2024北师大版数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练(三)求二次函数表达式的常见类型（含解析）

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2024北师大版数学九年级下学期
专项素养综合全练(三)
求二次函数表达式的常见类型
类型一　由函数的基本形式求表达式
方法1　利用一般式求二次函数表达式
1.(2023河南扶沟二模节选)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+3x+c经过点A(-1,0),B(4,0).
(1)求抛物线的表达式;
(2)已知点M(m,n)是抛物线上的点,将点M向左平移3个单位长度得到点M',若点M'恰好也在该抛物线上,求点M的坐标.
方法2　利用顶点式求二次函数表达式
2.(2023安徽淮北一模)已知抛物线的顶点是(-3,2),且经过点(1,-14),求该抛物线的函数表达式.
方法3　利用交点式求二次函数表达式
3.(2023河南郸城一模节选)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(2,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若(3,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且y2=8-y1,求m的值.
方法4　利用图形变换法求二次函数表达式
4.(2022广西玉林中考)小嘉说:将二次函数y=x2的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法:①向右平移2个单位长度;②向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度;③向下平移4个单位长度;④沿x轴翻折,再向上平移4个单位长度.你认为小嘉说的方法中正确的有(　　)
A.1个　　　　　　B.2个　　　　　　C.3个　　　　　　D.4个
方法5　利用对称轴法求二次函数表达式
5.(2023河北蔚县模拟节选)已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴是直线x=1.
(1)若点(3,-2)在该抛物线上,求抛物线y=-x2+bx+c的解析式;
(2)当-2≤x≤2,且c=2时,求抛物线y=-x2+bx+c的最大值与最小值的差.
类型二　由图象中的信息求二次函数表达式
6.(2023江西赣州三模)如图1,某地大桥主桥墩结构为抛物线形,桥墩的高度和宽度分别为40 m和30 m,若建立如图2所示的平面直角坐标系,则该抛物线的表达式为(　　)
　
图1 图2
A.y=x　　　　B.y=30x2-40x
C.y=-x　　　　D.y=-40x2+30x
类型三　由表格信息求二次函数表达式
7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:
x … - -1 - 0 1 …
y … - -2 - -2 - 0 …
(1)直接写出此二次函数图象的对称轴与顶点坐标;
(2)求该二次函数的解析式.
类型四　几何应用中求二次函数表达式
8.某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),并在如图所示位置留2 m宽的门,已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50 m.设饲养室平行于墙的一边长为x m,占地面积为y m2,则y关于x的函数表达式是　(　　)
A.y=-x2+50x　　　　 B.y=-x2+24x
C.y=-x2+26x
类型五　实际问题中求二次函数表达式
9.【真实情境】(2023湖北随州中考)为了振兴乡村经济,增加村民收入,某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品,在试销售的30天中,第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价p(元/千克)与x的函数关系式为p=销量q(千克)与x的函数关系式为q=x+10,已知第5天售价为50元/千克,第10天售价为40元/千克,设第x天的销售额为W(元).
(1)m=　　　　,n=　　　　;
(2)求第x天的销售额W(元)与x之间的函数关系式;
(3)在试销售的30天中,销售额超过1 000元的共有多少天
答案全解全析
1.解析　(1)∵抛物线y=ax2+3x+c经过点A(-1,0),B(4,0),
∴
∴抛物线的表达式为y=-x2+3x+4.
(2)∵y=-x2+3x+4,
∴对称轴为直线x=-.
∵点M向左平移3个单位长度得到点M',
∴点M'的坐标为(m-3,n).
∵点M和点M'都在该抛物线上,∴,
∴m=3,∴点M的横坐标为3,
把x=3代入y=-x2+3x+4,得y=-9+9+4=4,
∴点M的坐标为(3,4).
2.解析　∵抛物线的顶点是(-3,2),
∴可设抛物线的函数表达式为y=a(x+3)2+2,
∵抛物线经过点(1,-14),
∴-14=a×(1+3)2+2,解得a=-1,
∴抛物线的函数表达式为y=-(x+3)2+2.
3.解析　(1)∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(2,0),
∴抛物线的解析式为y=1×(x+1)(x-2),即y=x2-x-2.
(2)∵(3,y1),(m,y2)是抛物线上的两点,
∴y1=9-3-2=4,y2=m2-m-2.
∵y2=8-y1,∴m2-m-2=8-4,解得m=3或m=-2,
∵(3,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,
∴m=-2.
4.D　①向右平移2个单位长度,则平移后所得抛物线的解析式为y=
(x-2)2,当x=2时,y=0,所以平移后所得的抛物线经过点(2,0),故①符合题意;②向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,则平移后所得抛物线的解析式为y=(x-1)2-1,当x=2时,y=0,所以平移后所得的抛物线经过点(2,0),故②符合题意;③向下平移4个单位长度,则平移后所得抛物线的解析式为y=x2-4,当x=2时,y=0,所以平移后所得的抛物线经过点(2,0),故③符合题意;④沿x轴翻折,再向上平移4个单位长度,则平移后所得抛物线的解析式为y=-x2+4,当x=2时,y=0,所以平移后所得的抛物线经过点(2,0),故④符合题意.故选D.
5.解析　(1)∵抛物线y=-x2+bx+c过点(3,-2),对称轴为直线x=1,
∴
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+1.
(2)由(1)知b=2,当c=2时,y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3.
∵-1<0,∴当x=1时,y取得最大值,为3.
∵抛物线的对称轴是直线x=1,|1-(-2)|>|1-2|,
∴当x=-2时,y取得最小值,为-6,
∴抛物线y=-x2+bx+c的最大值与最小值的差为3-(-6)=9.
6.C　由二次函数的图象可得,抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)和(30,0),
∴对称轴为直线x==15,
∵桥墩的高度为40 m,∴抛物线的顶点坐标为(15,40),
设抛物线的表达式为y=a(x-15)2+40(a≠0),
把(0,0)代入上式得a×152+40=0,∴a=-,
∴该抛物线的表达式为y=-(x-15)2+40,
即y=-x,故选C.
7.解析　(1)由表格可知,当x=-1和x=0时,y值相等,故图象的对称轴为直线x=,即直线x=-,故顶点坐标为.
(2)设y=a,将(0,-2)代入可得=-2,解得a=1,
∴二次函数的解析式为y=.
8.D　y关于x的函数表达式是y=x·x2+26x,故选D.
9.解析　(1)-2;60.
详解:把(5,50),(10,40)代入p=mx+n得
(2)当1≤x<20时,W=pq=(-2x+60)(x+10)=-2x2+40x+600;
当20≤x≤30时,W=pq=30(x+10)=30x+300.
∴W=
(3)当1≤x<20时,W=-2x2+40x+600=-2(x-10)2+800,
∵-2<0,∴当x=10时,W取得最大值,为800,此时不满足题意;
当20≤x≤30时,由30x+300>1 000得x>23,
∵x为整数,∴x可取24,25,26,27,28,29,30,
∴销售额超过1 000元的共有7天.
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