人教版小学数学六年级上册第八单元 数学广角——数与形 提升练
一、单选题
1．（2023五下·六盘水期末）一只乌鸦口渴了，看到一个瓶子里有水，可是水位低了一些，还差一点儿才能喝到水，它围着瓶子转了一圈后，衔来一个个小石子放人瓶子中，水位上升后，喝到了水。下面符合《乌鸦喝水》故事情节的折线统计图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023六上·宽城期末）休息日早上，聪聪到离家800米的书店买书，走路用了10分钟，然后用10分钟时间书店选书，买完书后用了5分钟跑步回家。下面图中，关于聪聪离家时间和离家距离关系描述正确的是（ ）。
A． B．
C． D．
3．（2022·鹿城）如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回到O点，下面可以描述蚂蚁与O点距离变化的是（ ）。
A． B．
C． D．
4．（2022·盐湖）李阿姨开车从家到关帝庙，如图是汽车行驶的时间和路程的变化情况。她上午9时从家出发，汽车在途中停车加油一次。下面表述中不正确的是（ ）。
A．汽车行驶到一半路程时，停车加油10分钟
B．路上一共用了75分，上午10时15分到达关帝庙
C．汽车加油前后的速度一样快
D．加油后汽车行驶的速度是45千米/时
5．（2023·涧西模拟）某餐厅里，一张桌子可坐6人，如图，按照上面的规律，n张桌子能坐（ ）人。
A．6n+4 B．4n+4 C．4n+2 D．6n+6
6．（2023·岳阳）为了促使人们养成节约用水的好习惯，某市规定每月用水量不超过6t时，每吨水费为2.5元，当超过6t时，超过部分每吨水费为4元。以下能正确表示水费与用水量关系的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023四上·龙岗期末）观察以下算式：1×8＋1＝9，12×8＋2＝98，123×8＋3＝987，推测123456×8＋6＝（ ）。
A．9876 B．98765 C．987654 D．9876543
8．（2022·北仑）“龟兔赛跑”中兔子跑得快，一开始领先，但它太骄傲在途中睡了一觉再继续跑；乌龟跑得慢，但一直不停地跑，抵达终点，赢得胜利。下面哪幅图基本反映了比赛的过程？（ ）。
A． B． C． D．
二、填空题
9．，像这样摆下去，摆5张桌子可以坐 人；摆n张桌子可以坐 人。
10．（2022五上·天津市期末）由算式1÷11＝0.0909……；2÷11＝0.1818……；3÷11＝0.2727……可以推算出4÷11＝ 。
11．（2023·南宁）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小图，……，依此规律 个小圆。
12．（2023·南宁）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，…中发现了一个公式，从而打开了光谱奥秘的大门。请你根据这个规律写出第6个分数是 。
13．（2023·鲤城）探索规律。
涂色正方形个数 1 2 3 ……
空白正方形个数 8 13 18 ……
观察图形规律，当涂色正方形的个数是5时，空白正方形的个数是 ；若涂色正方形的个数是n，空白正方形的个数是 。
14．（2023五下·南海期末）一种细菌用简单的分裂方式繁殖，即1个分裂变成2个，2个分裂变成4个……每分裂一次需要3分钟。1个细菌15分钟后变成了 个细菌。
15．（2023·濮阳）张叔叔往游泳池中注水，注水时间与水面高度的 关系如图所示，注水时间与水面高度之间是 比例关系，游泳池深1.5米，需要 小时可以注满。
16．（1）1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝ ；
（2）＝ ；
（3）1＋0.9＋0.09＋0.009＋…的结果越来越接近 。
17．（2016·浏阳模拟）如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回．去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时 千米．
18．（2023·章丘）下面各图是由棱长是1厘米的正方体拼成的，根据前三个图形的排列规律，第五个图形的表面积是 平方厘米，第n个图形的表面积是 平方厘米。
19．（2023六下·瓯海）将自然数从1开始按照下图所示的规律排列，规定图中第m行第n列的位置记作（m，n），如自然数8的位置是（2，3），则自然数176的位置记作 。
20．（2023六下·浙江竞赛）小小丁和15名乒乓球运动员进行男子单打比赛，先进行一轮淘汰赛，获胜的运动员进行循环赛，每两人都要赛一场，决出冠、亚军，整个比赛（包括淘汰赛和循环赛）共要进行 场。
三、计算题
21．（2020·抚州）简便计算。
（1）
（2）
（3）
（4）
四、作图题
22．（2015年8月新人教版小升初入学分班考试数学试卷（1））如图（1），一个长方形纸条从正方形的左边开始以每秒2厘米的速度沿水平方向向右行驶，如图（2）是运动过程中长方形纸条和正方形重叠部分的面积与运动时间的关系图．
（1）运动4秒后，重叠部分的面积是多少平方厘米？
（2）正方形的边长是多少厘米？
（3）在图（2）的空格内填入正确的时间．
五、解答题
23．【探究题】在数学中，我们把两个相同的数相乘记作这个数的平方。例如：3×3＝32； 5×5＝52……
（1）计算下面算式的结果。
32－22＝
(3＋2)×(3－2)＝
52－32＝
(5＋ 3)×(5－3)＝
102－62＝
