2023学年第一学期杭州S9联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为或，且，
故.
故选：D.
2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的运算法则以及共轭复数的定义即可得出结果.
【详解】因为，
即，
所以的共轭复数为，其虚部为.
故选：C.
3. 已知向量，，若，则实数m的值是（ ）
A. B. C. 1 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，，且
所以，
所以，解得：，所以.
故选：B.
4. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】令，
因为函数在上为单调递减函数，
要求函数的单调递减区间，只需求函数的单调递增区间，
又因为函数的单调递增区间为，
所以函数的单调递减区间为.
故选：B.
5. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由直线平行的判断方法分析“”和“”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案.
【详解】直线：，：，
若，则有，解得，
经检验，当时，直线不重合，符合，
则时，满足，而时，不能得到，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6. 将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将异面直线平移到同一个三角形中，可求得异面直线所成的角.
【详解】如图，取，，中点，分别为，，，
则，所以或其补角即为所求的角.
因为平面垂直于平面，，所以平面，所以.
设正方形边长为，，所以，则.
所以.所以是等边三角形，.
所以直线与所成的角为．故应选B．
【点睛】本题考查异面直线所成的角.
7. 已知正方体的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】点作平面于点，过作于点，连接，则为所求，联立即可求解.
【详解】如图，过点作平面于点，过作于点，连接，则线段的长即为点P到直线AB的距离，
因为正方体的棱长为1，且，
所以，，，
所以.
故选：B
8. 设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先确定两直线所过的定点、的坐标，然后根据两直线的位置关系可判断它们垂直，结合基本不等式求解即可.
【详解】依题意，直线过定点，直线可整理为，故直线过定点，
又因为直线和直线始终垂直，为两直线交点，
所以，
则，
由基本不等式可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值是.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，两点到直线l：的距离相等，则实数a的值可能为（ ）
A. B. 3 C. D. 1
【答案】AC
【解析】
【分析】分AB所在的直线平行于直线l和AB的中点在直线l上两种情况进行讨论求解.
【详解】因为，两点到直线l：的距离相等，所以AB所在的直线平行于直线l或AB中点在直线l上，
当AB所在的直线平行于直线l时，因为，所以直线l的斜率，所以；
当AB的中点在直线l上时， ，解得，
故选：AC.
10. (多选题)某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 得分在[40，60)之间的共有40人
B. 从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80)的概率为0.5
C. 估计得分的众数为55
D. 这100名参赛者得分的中位数为65
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据图中数据首先求出，然后逐一判断即可.
【详解】根据频率和为1，由(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，
得分在[40，60)的频率是0.40，估计得分在[40，60)的有100×0.40＝40(人)，A正确；
得分在[60，80)的频率为0.5，可得从这100名参赛者中随机选取一人，
得分在[60，80)的概率为0.5，B正确；
根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为＝55，即估计得分的众数为55，C正确；
由0.05＋0.35＝0.4<0.5，知中位数位于[60，70)内，所以中位数的估计值为60＋
故选：ABC
11. 已知，且，则下列式子中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式即可判断B、C两个选项，对数的运算性质得到，可判断A，通过把转换成，进而就可以判断D选项.
【详解】选项A：，A错误；
选项B：，
当且仅当，即时，等号成立.
又因为，所以B正确；
选项C：，
当且仅当时，等号成立.
又因为，所以C正确；
选项D：因为，则，
又因为，则，
所以当时，，D错误.
故选：BC
12. 在正方体中，，，，分别为，，的中点，，分别为，上的动点，作平面截正方体的截面为，则下列说法正确的是（ ）
A. 不可以是六边形
B. 存在点，使得
C. 当经过点，时，点到平面的距离的最大值为
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A选项，可以把截面补全可知截面的形状为六边形故A选项错误；对于B选项，等价于在平面上的射影与垂直，从而计算出点的位置；对于C选项，运用等体积法将问题转化为求点到距离的最小值；对于D选项，求空间折线段的最小值要展成直线段.
【详解】
如图，
对于A
取中点，中点，中点，在线段上取点，使得，在线段上取点，使得，在线段，上取点M，使得.
易知，且HK，IL，JM交于一点，该点为正方体的中心，
所以，，，，，六点共面，
又因为，
所以平面
故A错误.
对于B，
当时，在中结合勾股定理可知.
因为，，所以平面，
又平面，
所以，
故B正确.
对于C，
当经过点，时，为平面AFP.
因为是定值，
所以要使得点到平面的距离最大，那么的面积最小.由于为定值，
即到的距离最小.由于平面，且，
只需求到最小距离即可，
当运动到时距离最小，
则到的最小距离为，
即到的最小距离为，
此时，
则点到平面的距离的最大值为，
故C正确.
对于D，
延长至使得，则，
当且仅当，，
三点共线且垂直于时，取最小值，
最小值为，
故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 平面与平面垂直，平面与平面的法向量分别为，，则t值是_________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据面面垂直时，两个平面的法向量垂直，则，利用向量的坐标表示出两个向量的数量积，得到等式求解即可.
【详解】因为平面与平面垂直，
所以平面的法向量与平面的法向量垂直，
所以，即，解得.
故答案为：.
14. 在三棱柱中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，且，则与平面所成的角的正弦值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】解：取的中点，连接，过点作，
依题意可得，底面，所以底面，
如图建立空间直角坐标系，
则，，
所以，又平面的法向量可以为，
设与平面所成的角为，
所以，与平面所成的角的正弦值为.
