天津市滨海新区2023-2024学年高三上学期期中质量调查
（数学）试卷
满分：150分 时长：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知全集，集合，，则为
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
4.设，若直线与直线平行，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗图是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图所示，其中，分别是上下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为，则该陀螺的体积是( )
A. B. C. D.
7.设点，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. 或 B. 或 C. D.
8.已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的可能值为( )
A. B. C. D.
9.已知双曲线的左、右焦点分别为、若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且，则双曲线的浙近线方程为( )
A. B. C. D.
10.对，，当时，，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
11.已知为虚数单位，则___________．
12.已知向量，，若，则实数的值为________．
13.已知，，则的值为
14.圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是 ．
15.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
16.已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则 ，椭圆的离心率为 ．
17.如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，且，则 ，若是线段上的一个动点，则的最小值为 ．
18.已知函数，函数有四个不同零点，从小到大依次为，则实数的取值范围为 ；的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共4小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，，已知．
求角的大小；设，，求的值．
20.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．
求证：平面；
求平面与平面夹角的大小；
已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求点到平面的距离．
22.本小题分
已知函数，，
当，时，求曲线在处的切线方程；
当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
当，时，若方程有两个不同的实数解，，求证：．答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．
熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
【解答】
解：，，，
，
则．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由，得或，
则“”是“”的充分不必要条件，
故选A．
3.【答案】
【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】
解：函数，则，
则函数为奇函数，故排除，，
当时，，故排除，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线平行的判定，属于基础题．
由题得，再验证两条直线是否重合即可得解．
【解答】
解：因为直线：与直线：平行，
所以，即或，
又时两直线重合，
所以．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数函数及其性质，属于基础题．
由指数函数和对数函数的单调性易得，，，从而得出，，的大小关系．
【解答】
解：，
，
，
，
，
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查简单组合体的体积，属于基础题．
根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案．
【解答】
解：已知底面圆的半径，由，则，
故该陀螺的体积．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
画出图形，由题意得所求直线的斜率满足 或，用直线的斜率公式求出 和 的值，求出直线的斜率的取值范围．
【解答】
解：如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足 或，
即，或，，或，
即直线的斜率的取值范围是或．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数图象的变换及函数的图象与性质，利用图象变换法则求出平移后的函数的解析式即可求解．
【解答】
解：将函数的图象向右平移个单位长度，
可得的图象，所以．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的性质，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查属于中档题．
利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出与之间的等量关系，可知答案．
【解答】
解：如图所示，渐近线为，，
点到渐近线的距离为，而，
故在直角三角形中，由勾股定理和可得，有．
因为，可知．
根据双曲线定义可知，整理得，
在三角形中，，
代入整理得，
双曲线渐近线方程为，
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数研究恒成立问题，属于较难题．
对于原不等式进行同构处理，可得，构造函数，可知函数在上单调递增，求导，令恒成立，即可求出的取值范围．
【解答】
解：对于任意，当时，成立，
两边取对数化简可得，
即恒成立，
令，
，
在上单调递增，
在恒成立，
在恒成立，
只需，
在的最大值为，
，
则实数的取值范围是．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算，属于基础题．