(10＋ 6)×(10－6)＝
（2）观察上面每行的 2 道算式，用含有字母的算式表示出你的发现。
24．（2020·石阡）某林场工作人员统计两棵不同树木的生长情况，并制成了它们生长情况的统计图（如下图）。
从图中可以看出：
（1）从开始植树到第6年，生长速度较快的是 树。（填“甲”或“乙”）
（2）生长到第 年两树高度一样。
（3）第 年后，甲树的生长速度开始减慢。
（4）当两树都停止长高后， 树比 树高 %。
25．（2023六上·哈尔滨月考）阅读材料，回答下列问题．
通过计算容易发现：
①；②；③
（1）观察上面的三个算式，你能再写出一个像上面这样的算式吗？
（2）通过观察，计算的值。
（3）探究上述的运算规律，试计算的值。
26．（【典中典】六年级上数学好玩第3课时比赛场次）A，B，C，D，E五支球队进行单循环赛，比赛中途进行统计，发现A，B，C，D队比赛的场次分别是4场、3场、2场、1场。这时E队赛了几场？
27．（2023·青秀）仔细观察下面的算式和由“※”组成的图案，完成下列问题：
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝31
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9＝25＝52
（1）请计算：
1+3+5+7+9+……+19＝ 。
（2）请猜想：
1+3+5+7+9+……+n＝ 。（n为奇数）
（3）若有1+3+5+7+9+……+n＝625，则n＝ 。（n为奇数）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】单式折线统计图的特点及绘制；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：符合《乌鸦喝水》故事情节的折线统计图是B项中的图。
故答案为：B。
【分析】刚开始它围着瓶子转了一圈，水位是不变的，所以折线是水平的，随着石子的加入，水位也逐渐上升，喝到水后水位开始下降，最后下降的高度要比刚开始是水位高。
2．【答案】A
【知识点】用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：描述正确的是第一个图形。
故答案为：A。
【分析】第一个10分钟，从0米走到800米，D表达错误；10~20分钟，距离不变，一直是800米，B、C错误。
3．【答案】A
【知识点】用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：可以描述蚂蚁与O点距离变化的是第一个图形。
故答案为：A。
【分析】随着时间的增加，蚂蚁走的距离也在增加，当蚂蚁走完右边的半径时，随着时间的增加，距离不在增加，当走完圆的一半，开始走左边的半径时，随着时间的增加，距离在逐渐减少。
4．【答案】C
【知识点】用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：A项：35-25=10（分），原题干说法正确；
B项：9时＋75分=10时15分，原题干说法正确；
C项：30÷25=1.2（千米/分）
（60-30）÷（75-35）
=30÷40
=0.75（千米/分）
1.2千米/分＞0.75千米/分，汽车加油前的速度快，原题干说法错误；
D项：（75-35）÷60
=40÷60
=（小时）
（60-30）÷
=30÷
=45（千米/时），原题干说法正确。
故答案为：C。
【分析】A项：加油的时间=加油结束的时间-开始加油的时间；
B项：路上一共用的时间=到达时间-出发时间；
C项、D项：汽车加油前后的速度=汽车加油前后行驶的路程÷汽车加油前后用的时间。
5．【答案】C
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：n张桌子能坐（4n+2 ）人。
故答案为：C。
【分析】规律：
1张桌子可坐（4+2）人，
2张桌子可坐（4×2+2）人，
3张桌子可坐（4×3+2）人，
......
n张桌子可坐（4n+2）人。
6．【答案】C
【知识点】单式折线统计图的特点及绘制；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：能正确表示水费与用水量关系的示意图是： 。
故答案为：C。
【分析】每月用水量不超过6吨时，总价与数量成正比例；超过部分的总价增加的更快。
7．【答案】C
【知识点】算式的规律
【解析】【解答】解：观察以下算式：1×8＋1＝9，12×8＋2＝98，123×8＋3＝987，推测123456×8＋6=987654。
故答案为：C。
【分析】第二个因数都是8，第二个加数依次多1，得数的数位与第一个因数的数位相同，最高位都是9，后面数位上的数字依次小1。
8．【答案】B
【知识点】用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：A：表示兔子比乌龟早到终点，不能反映比赛过程；
B：能反映比赛过程；
C：表示乌龟一直比兔子跑得快，不能反映比赛过程；
D：乌龟和兔子同时到达终点，不能反映比赛过程。
故答案为：B。
【分析】横轴表示时间，竖轴表示路程。开始兔子跑得快，因此相同时间内兔子跑的路程多。乌龟赢得胜利，因此乌龟用时较短。
9．【答案】22；（4n＋2）
【知识点】用字母表示数；数形结合规律
【解析】【解答】解：4×5＋2
=20＋2
=22（人）
4×n＋2=（4n＋2）（人）。
故答案为：22；（4n＋2）。
【分析】摆n张桌子可以坐的人数=4人×这样摆放桌子的张数＋2人。