故答案为：
15. 在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合内取值的点中任取一个点，此点正好在直线上的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意，试验发生包含的事件共有种结果，其中满足条件的有种结果，列举出结果即可求得概率.
【详解】试验发生包含的事件是横坐标与纵坐标都在集合内任取一个点，
所有的可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种结果，
满足点正好在直线上的有：，，，共有种结果，
所以所求概率是，
故答案为：.
16. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】由题设可得以及，利用赋值法可得到方程组，从而得到时，的解析式，再利用上述两个关系式推出函数是以为周期的函数，即可求得的值.
【详解】因为为奇函数，则，
令，则，故，则有，
令，则，
又因为为偶函数，，
令，则，
又因为，即，
联立，解得：，
所以当时，，
又因为，
即，
则，
所以函数是以为周期的函数，
故.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，，．
（1）求直线AB和AC的斜率；
（2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
【答案】（1）直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3
（2）
【解析】
【分析】（1）由斜率公式直接求解；
（2）由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【小问1详解】
由斜率公式可得直线AB的斜率，
直线AC的斜率，
故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3．
【小问2详解】
当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，
直线AD的斜率由增大到，
所以直线AD斜率的变化范围是.
18. 如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
（1）用向量，，表示；
（2）求．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由空间向量的线性运算直接求解；
（2）结合（1）的结论，由空间向量的数量积公式求模长.
【小问1详解】
因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
所以．
【小问2详解】
因为四面体OABC是正四面体，则，
，
，
所以．
19. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线垂直；
②过点；
③与直线平行．
问题：已知直线过点，且 ．
（1）求直线的一般式方程；
（2）已知，O为坐标原点，在直线上求点N坐标，使得最大．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若选择①，则由垂直关系可得直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线的方程；若选择②，则由斜率公式可求出直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线的方程；若选择③，则由平行关系可得直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线的方程；
（2）设点O关于直线的对称点为，利用对称关系可求得，则由图可知
，当且仅当Q，N，M三点共线时取得等号，从而可求得结果.
【小问1详解】
选择①与直线垂直，
则直线的斜率，解得，又其过点，
则直线的方程为：，整理得：；
选择②过点，又直线过点
则直线的斜率，
则直线的方程为：，整理得：；
选择③与直线平行，
则直线的斜率，又其过点，
则直线的方程为：，整理得：；
综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：．
【小问2详解】
根据（1）中所求，可得直线的方程为：，又，
设点O关于直线的对称点为，
则，且，解得；
显然，
当且仅当Q，N，M三点共线时取得等号；
又直线QM的斜率，故其方程为：，即，
由，得，
则点N的坐标为时，使得最大.
20. 如图，在直三棱柱中，，，，点D是线段的中点，
（1）求证：
（2）求D点到平面的距离；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，由平面得，从而平面，进而得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用点到平面的距离的向量公式求解.
【小问1详解】
△ABC中，，，，所以，
在直三棱柱中，平面，平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，平面，所以．
【小问2详解】
由（1）知，平面ABC，平面ABC，平面ABC，
所以，，又，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，解得，令，则，
设D到平面的距离为，得．
21. 如图，在多面体中，四边形是一个矩形，，.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值.
【小问1详解】
设，连接，
由于，所以四边形是平行四边形，
所以，
由于平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
依题意，平面平面，，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
平面的法向量为，
，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设.
设平面与平面的夹角为，
则
22. 已知分别为三个内角的对边，且，
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；
（2）由推得，再由设，将转化为，再引入，得，最后利用复合函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
因为，则，
所以，则，所以为直角三角形，
所以
【小问2详解】
，所以，而，
所以设，所以，
令，
又因为，所以，
所以，
令，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以，
所以的取值范围为.2023学年第一学期杭州S9联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，则实数m的值是（ ）
A. B. C. 1 D. 4
4. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为
A. B. C. D.
7. 已知正方体的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A B. 2 C. 3 D. 5
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，两点到直线l：的距离相等，则实数a的值可能为（ ）
A. B. 3 C. D. 1
10. (多选题)某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 得分在[40，60)之间的共有40人
B. 从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80)的概率为0.5
C. 估计得分的众数为55
D. 这100名参赛者得分的中位数为65
11. 已知，且，则下列式子中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
12. 在正方体中，，，，分别为，，的中点，，分别为，上的动点，作平面截正方体的截面为，则下列说法正确的是（ ）
A. 不可以是六边形
B. 存在点，使得
C. 当经过点，时，点到平面的距离的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 平面与平面垂直，平面与平面的法向量分别为，，则t值是_________．
14. 在三棱柱中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，且，则与平面所成的角的正弦值为__________.
15. 在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合内取值的点中任取一个点，此点正好在直线上的概率为___________．
16. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，，．
（1）求直线AB和AC的斜率；
（2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
18. 如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
（1）用向量，，表示；
（2）求．
19. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线垂直；
②过点；
③与直线平行．
问题：已知直线过点，且 ．
（1）求直线的一般式方程；
（2）已知，O坐标原点，在直线上求点N坐标，使得最大．
20. 如图，在直三棱柱中，，，，点D是线段的中点，
（1）求证：
（2）求D点到平面距离；
21. 如图，在多面体中，四边形是一个矩形，，.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面的夹角的余弦值.
22. 已知分别为三个内角的对边，且，
（1）求；
（2）若，求取值范围.
