2 3 n n 1 n 11 2 n
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1 2n
所以数列 的前 n项和为
bn n 1
19． 2已知函数 f ( x ) ( x 4)( x a ) , a R , 且 f 1 0
1 求函数 f ( x )在 2,2 上的最大值和最小值．
1 2
2 求曲线 g x =f x + x 斜率最小的切线方程．
2
9 50
答案 1 最大值为 最小值为 2 y 4 x 2
2 27
分析 1 求出导函数 利用导数值求出参数 a 再根据导数与函数单调性之间的关
系求出函数的单调区间 进而求出最值.
2 求出 g x 求出 g x 4 再由导数的几何意义即可求解.
min
2 2详解 f ( x ) 2 x ( x a ) ( x 4) 3x 2ax 4
由 f 1
1
0 即 3 2a 4 0 解得 a .
2
2 1
所以 f ( x ) ( x 4)( x )
2
2
求导可得 f ( x ) 3x x 4
42令 f ( x ) 3x x 4 0 解得 x= 1或 x
3
4令 f ( x ) 0 解得 x 或 x 1
3
令 f
4
( x ) 0 解得 1 x
3
4
所以函数在
2, 1 , 2 上单调递增
3
4
在 1, 上单调递减
3
9 4 50
所以函数 f x 的极大值为 f 1 极小值为 f
2 3 27
又 f 2 f 2 0
9 50所以 f ( x )在 2,2 上的最大值为 最小值为 .
2 27
1 2 2 1 1 2 2
2 g x f x x x 4 x x x 4 x 2
2 2 2
g 2 x 3x 4 g x 4
min
1 2
设与曲线 g x f x x 相切的斜率最小时 切点为 x , y0 0
2
2
由导数的几何意义可得 k g x 40 即 3x 4 40
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{#{QQABQQaAggigQBJAABhCQwESCgKQkAEACAoGABAIsAAAABNABCA=}#}
解得 x 00 代入 g x 可得 y 20
所以切线方程为 y 2 4 x 0
即 y 4 x 2
20．某市举行招聘考试 共有 4000人参加 分为初试和复试 初试通过后参加复试．为
了解考生的考试情况 随机抽取了 100名考生的初试成绩 并以此为样本绘制了样本
频率分布直方图 如图所示．
(1)根据频率分布直方图 试求样本平均数的估计值
(2)若所有考生的初试成绩 X近似服从正态分布 N , 2 其中 为样本平均数的估计
值 13 试估计初试成绩不低于 88分的人数
(3)复试共三道题 第一题考生答对得 5分 答错得 0分 后两题考生每答对一道题得
10分 答错得 0分 答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复
3 3
试 他在复试中第一题答对的概率为 后两题答对的概率均为 且每道题回答正确
4 5
与否互不影响．记该考生的复试成绩为 Y 求 Y的分布列及均值．
2
附 若随机变量 X服从正态分布 N , 则 P X 0.6827
P 2 X 2 0.9545 P 3 X 3 0.9973．
答案 (1) 62
(2) 91人
63
(3)分布列见解析 均值为
4
分析 (1)根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解
(2)由 2 62 2 13 88可知 P X 88 P X 2 即可求解
(3)根据题意确定 Y的取值分别为 0 5 10 15 20 25 利用独立性可求得分布列
进而求得均值.
详解 1 样本平均数的估计值为
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{#{QQABQQaAggigQBJAABhCQwESCgKQkAEACAoGABAIsAAAABNABCA=}#}
40 0.010 50 0.020 60 0.030 70 0.024 80 0.012 90 0.004 10 62．
2
2 因为学生初试成绩 X服从正态分布 N , 其中 62 2 213
则 2 62 2 13 88
1
所以 P X 88 P X 2 1 0.9545 0.02275
2
所以估计初试成绩不低于 88分的人数为 0.02275 4000 91人．
3 Y的取值分别为 0 5 10 15 20 25
2
3 3 1
则 P Y 0 1 1
4 5 25
2
3 3 3
P Y 5 1
4 5 25
3 1 3 3 3
P Y 10 1 C 1 2
4 5 5 25
3 1 3 3 9
P Y 15 C 1 2
4 5 5 25
2
3 3 9
P Y 20 1
4 5 100
2
3 3 27
P Y 25
4 5 100
故 Y的分布列为
Y 0 5 10 15 20 25
1 3 3 9 9 27
P
25 25 25 25 100 100
1 3 3 9 9 27 63
所以数学期望为 E Y 0 5 10 15 20 25 ．
25 25 25 25 100 100 4
2
1
21．已知函数 f ( x ) sin x sin x cos x .
6 12 2
1 求函数 f x 的单调递减区间
B 3
2 已知锐角△ABC的内角 A B C的对边分别为 a b c 且 f , b 3
2 2
求 acosB﹣bcosC的取值范围.