10．【答案】0.3636……
【知识点】除数是整数的小数除法；算式的规律
【解析】【解答】解：根据规律，4÷11=0.3636……
故答案为：0.3636……。
【分析】观察算式可知，除数都是11，被除数依次是1、2、3…，而商依次是0.0909……，0.1818……，0.2727……，商的小数部分是两位数字循环，这两位数字依次是：1×9=9，2×9=18，3×9=27…，据此解答。
11．【答案】114
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：第10个图形圆的个数为10×11+4=114（个）
故答案为：114。
【分析】第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+4。
12．【答案】
【知识点】数列中的规律
【解析】【解答】解：82=64，64-4=60，
所以第6个分数是；
故答案为：。
【分析】观察可知，分子是从3开始的连续自然数的平方，分母比相应的分子小4，然后写出即可。
13．【答案】28；5n+3
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：5×5＋3
=25＋3
=28（个）
5×n＋3=（5n＋3）（个）。
故答案为：28；（5n＋3）。
【分析】若涂色正方形的个数是n，空白正方形的个数=（5n＋3）个。
14．【答案】32
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：15÷3=5（次），
第一次：2个；
第二次：4个；
第三次：8个；
第四次：16个；
第五次：32个。
故答案为：32。
【分析】15分钟共分裂了5次，可以推算出分裂5次后的个数，也可以把5个2相乘求出分裂的个数。
15．【答案】正；5
【知识点】成正比例的量及其意义；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：0.3÷1=0.9÷3=0.3（一定），注水时间与水面高度之间是正比例关系；
1.5÷0.3=5（小时）。
故答案为：正；5。
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量；注满需要的时间=注水高度÷平均每小时注水的高度。
16．【答案】（1）41
（2）
（3）2
【知识点】巧算分数和；数列中的规律
【解析】【解答】解：（1）1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝52+42=25+16=41；
（2）=1-+-+-+-+-+-+-=1-=；
（3）1＋0.9＋0.09＋0.009＋…=1+0.9999……，所以结果越来越接近2。
故答案为：（1）41；（2）；（3）2。
【分析】（1）从1开始，求几个连续奇数的和，当奇数的个数是奇数时，它们的和等于最中间一个数的平方；当奇数的个数是偶数时，它们的和等于最中间两个数的平均数的平方；
（2）观察每一个分数的分母，可以把两个数拆成两个数相减的形式，然后前后相消，最后的结果是1减去最后一个加数所得的结果；
（3）0.9……，后面的9越多，那么这个数就越接近1，据此作答即可。
17．【答案】72
【知识点】速度、时间、路程的关系及应用；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：48×（4+5）÷（19﹣13），
=48×9÷6，
=72（千米）；
答：汽车从C站返回A站的速度是每小时行72千米．
故答案为：72．
【分析】从统计图中可知电车从A站到达B站用了4分钟，并在B站休息了1分钟，从B站到达C站用了5分钟，所以电车从A站到达C站共行驶了4+5=9（分钟），根据“速度×时间=路程”求出从A站到C站的距离；电车在C站休息了3分钟，从第13分钟开始行驶到第19分钟返回A站，根据“速度=路程÷时间”即可得出答案．
18．【答案】22；（4n+2）
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：1×1=1(平方厘米)
图1：1×6=6(平方厘米)
图2：2×6-(2-1)×2=10(平方厘米)
图3：3×6-(3-1)×2=14(平方厘米)
图5：5×6-(5-1)×2=22(平方厘米)
图n：n×6-(n-1)×2=4n+2(平方厘米)
所以第五个图形的表面积是22平方厘米，第n个图形的表面积是(4n+2)平方厘米。
故答案为：22；4n+2。
【分析】由图可知，每个图形的表面积由小正方形面积组成，每个小正方形的面积是1平方厘米。图1表面积是由6个小正方形组成，图2表面积是由2×6-(2-1)×2个小正方形组成，图3表面积是由3×6-(3-1)×2个小正方形组成……所以第五个图形表面积是由5×6-(5-1)×2个小正方形组成，第n个图形表面积是由n×6-(n-1)×2个小正方形组成，代入解答即可。
19．【答案】（7，14）
【知识点】数对与位置；数形结合规律
【解析】【解答】解：由图观察可知，第一行从1开始，每隔一个数都恰好是奇数的平方，如1=，9=，25=，…，且每到奇数平方后整个数列都是往右再往下进行数字的排序；
题目现要求指出多176的位置，那么就要找到多176所在的列与行，
由数的平方知13的平方是169，那么169后的数即是多170，
在170所在这一列为第14列，并且继续往下进行数字的排序从170数到176恰好是第7个数，
那么176位于第7行，第14列，它的位置记作（7，14）.
