2024北师大版数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练(一)解直角三角形的常见类型（含解析）

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2024北师大版数学九年级下学期
专项素养综合全练(一)
解直角三角形的常见类型
类型一　已知两直角边解直角三角形
1.【教材变式·P17T1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,求这个三角形的其他元素.
类型二　已知一直角边和斜边解直角三角形
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,已知a=,解这个直角三角形.
3.如图,∠ACB=90°,AB=13,AC=12,∠BCM=∠BAC,求sin∠BAC和点B到直线MC的距离.
类型三　已知一边和一锐角解直角三角形
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.已知∠B
=45°,c=,解这个直角三角形.
5.(2023江苏苏州姑苏期中节选)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,c=8,∠A=60°,求这个三角形的其他元素.
类型四　已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形
6.(2023安徽滁州天长月考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,sin B=
.求AC的长及∠A的正切值.
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BC=12,AD=6,sin∠ABC=.求tan C的值.
类型五　“等角代换法”解直角三角形
8.(2023陕西西安长安三中三模)如图,在等腰△ABC中,AB=AC=13,
BC=24,点D为BC的中点,DE⊥AB于点E,则sin∠BDE的值为(　　)
A.
类型六　“定义法”解直角三角形
9.如图,E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠得△BFE,点F落在边AD上.
(1)求证:△ABF∽△DFE;
(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值.
类型七　“参数法”解直角三角形
10.已知,如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=10,D为△ABC外一点,连接AD、BD,过D作DH⊥AB,垂足为H,交AC于E.
(1)若△ABD是等边三角形,求DE的长;
(2)若BD=AB,且tan∠HDB=,求DE的长.
类型八　“化斜为直”解直角三角形
11.如图,等腰三角形ABC的腰长AB=AC=5,底边长BC=6,求cos C.
12.【分类讨论思想】已知BD为等腰三角形ABC的腰AC上的高,BD=1,tan∠ABD=,求CD的长.
答案全解全析
1.解析　在Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,
∴tan A=,
∴∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°,c=2a=6.
2.解析　在Rt△ABC中,∵∠C=90°,a=
.
∵sin A=,∴∠A=30°.∴∠B=90°-30°=60°.
3.解析　在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=13,AC=12,
∴BC==5,
∴sin∠BCM=sin∠BAC=,
如图,作BE⊥MC,垂足是E,
则BE=BC·sin∠BCE=5×.
4.解析　 ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°.
又∵∠B=45°,∴∠A=45°,∴a=b.
∵c=.
由上可得∠A=45°,a=.
5.解析　∵∠C=90°,∠A=60°,
∴∠B=90°-∠A=30°,∴b=,
∴a=b=12,综上∠B=30°,b=4,a=12.
6.解析　在Rt△ABC中,∵sin B=,AB=13,
∴AC=5.
∴BC==12.∴tan A=.
7.解析　∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵AD=6,sin∠ABC=,∴AB=10,
∴BD==8,
∵BC=12,∴CD=BC-BD=12-8=4,
在Rt△ADC中,tan C=.
8.A　连接AD,如图,
∵AB=AC=13,点D为BC的中点,
∴BD=CD=BC=12,AD⊥BC,
∴∠B+∠BAD=90°,
∵DE⊥AB于点E,∴∠B+∠BDE=90°,
∴∠BDE=∠BAD,
∴sin∠BDE=sin∠BAD=.故选A.
方法解读　“等角代换法”解直角三角形是指通过构造等角,将原三角形中的某些元素代换,从而将问题简化,便于求解.紧扣“角相等则其三角函数值也相等”这一特征用“等角转换法”将所要求的角的三角函数值转化为直角三角形中与该角相等的角的三角函数值.
9.解析　(1)证明:由题意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°,
∴∠ABF=90°-∠AFB,∠DFE=90°-∠AFB.
∴∠ABF=∠DFE.
∴△ABF∽△DFE.
(2)由折叠可得FB=BC,EF=EC.
∵sin∠DFE=,即EF=3DE.
∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE,DF=DE.
∵△ABF∽△DFE,∴,即FB=DE.
又∵FB=BC,EF=EC,∴tan∠EBC=.
10.解析　(1)∵△ABD是等边三角形,AB=10,
∴∠ADB=60°,AD=BD=AB=10,
∵DH⊥AB,∴AH=
,
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,∴∠CAB=45°,
∴∠AEH=45°,∴△AEH是等腰直角三角形,
∴EH=AH=5,∴DE=DH-EH=5-5.
(2)∵DH⊥AB,且tan∠HDB=,∴可设BH=3k,则DH=4k,
根据勾股定理得DB=5k,
∵BD=AB=10,∴5k=10,解得k=2,∴DH=8,BH=6,∴AH=4,
又∵EH=AH=4,∴DE=DH-EH=4.
11.解析　过点A作AD⊥BC,垂足为D.
∵AB=AC=5,AD⊥BC,BC=6,
∴BD=DC=BC=3.
在Rt△ADC中,cos C=.
12.解析　分四种情况:
当∠BAC为钝角,AB=AC时,如图①,
在Rt△ABD中,∵BD=1,tan∠ABD=,
∴AD=.
当∠BAC为锐角,AB=AC时,如图②,
在Rt△ABD中,∵BD=1,tan∠ABD=,
∴AD=.
当∠BCA为钝角,BC=AC时,如图③,
∵tan∠ABD=,∴∠ABD=60°.
∴在Rt△ABD中,∠A=90°-∠ABD=30°.
∵BC=AC,∴∠CBA=∠A=30°.
∴∠BCD=60°.
在Rt△BCD中,BD=1,∠BCD=60°,tan∠BCD=,
∴=tan 60°=.
当∠BCA为锐角,BC=AC时,不符合题意.
综上,CD=2+或2-.
　 　
图① 图② 图③
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