哈尔滨市南岗区重点中学校2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试卷
满分：150分 时间：120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．如图所示的Venn图中，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A． B．1 C． D．5
3．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）．
A．57周岁以上参保人数最少
B．18～30周岁人群参保总费用最少
C．C险种更受参保人青睐
D．31周岁以上的人群约占参保人群80％
5．在数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项.设数列满足，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
7．明朝早起，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节 时辰的日月星辰在填空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由块正方形模板组成，最小的一块边长约(称一指)，木板的长度按从小到大均两两相差，最大的边长约(称十二指).观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不停替换 调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则约为（ ）
A． B． C． D．
8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（ ）
①事件与相互独立； ②，，是两两互斥的事件； ③；
④； ⑤
A．5 B．4 C．3 D．2
二、多选题(本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9．下列说法正确的是（ ）
A．一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加个单位
C．数据的方差为，则数据的方差为
D．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于100
10．已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为8 B．的最小值为8
C．的最小值为 D．的最小值为
11．感动中国十大人物之一的张桂梅老师为了让孩子走出大山，扎根基层教育默默奉献精神感动了全中国.受张桂梅老师的影响，有位志愿者主动到所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，每位志愿者只到一所学校支教，下列结论正确的有（ ）
A．不同的安排方法数为
B．若甲学校至少安排两人，则有种安排方法
C．小晗被安排到甲学校的概率为
D．在小晗被安排到甲校的前提下，甲学校安排两人的概率为
12．已知正方体棱长为4，M为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若N为中点，当最小时，
B．当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大
C．直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为
D．当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，且，则x=
14．若二项式展开式的常数项为60，则实数的值为 ．
15．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 .
16．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则 ；该棋手获胜的概率为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（满分10分）已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.
(1)求{}和{}的通项公式;
(2)设，求数列{}的前20项和.
18．（满分12分）如图所示，已知中，为上一点，．
(1)求；
(2)若，求的长．
19．（满分12分）已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数的解析式唯一确定.
(1)求的解析式及最小值；
(2)若函数在区间上有且仅有2个零点，求t的取值范围.
条件①：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值与最小值的和为1.
20．（满分12分）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
21．（满分12分）2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
男生 女生 合计
喜欢 120 100 220
不喜欢 80 100 180
合计 200 200 400
(1)根据表中数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？
(2)为弄清学生不喜欢电子竞技的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为，求的数学期望．
参考公式及数据：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
22．（满分12分）某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛
(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第题时“花”掉的分数为（，2，…，n）；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量应为多少
附：若，则，，；．
试卷第1页，共3页高三数学期中试题详细参考答案
一、单选题
1．如图所示的Venn图中，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式求得集合，再结合交集、并集、补集的定义得出结果.
【详解】由已知得，，
令，，
则阴影部分表示的集合是.
故选：D.
2．已知复数z满足，则（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】B
【分析】根据复数的除法及模长公式运算求解．
【详解】由题意，所以，
故选：B.
3．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.
【详解】对选项A，若，，则与的位置关系是平行，相交和异面，故A错误.
对选项B，若，，则与的位置关系是平行和相交，故B错误.
对选项C，若，，则根据线面垂直的性质得与的位置关系是平行，故C正确.
对选项D，若，，则与的位置关系是平行和相交，故D错误.
故选：C
4．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）．
A．57周岁以上参保人数最少
B．18～30周岁人群参保总费用最少
C．C险种更受参保人青睐
D．31周岁以上的人群约占参保人群80％
【答案】B
【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是，是最少的，A选项正确.
B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，
而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，
所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.
C选项，C险种参保比例，是最多的，所以C选项正确.
D选项，31周岁以上的人群约占参保人群，D选项正确.
故选：B
5．在数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依次计算，得到为周期数列，一个周期为3，从而求出.
【详解】由题意得，，，
，……
故为周期数列，一个周期为3，
故.
故选：C
6．已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项.设数列满足，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式和等比中项的性质列方程得到，然后利用裂项求和的方法求即可.
【详解】根据题意可得，则，解得，所以，，
.
故选：A.
7．明朝早起，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节 时辰的日月星辰在填空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由块正方形模板组成，最小的一块边长约(称一指)，木板的长度按从小到大均两两相差，最大的边长约(称十二指).观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不停替换 调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到六指，进而得到，再结合二倍角的正弦公式和商数关系求解.