故答案为：（7，14）。
【分析】第m行第n列的位置记作（m，n），即先行后列。
20．【答案】36
【知识点】体育比赛问题
【解析】【解答】解：淘汰赛场数：(15+1)÷2=8(场)
循环赛场数：8×(8-1)÷2=28(场)
总比赛场数：8+28=36(场)
故答案为：36。
【分析】根据淘汰赛的规则，每两名选手进行一次比赛，一共需要比的场数=获胜的人数=总人数÷2；再根据循环赛的规则，每两名选手赛一场，也就是每名选手都要和其他(获胜人数-1)人赛一场，赛(获胜人数-1)场，那么循环赛总场次=人数×每人比赛场数，最后再去掉重复情况，也就是除以2，得到循环赛的场数；最后将淘汰赛场数和循环赛场数相加即可。
21．【答案】（1）
=
（2）解：原式=
=
=
=
（3）解：原式=
（4）解：原式=
【知识点】分数四则混合运算及应用；算式的规律
【解析】【分析】（1）观察算式中的数据可得=×（1-），=×（-），=×（-），即可得出++=×（1-+-+-），计算即可得出答案；
（2）根据算式中的数据可得=，=，=，所以题中的算式=++，提取一个可得×（++），再根据=-进行变形，计算即可得出答案。
（3）先将带分数化成假分数即可得2011÷，再将除法变成乘法即可得出答案。
（4）将第一个括号中的除法变成乘法，再将分数变成小数，进而对第一个式子利用乘法分配律、对第二个式子提取公因数5可得（4.85+6.15-1）×3.6×5×（-），再按照运算顺序计算即可得出答案。
22．【答案】（1）解：长方形的长是：2×4=8（厘米），宽是2厘米，
重叠的面积是：8×2=16（平方厘米）；
答：运行4秒后，重叠面积是16平方厘米。
（2）解：正方形的边长是运行6秒后的长度：6×2=12（厘米）；
答：正方形的边长是12厘米。
（3）解：当长方形的前头，刚好穿过正方形时，
20÷2=10（秒）；
长方形离开正方形时，
（20+12）÷2
=32÷2
=16（秒）；
答：长方形的前头，刚好穿过正方形时，用了10秒；当长方形离开正方形时，用了18秒。
【知识点】长方形的面积；用图像表示变化关系
【解析】【分析】（1）运行4秒后，重叠的面积是长方形，只要找出这个长方形的长和宽就能知道重叠部分的面积；（2）从上边给出的图中，可以看出运行6秒后，重叠部分的面积不再发生变化，从而知道6秒时长方形和正方形的位置关系，6×2=12厘米，这个正方形的边长是12厘米；（3）当长方形的前头，刚好穿过正方形时，此时长方形已经走的路程就是长方形的长20厘米；当长方形的后头刚好穿出正方形时，长方形已经走的路程就是长方形的长20厘米加上正方形的边长，然后用路程除以速度就是运行的时间．
23．【答案】（1）解：32－22＝9-4=5
(3＋ 2)×(3－ 2)＝5×1=5
52－32＝25-9=16
(5＋ 3)×(5－ 3)＝8×2=16
102－62＝100-36=64
(10＋ 6)×(10－ 6)＝16×4=64
（2）解：a2 －b2＝( a＋b)×( a－b)，其中a>b。
【知识点】用字母表示数；算式的规律
【解析】【分析】（1）一个数的平方表示两个这样的数相乘，根据这样的运算方法依次计算出每个算式的值；
（2）根据每组中的式子可知，两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差。
24．【答案】（1）乙
（2）10
（3）14
（4）甲；乙；25
【知识点】从复式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：（3）第14年后，甲树的生长速度开始减慢。
【分析】（1）斜率越大，生长越快，据此作答即可；
（2）当两个图像相交时，两树的高度一样；
（3）当图像水平时，说明生长速度开始减慢；
（4）当两树都停止长高后，甲数比乙数高的高度=（甲数-乙数）÷乙数。
25．【答案】（1）解：
（2）解：
=1-+-+-+......+-
=1-
=
（3）解：
=（1-）×+（-）×+（-）×+（-）×+（-）×
=（1-+-+-+-+-）×
=（1-）×
=×
=
【知识点】分数的拆项；算式的规律
【解析】【分析】（1）规律：两个相邻自然数倒数的差，就等于两个相邻自然数倒数的积；
（2）规律：分数的分子是1，分母是两个相邻自然数相乘的形式，这个分数就等于较小的自然数分之一减去较大的自然数分之一。据此先把算式写成相减的形式，再观察算式，发现中间的数相加等于0，算式就剩下两头的两个数相减；
（3）=，1-=，所以=（1-）×，据此把他们写成相乘的形式，再把提取出来，括号里面的式子根据题2的规律解答即可。
26．【答案】解：这时E队赛了2场，是和A、B分别比赛的一场。
【知识点】握手问题
【解析】【分析】因为A队比赛了4场，所以A队和B队、C队、D队、E队都各比赛一场；
D队比赛了1场，那么就只能是和A队；
B队比赛了3场，其中不和D队比赛，而且和A队已经比赛了，所以那么剩下的两场是和C队、E队比赛；
C队比赛了2场，首先是和A队比赛，根据上面是和B队也比赛了，所以C队和A队、B队比赛。
综上，E队赛了2场，分别是A、B两队。
27．【答案】（1）102
（2）
（3）49
【知识点】数形结合规律；算式的规律
【解析】【解答】解：（1） 1+3+5+7+9+……+19＝；
（2） 1+3+5+7+9+……+n＝；
（3）=625，
=
=25
n+1=50
n=49
故答案为：（1）102；（2）；（3）49。
【分析】（1）从1开始，几个连续奇数相加，和就等于几的平方；
（2）从1开始，连续奇数的个数=（最后一个奇数+1）÷2；
