空间向量及其线性运算
【要点梳理】
要点一、空间向量的相关概念
1.空间向量的定义：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。
2.空间向量的长度（模）：
表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或
3．空间向量的有关概念：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。
单位向量：长度为1的空间向量，即.
相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
要点诠释：
①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．
要点二、空间向量的加减法
1．加减法定义
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．
2．运算律
交换律：
结合律：
空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
要点三、空间向量的数乘运算
定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当＞0时，a与a方向相同；
当＞0时，a与a方向相反；
当=0时，a=0．
a的长度是a的长度的||倍．如右图所示．
2．运算律．
分配律：(a+b)=a+b；
结合律：(μa)= (μ)a．
要点四、共线定理
1．共线向量的定义．
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．注意： 0与任意向量是共线向量．
2．共线向量定理．
空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使．
要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b；
存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b．
注意: b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．
3. 共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。
要点五、共面定理
1．共面向量的定义．
通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．
2．共面向量定理．
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（），
使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有，
上式叫做平面的向量表达式．
3.共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
【典型例题】
类型一：空间向量的线性运算
例1.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
举一反三：
【变式1】如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
【变式2】已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且，，，用，，表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
例2、如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（ ）
①；②；
③；④．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
举一反三：
【变式1】如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
例3．若三棱锥O一ABC中G是ΔABC的重心，求证：.
举一反三：
【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：
例4、正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x、y、z的值：
（1）；
（2）。
举一反三：
【变式】已知是平行六面体
（1）化简，并在图中标出其结果；
（2）设M是底面ABCD的中心、N是侧面对角线上的分点，
设，试求、、的值。
类型二：共线向量定理的应用
例5．证明：在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．（此点称为四面体的重心）
举一反三：
【变式1】如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点。
求证：平面EFG∥平面AB1C。
类型三：共面向量及应用
例6．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
例7.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
举一反三：
【变式1】如右图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：MN∥平面CDE．空间向量及其线性运算
【要点梳理】
要点一、空间向量的相关概念
1.空间向量的定义：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。
2.空间向量的长度（模）：
表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或
3．空间向量的有关概念：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。
单位向量：长度为1的空间向量，即.
相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
要点诠释：
①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．
要点二、空间向量的加减法
1．加减法定义
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．
2．运算律
交换律：
结合律：
空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
要点三、空间向量的数乘运算
定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当＞0时，a与a方向相同；
当＞0时，a与a方向相反；
当=0时，a=0．
a的长度是a的长度的||倍．如右图所示．
2．运算律．
分配律：(a+b)=a+b；
结合律：(μa)= (μ)a．
要点四、共线定理
1．共线向量的定义．
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．注意： 0与任意向量是共线向量．
2．共线向量定理．
空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使．
要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b；
存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b．
注意: b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．
3. 共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。
要点五、共面定理
1．共面向量的定义．
通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．
2．共面向量定理．
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（），
使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有，
上式叫做平面的向量表达式．
3.共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
【典型例题】
类型一：空间向量的线性运算
例1.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
【解析】选：A，
∵，，，∴，
举一反三：
【变式1】如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
【答案】A 显然
【变式2】已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且，，，用，，表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】如图所示，连接ON，AN，则
，
所以
例2、如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（ ）
①；②；
③；④．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解析】 ①；
②；
③；
④．
因此，①②两式的运算结果为向量，而③④两式运算的结果不为向量．故选A．
举一反三：
【变式1】如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
【答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，封闭图形，首尾连接的向量的和为0。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
例3．若三棱锥O一ABC中G是ΔABC的重心，求证：.
【解析】如图所示，∵G是ΔABC的重心，
∴，D为BC的中点
∴
举一反三：
【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：
【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴，，，
∴
又由于，，
∴
∴。
例4、正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x、y、z的值：
（1）；
（2）。
【解析】（1）∵，
又∵，
∴x=1，y=－1，z=1。
（2）∵
，
又∵，
∴，，。
举一反三：
【变式】已知是平行六面体
（1）化简，并在图中标出其结果；
（2）设M是底面ABCD的中心、N是侧面对角线上的分点，
设，试求、、的值。
【答案】（1）如图，取的中点为E，则
取F为的一个三等分点，则
又，，
∴。
（2）
∴，，。
类型二：共线向量定理的应用
例5．证明：在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．（此点称为四面体的重心）
【解析】∵E、G分别为AB、AC的中点，∴，同理，
∴．从而四边形EGFH为平行四边形，对角线相交于一点O，
且O为它们的中点．连接OP、OQ．
只要能证明向量，就可以说明P、O、Q三点共线，且O为PQ的中点．
事实上，，，而O为GH的中点，
∴，，，∴，．
∴．
∴， ∴PQ经过O点，且O为PQ的中点．
即证得EF、GH、Q相交于点O，且O为它们的中点，故原命题得证．
举一反三：
【变式1】如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点。
求证：平面EFG∥平面AB1C。
【答案】证明：设，，，
则，
∴， ∴，∴EG∥AC
又∵，
∴，∴，EF∥B1C。
又∵EG与EF相交，AC与B1C相交，
∴平面EFG∥平面AB1C
类型三：共面向量及应用
例6．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
【解析】（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
例7.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
【解析】
举一反三：
【变式1】如右图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：MN∥平面CDE．
【答案】 证明：如题图，因为M在BD上，且，
所以．
同理．
所以
．
又与不共线，
根据向量共面的充要条件可知，，共面．
由于MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE．