【详解】由题意知：六指为，
所以，
所以，
.
故选：D
8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（ ）
①事件与相互独立；
②，，是两两互斥的事件；
③；
④；
⑤
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】先判断出，，是两两互斥的事件，且不满足，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.
【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且
，，而，①错误，②正确；
，，所以，③正确；
④正确；
，⑤错误，综上：结论正确个数为3.
故选：C
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加个单位
C．数据的方差为，则数据的方差为
D．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于100
【答案】ACD
【分析】由百分位数的定义，即可判断A，由回归方程的性质即可判断B，由方差的性质即可判断CD.
【详解】因为，所以这组数据的第75百分位数是第8个数，即为16，A正确；
由回归方程可知，当解释变量每增加1个单位时，相应变量减少个单位，B错误；
选项C，由，可得，C正确；
由，得，所以这组样本数据的总和等于，故D正确；
故选：ACD
10．已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为8 B．的最小值为8
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，B正确；
，当且仅当，
即时取等号，C正确；
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．
故选：ABC．
11．感动中国十大人物之一的张桂梅老师为了让孩子走出大山，扎根基层教育默默奉献精神感动了全中国.受张桂梅老师的影响，有位志愿者主动到所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，每位志愿者只到一所学校支教，下列结论正确的有（ ）
A．不同的安排方法数为
B．若甲学校至少安排两人，则有种安排方法
C．小晗被安排到甲学校的概率为
D．在小晗被安排到甲校的前提下，甲学校安排两人的概率为
【答案】AC
【分析】利用分组分配原理可判断A选项；利用特殊元素优先考虑法可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用条件概率公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，将位志愿者分成组，每组至少一人，每组人数分别为、、或、、，
再将这三组志愿者分配给个地区，不同的安排方法种数为种，A对；
对于B选项，若甲学校至少安排两人，则甲校安排人或人，
则不同的安排方法种数为种，B错；
对于C选项，若小晗被安排到甲学校，则甲校可安排的人数为或或，
由古典概型的概率公式可知，小晗被安排到甲学校的概率为，C对；
对于D选项，记事件小晗被安排到甲校，事件甲学校安排两人，
则，，
由条件概率公式可得，D错.
故选：AC.
12．已知正方体棱长为4，M为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若N为中点，当最小时，
B．当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大
C．直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为
D．当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为
【答案】ACD
【分析】对于A，由展开图求解；对于B，取特殊位置判断；对于C，由空间向量求解；对于D，由正四面体的性质可求内切球半径，可得内切球的表面积，．
【详解】对于A，矩形与正方形展开成一个平面，如图所示，
若最小，则A、M、N三点共线，因为，
所以，则有 ，
即，故A正确；
对于B，当点M与点重合时，连接、、、、，如图所示，
在正方体中，平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可证，
因为，平面，所以平面，
易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为；
设E、F、Q、N，G，H分别为，、，，，的中点，易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形 EFQNGH的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，即B错误；
对于C，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，设，
因为平面，所以是平面的一个法向量，且，，故，
所以直线AB与平面所成角的正弦值的取值范围为，则直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为，故C正确；
对于D，当点M与点C重合时，四面体即为为正四面体，棱长，
由正四面体的性质可得，其内切球半径，
所以表面积为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．已知，且，则x=
【答案】6
【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算即得.
【详解】向量，由，得，解得，
所以.
故答案为：6
14．若二项式展开式的常数项为60，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据二次展开式的通项公式确定常数项即可求的值.
【详解】二项式展开式的通项为，
令，得，常数项为，得．
故答案为：.
15．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 .
【答案】
【分析】设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，计算可得出，计算出的取值范围，即可得解.
【详解】如下图所示：
设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，
，
当为正方形的某边的中点时，，
当与正方形的顶点重合时，，即，
因此，.
故答案为：.
16．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则 ；该棋手获胜的概率为 ．
【答案】 /0.75
【分析】根据题意找出与的关系即可求解.
【详解】由题，因为，故，由，所以，累加可得：．
故答案为：；.
四、解答题
17．已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.