（3）根据前2题总结的规律解答。
1 / 1人教版小学数学六年级上册第八单元 数学广角——数与形 提升练
一、单选题
1．（2023五下·六盘水期末）一只乌鸦口渴了，看到一个瓶子里有水，可是水位低了一些，还差一点儿才能喝到水，它围着瓶子转了一圈后，衔来一个个小石子放人瓶子中，水位上升后，喝到了水。下面符合《乌鸦喝水》故事情节的折线统计图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单式折线统计图的特点及绘制；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：符合《乌鸦喝水》故事情节的折线统计图是B项中的图。
故答案为：B。
【分析】刚开始它围着瓶子转了一圈，水位是不变的，所以折线是水平的，随着石子的加入，水位也逐渐上升，喝到水后水位开始下降，最后下降的高度要比刚开始是水位高。
2．（2023六上·宽城期末）休息日早上，聪聪到离家800米的书店买书，走路用了10分钟，然后用10分钟时间书店选书，买完书后用了5分钟跑步回家。下面图中，关于聪聪离家时间和离家距离关系描述正确的是（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：描述正确的是第一个图形。
故答案为：A。
【分析】第一个10分钟，从0米走到800米，D表达错误；10~20分钟，距离不变，一直是800米，B、C错误。
3．（2022·鹿城）如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘爬了一周，又回到O点，下面可以描述蚂蚁与O点距离变化的是（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：可以描述蚂蚁与O点距离变化的是第一个图形。
故答案为：A。
【分析】随着时间的增加，蚂蚁走的距离也在增加，当蚂蚁走完右边的半径时，随着时间的增加，距离不在增加，当走完圆的一半，开始走左边的半径时，随着时间的增加，距离在逐渐减少。
4．（2022·盐湖）李阿姨开车从家到关帝庙，如图是汽车行驶的时间和路程的变化情况。她上午9时从家出发，汽车在途中停车加油一次。下面表述中不正确的是（ ）。
A．汽车行驶到一半路程时，停车加油10分钟
B．路上一共用了75分，上午10时15分到达关帝庙
C．汽车加油前后的速度一样快
D．加油后汽车行驶的速度是45千米/时
【答案】C
【知识点】用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：A项：35-25=10（分），原题干说法正确；
B项：9时＋75分=10时15分，原题干说法正确；
C项：30÷25=1.2（千米/分）
（60-30）÷（75-35）
=30÷40
=0.75（千米/分）
1.2千米/分＞0.75千米/分，汽车加油前的速度快，原题干说法错误；
D项：（75-35）÷60
=40÷60
=（小时）
（60-30）÷
=30÷
=45（千米/时），原题干说法正确。
故答案为：C。
【分析】A项：加油的时间=加油结束的时间-开始加油的时间；
B项：路上一共用的时间=到达时间-出发时间；
C项、D项：汽车加油前后的速度=汽车加油前后行驶的路程÷汽车加油前后用的时间。
5．（2023·涧西模拟）某餐厅里，一张桌子可坐6人，如图，按照上面的规律，n张桌子能坐（ ）人。
A．6n+4 B．4n+4 C．4n+2 D．6n+6
【答案】C
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：n张桌子能坐（4n+2 ）人。
故答案为：C。
【分析】规律：
1张桌子可坐（4+2）人，
2张桌子可坐（4×2+2）人，
3张桌子可坐（4×3+2）人，
......
n张桌子可坐（4n+2）人。
6．（2023·岳阳）为了促使人们养成节约用水的好习惯，某市规定每月用水量不超过6t时，每吨水费为2.5元，当超过6t时，超过部分每吨水费为4元。以下能正确表示水费与用水量关系的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单式折线统计图的特点及绘制；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：能正确表示水费与用水量关系的示意图是： 。
故答案为：C。
【分析】每月用水量不超过6吨时，总价与数量成正比例；超过部分的总价增加的更快。
7．（2023四上·龙岗期末）观察以下算式：1×8＋1＝9，12×8＋2＝98，123×8＋3＝987，推测123456×8＋6＝（ ）。
A．9876 B．98765 C．987654 D．9876543
【答案】C
【知识点】算式的规律
【解析】【解答】解：观察以下算式：1×8＋1＝9，12×8＋2＝98，123×8＋3＝987，推测123456×8＋6=987654。
故答案为：C。
【分析】第二个因数都是8，第二个加数依次多1，得数的数位与第一个因数的数位相同，最高位都是9，后面数位上的数字依次小1。
8．（2022·北仑）“龟兔赛跑”中兔子跑得快，一开始领先，但它太骄傲在途中睡了一觉再继续跑；乌龟跑得慢，但一直不停地跑，抵达终点，赢得胜利。下面哪幅图基本反映了比赛的过程？（ ）。
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：A：表示兔子比乌龟早到终点，不能反映比赛过程；
B：能反映比赛过程；