求出复数，然后利用模的计算公式求解即可．
【解答】
解：，
，
．
故答案为．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题．
利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系直接运算即可求出实数的值．
【解答】
解：，，且，
，
解得．
则实数的值为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了两角和的正切公式，属于基础题．
直接利用两角和的正切公式，代入数据计算即可．
【解答】
解：，，
，
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查方程思想及点到线的距离公式，考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
设出圆心坐标，其中由圆心在直线上得出一个方程；再由圆心到直线的距离即半径得出另一个方程，解方程组即可得解．
【解答】
解：设圆心坐标为，
则
解得，，
所以，
所以要求圆的方程为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，椭圆的概念及标准方程的应用，
根据双曲线的标准方程，求出焦点坐标和顶点坐标，即可求解椭圆方程．
【解答】
解：因为双曲线中，，，，
故焦点为，，顶点为，，
所以椭圆的顶点为，，焦点为，，
所以椭圆中，则．
所求椭圆方程为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的性质，以及向量的夹角公式，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
由，可得，即，，即可求解，再结合椭圆的性质和离心率公式，即可求解．
【解答】
解：，
，
，
，
，
设，
，
，
，，，
在中，
，即，解得，
，，
，即，
．
故答案为：；．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，余弦定理，向量加法和数乘的几何意义，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
根据，，即可求出，然后得为等边三角形，从而得出，，且，并据题意设，，从而可得出，然后进行数量积的运算即可得出，从而配方即可求出最小值的大小．
【解答】
解：，，
，
，
为等边三角形，
又，，
，，且，
是线段上的一个动点，
设，，则，
，
时，取最小值．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数零点的个数及函数零点的分布，属于较难题．
根据函数性质画出 的图象，将问题化为 与 有四个交点，数形结合法求范围，再由 是 的两个根、 是 的两个根，结合根与系数关系求 的范围．
【解答】
解：由题设，当 时， ，且单调递减；
当 时， ，且单调递增；
当 ， ，且单调递减；
当 ， ，且单调递增；
综上， 的函数图象如下：
所以 有四个不同零点，即 与 有四个交点，由图知： ，
则 在 上， 在 上，
令 ，则 ，即 是 的两个根，故 ，
而 是 ，即 的两个根，故 ，
所以 ．
故答案为： ，
19.【答案】解：Ⅰ，
，
由正弦定理得，
，
，
又，
．
Ⅱ由，，可得，可得，
因为，所以，
又，则，，
可得，，
所以．
【解析】Ⅰ变形已知结合正弦定理得，进而可得，进而可求得的值；
Ⅱ由已知利用余弦定理可求得的值，利用正弦定理可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角公式可求，，进而根据两角和的正弦公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】Ⅰ证明：在三棱柱中，平面，，
建立如图所示的空间直角坐标系，
又，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点，
则，，，，，，，，，
则，，
则，
即，
即；
Ⅱ解：设平面的一个法向量为，
则，
则，
令，
则，，
则，
又平面的一个法向量为，
设与所成角为，
则，
即平面与平面所夹角为，
则平面与平面所夹角的余弦值为；
Ⅲ解：由Ⅰ可得，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】Ⅰ先建立如图所示的空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后求证即可；
Ⅱ设平面的一个法向量为，则，则，又平面的一个法向量为，然后求解即可；
Ⅲ由Ⅰ可得，则，得解．
本题考查了空间向量的运算，重点考查了二面角的平面角大小的求法，属基础题．
21.【答案】证明：四边形是正方形，，平面，平面所以平面．
四边形是梯形，，平面，平面，所以平面，
平面，平面，，平面平面，
平面，平面．
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，，得，
设平面的法向量，
则，取，，，得，
设二面角的大小为，由图形得为钝角，
则，
因为为钝角，，
二面角的大小为．
解：点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，
设，，则，，，，
，
解得，线段的长为．
设平面的法向量，因为，，
则，取，得，
又，所以．
【解析】先证明平面平面，再根据面面平行的性质可得平面；
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式可求出结果；
根据异面直线和点面距的向量公式可求出结果．
本题主要考查线面平行的证明，二面角的相关计算，点面距离的计算等知识，属于中等题．
22.【答案】解：Ⅰ当时，时，，当时，，
，当时，，
曲线在处的切线方程为；
Ⅱ当时，对，都成立，
则对，恒成立，
令，
则令，则，
当，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
，，
的取值范围为；
Ⅲ当，时，由，得，
方程有两个不同的实数解，，
令，
则，，令，则，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
，，
又，，
，，
只要证明，就能得到，
即只要证明，
令，，
则，
在上单调递减，则，
，
，
，，
即，证毕．
【解析】本题考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考查函数思想和分类讨论思想，属难题．
Ⅰ求出的导函数，求出函数在时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；
Ⅱ对，都成立，则对，，恒成立，构造函数，求出的最大值可得的范围；
Ⅲ由，得，构造函数，将问题转化为证明，然后构造函数证明即可．