(1)求{}和{}的通项公式;
(2)设，求数列{}的前20项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式；
（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用分组求和法，求数列的前20项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由条件可知，，得，，
所以，
等比数列中，，则，，
所以；
（2）,
对数列为奇数时，，
所以数列的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，
对数列为偶数，，
所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的前20项和为：
.
18．如图所示，已知中，为上一点，．
(1)求；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由正弦定理可得答案；
（2）由（1）得．法1：由正弦定理、可得，再由余弦定理可得．法2：求出及，再由两角差的正弦展开式求出，在中由正弦定理可得答案．
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，
所以，
又因为，
所以；
（2）因为，所以，所以，
由（1）结论，计算可得，
法1：由正弦定理可知，又，
所以，
由余弦定理可得，
化简整理得，
解得．
法2：因为且，
所以，
由题意可得，所以，
所以
，
在中，由正弦定理可得，
所以．
19．已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数的解析式唯一确定
(1)求的解析式及最小值；
(2)若函数在区间上有且仅有2个零点，求t的取值范围.
条件①：函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值与最小值的和为1.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先将解析式化简，再选择相应条件，结合三角函数的性质逐一分析，从而得解；
（2）先求得在附近的五个零点，从而得到关于的不等式组，由此得解.
【详解】（1）选条件①②：
由题意可知，
，
函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，所以，
因为函数的图象经过点，
所以，所以，
所以，
所以.
选择条件①③：
函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
则，所以，
，
函数的最大值与最小值的和为1，所以，则，
所以，
所以.
选条件②③：
，
函数的最大值与最小值的和为1，所以，则，
因为函数的图象经过点，
所以，所以，
所以或，
显然此时的值有多个，的解析式唯一确定，所以此种情形不符合题意，舍去.
（2）由（1）知，
令，得，
所以或，
即或，
所以在附近的五个零点为，，，，，
因为在区间上有且仅有2个零点，
所以，为在区间上的两个零点，
所以的取值范围是.
20．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由勾股定理证明，再由，可证平面，即得，由，可证平面；（2）由题意证明得两两垂直，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，设，再由向量夹角的公式代入计算得，根据点到平面的距离公式代入计算，可得答案.
【详解】（1）证明：由题知，
，
又，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
在正中，为中点，于是，
又，平面，所以平面
（2）取中点为中点为，则，
由（1）知，平面，且平面，
所以，又，
所以，平面
所以平面，于是两两垂直.
如图，以为坐标原点，的方向为轴 轴 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则，
，所以，
.
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，于是.
设，
则.
由于直线与平面所成角的正弦值为，
，
即，整理得
，由于，所以
于是.
设点到平面的距离为，则，
所以点到平面的距离为.
【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
21．2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
男生 女生 合计
喜欢 120 100 220
不喜欢 80 100 180
合计 200 200 400
(1)根据表中数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？
(2)为弄清学生不喜欢电子竞技的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为，求的数学期望．
参考公式及数据：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】(1)采用小概率值的独立性检验，能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关
(2)
(3)
【详解】（1）列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢
不喜欢
合计
零假设该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别无关，
，
，
采用小概率值的独立性检验，可推断不成立，即能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关，
（2）采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率为．
（3）由题意可知喜欢电子竞技的概率为，所以，
故．
22.某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛
(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第题时“花”掉的分数为（，2，…，n）；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量应为多少
附：若，则，，；．
【答案】(1)；
(2)有
(3)7或8
【分析】（1）确定X的取值，算出预赛成绩在和范围内的样本量，根据超几何分布的概率计算求得至少有1人预赛成绩优良的概率，继而可求得X的分布列，求得期望；
（2）求出变量Z的均值，确定，即可求得，算出不低于91分的人数，可得结论；
（3）设学生甲答对的题目数为，复赛成绩为Y，可得，结合二项分布的均值计算公式可得表达式，结合二次函数知识，可得答案.
【详解】（1）预赛成绩在范围内的样本量为：，
预赛成绩在范围内的样本量为：，
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为，
则，
又，
则X的分布列为：
X 0 1 2
P
故.
（2），
，则，
又，
故，
故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有人，
因为，故小明有资格参加复赛.
（3）设学生甲答对的题目数为，复赛成绩为Y，
则，故，
，
故
,
因为，所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩.