C：表示乌龟一直比兔子跑得快，不能反映比赛过程；
D：乌龟和兔子同时到达终点，不能反映比赛过程。
故答案为：B。
【分析】横轴表示时间，竖轴表示路程。开始兔子跑得快，因此相同时间内兔子跑的路程多。乌龟赢得胜利，因此乌龟用时较短。
二、填空题
9．，像这样摆下去，摆5张桌子可以坐 人；摆n张桌子可以坐 人。
【答案】22；（4n＋2）
【知识点】用字母表示数；数形结合规律
【解析】【解答】解：4×5＋2
=20＋2
=22（人）
4×n＋2=（4n＋2）（人）。
故答案为：22；（4n＋2）。
【分析】摆n张桌子可以坐的人数=4人×这样摆放桌子的张数＋2人。
10．（2022五上·天津市期末）由算式1÷11＝0.0909……；2÷11＝0.1818……；3÷11＝0.2727……可以推算出4÷11＝ 。
【答案】0.3636……
【知识点】除数是整数的小数除法；算式的规律
【解析】【解答】解：根据规律，4÷11=0.3636……
故答案为：0.3636……。
【分析】观察算式可知，除数都是11，被除数依次是1、2、3…，而商依次是0.0909……，0.1818……，0.2727……，商的小数部分是两位数字循环，这两位数字依次是：1×9=9，2×9=18，3×9=27…，据此解答。
11．（2023·南宁）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小图，……，依此规律 个小圆。
【答案】114
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：第10个图形圆的个数为10×11+4=114（个）
故答案为：114。
【分析】第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+4。
12．（2023·南宁）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，…中发现了一个公式，从而打开了光谱奥秘的大门。请你根据这个规律写出第6个分数是 。
【答案】
【知识点】数列中的规律
【解析】【解答】解：82=64，64-4=60，
所以第6个分数是；
故答案为：。
【分析】观察可知，分子是从3开始的连续自然数的平方，分母比相应的分子小4，然后写出即可。
13．（2023·鲤城）探索规律。
涂色正方形个数 1 2 3 ……
空白正方形个数 8 13 18 ……
观察图形规律，当涂色正方形的个数是5时，空白正方形的个数是 ；若涂色正方形的个数是n，空白正方形的个数是 。
【答案】28；5n+3
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：5×5＋3
=25＋3
=28（个）
5×n＋3=（5n＋3）（个）。
故答案为：28；（5n＋3）。
【分析】若涂色正方形的个数是n，空白正方形的个数=（5n＋3）个。
14．（2023五下·南海期末）一种细菌用简单的分裂方式繁殖，即1个分裂变成2个，2个分裂变成4个……每分裂一次需要3分钟。1个细菌15分钟后变成了 个细菌。
【答案】32
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：15÷3=5（次），
第一次：2个；
第二次：4个；
第三次：8个；
第四次：16个；
第五次：32个。
故答案为：32。
【分析】15分钟共分裂了5次，可以推算出分裂5次后的个数，也可以把5个2相乘求出分裂的个数。
15．（2023·濮阳）张叔叔往游泳池中注水，注水时间与水面高度的 关系如图所示，注水时间与水面高度之间是 比例关系，游泳池深1.5米，需要 小时可以注满。
【答案】正；5
【知识点】成正比例的量及其意义；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：0.3÷1=0.9÷3=0.3（一定），注水时间与水面高度之间是正比例关系；
1.5÷0.3=5（小时）。
故答案为：正；5。
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量；注满需要的时间=注水高度÷平均每小时注水的高度。
16．（1）1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝ ；
（2）＝ ；
（3）1＋0.9＋0.09＋0.009＋…的结果越来越接近 。
【答案】（1）41
（2）
（3）2
【知识点】巧算分数和；数列中的规律
【解析】【解答】解：（1）1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝52+42=25+16=41；
（2）=1-+-+-+-+-+-+-=1-=；
（3）1＋0.9＋0.09＋0.009＋…=1+0.9999……，所以结果越来越接近2。
故答案为：（1）41；（2）；（3）2。
【分析】（1）从1开始，求几个连续奇数的和，当奇数的个数是奇数时，它们的和等于最中间一个数的平方；当奇数的个数是偶数时，它们的和等于最中间两个数的平均数的平方；
（2）观察每一个分数的分母，可以把两个数拆成两个数相减的形式，然后前后相消，最后的结果是1减去最后一个加数所得的结果；
（3）0.9……，后面的9越多，那么这个数就越接近1，据此作答即可。
17．（2016·浏阳模拟）如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回．去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时 千米．
