2024北师大版数学九年级下学期课时练--2.1 二次函数（含解析）

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2024北师大版数学九年级下学期
第二章　二次函数
1　二次函数
基础过关全练
知识点1　二次函数的定义
1.(2023安徽宣城期末)下列函数中,是二次函数的是(　　)
A.y=- C.y=2x2-2x+2　　　　D.y=2x+2
2.(2022河北邯郸永年期末)二次函数y=3x-x2的二次项系数是　　　　,一次项系数是　　　　.
3.【一题多变】(2022江苏淮安淮阴期末)函数y=x2m-1+x-3是关于x的二次函数,则m=　　　　.
[变式1·变次数为系数]当函数y=(a-1)x2+bx+c是关于x的二次函数时,a满足的条件为　　　.
[变式2·变次数为系数和次数]【易错题】(2023辽宁大连普兰店期末)已知y=(m-1)是关于x的二次函数,则m的值是(　　)
A.0　　　　　　B.-1　　　　　　C.1　　　　　　D.±1
知识点2　根据实际问题列二次函数关系式
4.【新独家原创】某纸箱厂为某种产品设计一种包装箱,要求高为30 cm,长比宽多10 cm.设长为x cm,体积为y cm3,则y关于x的函数关系式为(　　)
A.y=30x(x+10)　　B.y=30x(x-10) C.y=　　 D.y=30(x-10)2
5.(2023辽宁大连金普新区期末)一台机器原价为100万元,若每年的折旧率是x,两年后这台机器约为y万元,则y与x的函数关系式为(　　)
A.y=100(1-x)　　B.y=100-x2 C.y=100(1+x)　　D.y=100(1-x)2
6.【教材变式·P31T4】(2023广东佛山南海实验中学一模)2022年北京冬奥会举办期间,冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱.某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆,每个“冰墩墩”的进价为40元.销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300个,销售单价每降低1元,每天销售量增加20个.现商家决定降价销售,设每天销售量为y个,销售单价为x元(40A.y=20x-580　　　　 B.y=-20x+300
C.w=(20x-480)(x-40)　　　　D.w=(-20x+1 180)(x-40)
能力提升全练
7.(2022河南南阳南召模拟,5,★★☆)如图,某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形PMBN,用来做休闲书吧,其中点P在AC上,点N,M分别在BC,AB上,记PM=x,PN=y,图中阴影部分的面积为S,若NP在一定范围内变化,则y与x,S与x满足的函数关系分别是(　　)
A.反比例函数关系,一次函数关系
B.二次函数关系,一次函数关系
C.一次函数关系,反比例函数关系
D.一次函数关系,二次函数关系
8.(2020山东日照中考,18,★★☆)如图,某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD,为美化环境,用总长为100 m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆,篱笆的厚度不计).
(1)若四块矩形花圃的面积相等,求证:AE=3BE;
(2)在(1)的条件下,设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
素养探究全练
9.【抽象能力】【新独家原创】如图,将完全相同的小圆按图中的规律摆放.
图中小圆的个数依次为3,6,10,….
根据图中规律,解决下列问题:(M9202001)
(1)第4个图形中有　　　　个小圆;
(2)若第x个图形中有y个小圆,则y与x之间的函数关系式为　　　　　　,y是x的　　　　函数;
(3)第100个图形中有　　　　个小圆,第　　　　个图形中有496个小圆.
答案全解全析
基础过关全练
1.C　选项A,y=-,关系式的右边不是整式,故不是二次函数;选项B,y=,关系式的右边不是整式,故不是二次函数;选项C,y=2x2-2x+2,自变量的最高次数是2,且二次项的系数不为零,故是二次函数;选项D,y=2x+2,自变量的最高次数不是2,故不是二次函数.故选C.
规律总结　判断一个函数是不是二次函数,在关系式的左右两边都是整式的前提下,如果把关系式化简、整理后,能写成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的形式,那么这个函数就是二次函数,否则就不是.
2.-;3
解析　二次函数y=3x-x2化为一般形式为y=-x2+3x,所以二次项系数是-,一次项系数是3.
3.
解析　∵函数y=x2m-1+x-3是关于x的二次函数,
∴2m-1=2,∴m=.
[变式1]　a≠1
解析　根据二次函数定义可得a-1≠0,则a≠1.
[变式2]　B　∵y=(m-1)是二次函数,∴m2+1=2且m-1≠0,解得m=-1.故选B.
易错警示　本题容易忽略二次项的系数不为0的条件造成错解.
4.B　长为x cm,则宽为(x-10)cm,由长方体体积公式得y=30x(x-10).
5.D　根据两年后机器价值=机器原价值×(1-折旧率)2可得y关于x的函数关系式为y=100(1-x)2,故选D.
6.D　利用每天的销售量=300+20×(44-销售单价),可得出y关于x的函数关系式;利用商家每天销售“冰墩墩”获得的利润=每个的销售利润×每天的销售量,可得出w关于x的函数关系式.所以y=300+20(44-x),
w=(x-40)y,即y=-20x+1 180,w=(-20x+1 180)(x-40).故选D.
能力提升全练
7.D　设AB=m(m为常数),
在△AMP中,易知∠A=45°,AM⊥PM,
∴△AMP为等腰直角三角形,∴AM=PM,
∵四边形PMBN是矩形,
∴PN=BM,∴x+y=PM+PN=AM+BM=AB=m,即y=-x+m,
∴y与x成一次函数关系,
∵S=S△ABC-S矩形PMBN=
m2,
∴S与x成二次函数关系.故选D.
8.解析　(1)证明:∵四块矩形花圃的面积相等,
∴S矩形MEFN=S矩形EBCF=S矩形AMGH=S矩形HGND,
∴ME=BE,S矩形AMND=S矩形MBCN,∴AM=BM,
∴AE=AM+ME=BM+ME=2BE+BE=3BE.
(2)∵篱笆总长为100 m,∴2AB+GH+3BC=100,
∴2AB+BC.
∵BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2,
∴y=BC·AB=xx2+40x,
易得40-x>0,解得x<,
∴y与x的函数关系式为y=-.
素养探究全练
9.(1)15　(2)y=x+1;二次　(3)5 151;30
解析　(1)第1个图形中小圆的个数为1+2=3,第2个图形中小圆的个数为1+2+3=6,第3个图形中小圆的个数为1+2+3+4=10,……,∴第n个图形中小圆的个数为1+2+3+…+n+(n+1),∴第4个图形中小圆的个数为1+2+3+4+5=15.
(2)由(1)中规律可知y=1+2+3+…+x+(x+1)=,即y=x+1,
∴y是x的二次函数.
(3)当x=100时,y=×100+1=5 151,
∴第100个图形中有5 151个小圆.
当y=496时,x+1=496,解得x1=30,x2=-33(舍去),∴第30个图形中有496个小圆.
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