3 1 1
答案 1 k , k k Z 2 , 4 4 2 2
分析 1 先利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式 再利用整体代换解不等
式的方法求函数 f x 的单调递减区间即可
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{#{QQABQQaAggigQBJAABhCQwESCgKQkAEACAoGABAIsAAAABNABCA=}#}
B 3
2 先根据 f 求得 B 再利用正弦定理 三角形内角和定理及三角恒等
2 2 3
变换等知识将 a cos B b cos C 化简为 cos A 最后结合角 A 的范围求解即可.
6
2 1
详解 解 1 由题意 f ( x ) sin x sin x cos x
6 12 2
3 1 1 sin x sin x cos x2 2
cos 2 x
2 6
3 1 cos 2 x 1 3 1
sin 2 x cos 2 x sin 2 x
4 4 4 4
1 3
sin 2 x ．
2 4
3
令 2k 2 x 2k k Z
2 2
3 解得 k x k k Z
4 4
3
故函数 f x 的单调递减区间为 k , k k Z 4 4
B 1 3 3 3
2 由 1 知 f sin B 解得 sin B
2 2 4 2 2
因为 B
0, 所以 B ．
2 3
a c b 3
2
由正弦定理可知 sin A sin C sin B 3
2
则 a 2 sin A c 2 sin C
a
所以 a cos B b cos C 3 cos C sin A 3 cos A
2 3
3 3 sin A 3 cos A sin A cos A sin A
3 2 2
3 1
cos A sin A cos A
2 2 6
2
A C
3
在锐角 ABC 中 易知 0 A 得 A
2 6 2
0 C 2
2 1 1
因此 A
则 cos A , ．
3 6 3 6 2 2
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1 1
故 a cos B b cos C 的取值范围为 , ．
2 2
点睛 关键点点睛 本题的关键是利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式 在
第 2 题中关键是利用正弦定理将所求式转化为 cos A 结合题中条件求出 A 的
6
范围 从而得解.
1 2
22．已知函数 f x x 4 x m ln x 8 其中m 0．
2
1 讨论函数 f x 的单调区间
2 若函数 f x 有两个极值点 x x 且 x x1 2 是否存在实数 a 使得 f x ax1 2 1 2恒
成立 如果存在请求出实数 a 的取值范围 如果不存在请说明理由．
1
答案 1 答案见解析 2 存在 a 2 .
e
2
x 4 x m 2
分析 1 求导得 f ( x ) 定义域为 (0, ) 令 g ( x ) x 4 x m 然后
x
结合二次函数的性质 分m 4 和 0 m 4两类讨论 g ( x ) 或 f ( x ))与 0的大小关系即
可得解．
f ( x )
1
2 由 1 可知 0 m 4 x 4 x2 1 m x (4 x )1 1 原问题等价于 a 恒成
x
2
f ( x ) 1
1
立 而 (4
1
x ) x l nx
1 1 1 x (0, 2) 于是构造函数 h (t) (4 t) t l nt t (0, 2)1 x 2
2 2
只需满足 a h (t)min 于是再利用导数求出 h (t)在 (0, 2)上的最小值即可．
1 2
详解 解 1 f x x 4 x m ln x 8 定义域为 0,
2
2
m x 4 x m
所以 f x x 4
x x
2
令 g x x 4 x m 对于方程 g x 0 16 4m
①当 0 m 4时 0 g x 0的两个根
为 x 2 4 m x 2 4 m 且 0 x x
1 2 1 2
在 0, x 和 x , 上 f ( x) > 0 在 x , x 上 f x1 2 1 2 0
所以函数 f x 的单调增区间为 0, 2 4 m 和 2 4 m ,
单调减区间为 2 4 m , 2 4 m
②当m 4时 0 f x 0恒成立 所以函数 f x 的单调增区间为 0, 无减
区间
2 由 1 知 若 f x 有两个极值点 则 0 m 4
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又 x x 21 2是 x 4 x m 0的两个根 则 x x 4 x x m1 2 1 2
2所以 x 4 x m x 4 x 4 x x2 1 1 1 1 1
f x1
f x ax a 1 2 恒成立
x
2
1 2
x 4 x m ln x 8
f x 1 1 11 2
x x
2 2
1 2
x 4 x 4 x ln x1 1 1 1
2
4 x
1
1
4 x x ln x1 1 1
2
由 1 知 x 2 4 m ∴ x 1 0, 2 1
1
令 h t 4 t t ln t t 0, 2 只要 a h t 即可
min
2
1 1 1
h t ln t 令 h t 0 则 t 0, 令 h t 0 则 t , 2
2 e e
1 1
所以 h t 在 0, 上单调递减 在 t , 2 上单调递增．
e e
1 1
h t h 2
min e e
1
所以存在 a 2 使得 f x ax1 2恒成立．
e
点睛 本题考查利用导数研究函数的单调性 恒成立问题 且要求熟练掌握二次函数
的性质 考查学生的转化思想 逻辑推理能力和运算能力 属于中档题．
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