【答案】72
【知识点】速度、时间、路程的关系及应用；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：48×（4+5）÷（19﹣13），
=48×9÷6，
=72（千米）；
答：汽车从C站返回A站的速度是每小时行72千米．
故答案为：72．
【分析】从统计图中可知电车从A站到达B站用了4分钟，并在B站休息了1分钟，从B站到达C站用了5分钟，所以电车从A站到达C站共行驶了4+5=9（分钟），根据“速度×时间=路程”求出从A站到C站的距离；电车在C站休息了3分钟，从第13分钟开始行驶到第19分钟返回A站，根据“速度=路程÷时间”即可得出答案．
18．（2023·章丘）下面各图是由棱长是1厘米的正方体拼成的，根据前三个图形的排列规律，第五个图形的表面积是 平方厘米，第n个图形的表面积是 平方厘米。
【答案】22；（4n+2）
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：1×1=1(平方厘米)
图1：1×6=6(平方厘米)
图2：2×6-(2-1)×2=10(平方厘米)
图3：3×6-(3-1)×2=14(平方厘米)
图5：5×6-(5-1)×2=22(平方厘米)
图n：n×6-(n-1)×2=4n+2(平方厘米)
所以第五个图形的表面积是22平方厘米，第n个图形的表面积是(4n+2)平方厘米。
故答案为：22；4n+2。
【分析】由图可知，每个图形的表面积由小正方形面积组成，每个小正方形的面积是1平方厘米。图1表面积是由6个小正方形组成，图2表面积是由2×6-(2-1)×2个小正方形组成，图3表面积是由3×6-(3-1)×2个小正方形组成……所以第五个图形表面积是由5×6-(5-1)×2个小正方形组成，第n个图形表面积是由n×6-(n-1)×2个小正方形组成，代入解答即可。
19．（2023六下·瓯海）将自然数从1开始按照下图所示的规律排列，规定图中第m行第n列的位置记作（m，n），如自然数8的位置是（2，3），则自然数176的位置记作 。
【答案】（7，14）
【知识点】数对与位置；数形结合规律
【解析】【解答】解：由图观察可知，第一行从1开始，每隔一个数都恰好是奇数的平方，如1=，9=，25=，…，且每到奇数平方后整个数列都是往右再往下进行数字的排序；
题目现要求指出多176的位置，那么就要找到多176所在的列与行，
由数的平方知13的平方是169，那么169后的数即是多170，
在170所在这一列为第14列，并且继续往下进行数字的排序从170数到176恰好是第7个数，
那么176位于第7行，第14列，它的位置记作（7，14）.
故答案为：（7，14）。
【分析】第m行第n列的位置记作（m，n），即先行后列。
20．（2023六下·浙江竞赛）小小丁和15名乒乓球运动员进行男子单打比赛，先进行一轮淘汰赛，获胜的运动员进行循环赛，每两人都要赛一场，决出冠、亚军，整个比赛（包括淘汰赛和循环赛）共要进行 场。
【答案】36
【知识点】体育比赛问题
【解析】【解答】解：淘汰赛场数：(15+1)÷2=8(场)
循环赛场数：8×(8-1)÷2=28(场)
总比赛场数：8+28=36(场)
故答案为：36。
【分析】根据淘汰赛的规则，每两名选手进行一次比赛，一共需要比的场数=获胜的人数=总人数÷2；再根据循环赛的规则，每两名选手赛一场，也就是每名选手都要和其他(获胜人数-1)人赛一场，赛(获胜人数-1)场，那么循环赛总场次=人数×每人比赛场数，最后再去掉重复情况，也就是除以2，得到循环赛的场数；最后将淘汰赛场数和循环赛场数相加即可。
三、计算题
21．（2020·抚州）简便计算。
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
=
（2）解：原式=
=
=
=
（3）解：原式=
（4）解：原式=
【知识点】分数四则混合运算及应用；算式的规律
【解析】【分析】（1）观察算式中的数据可得=×（1-），=×（-），=×（-），即可得出++=×（1-+-+-），计算即可得出答案；
（2）根据算式中的数据可得=，=，=，所以题中的算式=++，提取一个可得×（++），再根据=-进行变形，计算即可得出答案。
（3）先将带分数化成假分数即可得2011÷，再将除法变成乘法即可得出答案。
（4）将第一个括号中的除法变成乘法，再将分数变成小数，进而对第一个式子利用乘法分配律、对第二个式子提取公因数5可得（4.85+6.15-1）×3.6×5×（-），再按照运算顺序计算即可得出答案。
四、作图题
22．（2015年8月新人教版小升初入学分班考试数学试卷（1））如图（1），一个长方形纸条从正方形的左边开始以每秒2厘米的速度沿水平方向向右行驶，如图（2）是运动过程中长方形纸条和正方形重叠部分的面积与运动时间的关系图．
（1）运动4秒后，重叠部分的面积是多少平方厘米？
（2）正方形的边长是多少厘米？
（3）在图（2）的空格内填入正确的时间．
【答案】（1）解：长方形的长是：2×4=8（厘米），宽是2厘米，
重叠的面积是：8×2=16（平方厘米）；
答：运行4秒后，重叠面积是16平方厘米。
（2）解：正方形的边长是运行6秒后的长度：6×2=12（厘米）；
答：正方形的边长是12厘米。
（3）解：当长方形的前头，刚好穿过正方形时，
20÷2=10（秒）；
长方形离开正方形时，
（20+12）÷2
=32÷2
=16（秒）；
答：长方形的前头，刚好穿过正方形时，用了10秒；当长方形离开正方形时，用了18秒。
【知识点】长方形的面积；用图像表示变化关系
【解析】【分析】（1）运行4秒后，重叠的面积是长方形，只要找出这个长方形的长和宽就能知道重叠部分的面积；（2）从上边给出的图中，可以看出运行6秒后，重叠部分的面积不再发生变化，从而知道6秒时长方形和正方形的位置关系，6×2=12厘米，这个正方形的边长是12厘米；（3）当长方形的前头，刚好穿过正方形时，此时长方形已经走的路程就是长方形的长20厘米；当长方形的后头刚好穿出正方形时，长方形已经走的路程就是长方形的长20厘米加上正方形的边长，然后用路程除以速度就是运行的时间．
五、解答题
23．【探究题】在数学中，我们把两个相同的数相乘记作这个数的平方。例如：3×3＝32； 5×5＝52……
（1）计算下面算式的结果。
32－22＝
(3＋2)×(3－2)＝
52－32＝
(5＋ 3)×(5－3)＝
102－62＝
(10＋ 6)×(10－6)＝
（2）观察上面每行的 2 道算式，用含有字母的算式表示出你的发现。
【答案】（1）解：32－22＝9-4=5
(3＋ 2)×(3－ 2)＝5×1=5
52－32＝25-9=16
(5＋ 3)×(5－ 3)＝8×2=16
102－62＝100-36=64
(10＋ 6)×(10－ 6)＝16×4=64
（2）解：a2 －b2＝( a＋b)×( a－b)，其中a>b。
【知识点】用字母表示数；算式的规律
【解析】【分析】（1）一个数的平方表示两个这样的数相乘，根据这样的运算方法依次计算出每个算式的值；
（2）根据每组中的式子可知，两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差。
24．（2020·石阡）某林场工作人员统计两棵不同树木的生长情况，并制成了它们生长情况的统计图（如下图）。
从图中可以看出：
（1）从开始植树到第6年，生长速度较快的是 树。（填“甲”或“乙”）
（2）生长到第 年两树高度一样。
（3）第 年后，甲树的生长速度开始减慢。
（4）当两树都停止长高后， 树比 树高 %。
【答案】（1）乙
（2）10
（3）14
（4）甲；乙；25
【知识点】从复式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：（3）第14年后，甲树的生长速度开始减慢。
【分析】（1）斜率越大，生长越快，据此作答即可；
（2）当两个图像相交时，两树的高度一样；
（3）当图像水平时，说明生长速度开始减慢；
（4）当两树都停止长高后，甲数比乙数高的高度=（甲数-乙数）÷乙数。
25．（2023六上·哈尔滨月考）阅读材料，回答下列问题．
通过计算容易发现：
①；②；③
（1）观察上面的三个算式，你能再写出一个像上面这样的算式吗？
（2）通过观察，计算的值。
（3）探究上述的运算规律，试计算的值。
【答案】（1）解：
（2）解：
=1-+-+-+......+-
=1-
=
（3）解：
=（1-）×+（-）×+（-）×+（-）×+（-）×
=（1-+-+-+-+-）×
=（1-）×
=×
=
【知识点】分数的拆项；算式的规律
【解析】【分析】（1）规律：两个相邻自然数倒数的差，就等于两个相邻自然数倒数的积；
（2）规律：分数的分子是1，分母是两个相邻自然数相乘的形式，这个分数就等于较小的自然数分之一减去较大的自然数分之一。据此先把算式写成相减的形式，再观察算式，发现中间的数相加等于0，算式就剩下两头的两个数相减；
（3）=，1-=，所以=（1-）×，据此把他们写成相乘的形式，再把提取出来，括号里面的式子根据题2的规律解答即可。
26．（【典中典】六年级上数学好玩第3课时比赛场次）A，B，C，D，E五支球队进行单循环赛，比赛中途进行统计，发现A，B，C，D队比赛的场次分别是4场、3场、2场、1场。这时E队赛了几场？
【答案】解：这时E队赛了2场，是和A、B分别比赛的一场。
【知识点】握手问题
【解析】【分析】因为A队比赛了4场，所以A队和B队、C队、D队、E队都各比赛一场；
D队比赛了1场，那么就只能是和A队；
B队比赛了3场，其中不和D队比赛，而且和A队已经比赛了，所以那么剩下的两场是和C队、E队比赛；
C队比赛了2场，首先是和A队比赛，根据上面是和B队也比赛了，所以C队和A队、B队比赛。
综上，E队赛了2场，分别是A、B两队。
27．（2023·青秀）仔细观察下面的算式和由“※”组成的图案，完成下列问题：
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝31
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9＝25＝52
（1）请计算：
1+3+5+7+9+……+19＝ 。
（2）请猜想：
1+3+5+7+9+……+n＝ 。（n为奇数）
（3）若有1+3+5+7+9+……+n＝625，则n＝ 。（n为奇数）
【答案】（1）102
（2）
（3）49
【知识点】数形结合规律；算式的规律
【解析】【解答】解：（1） 1+3+5+7+9+……+19＝；
（2） 1+3+5+7+9+……+n＝；
（3）=625，
=
=25
n+1=50
n=49
故答案为：（1）102；（2）；（3）49。
【分析】（1）从1开始，几个连续奇数相加，和就等于几的平方；
（2）从1开始，连续奇数的个数=（最后一个奇数+1）÷2；
（3）根据前2题总结的规律解答。
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