2024北师大版数学九年级下学期课时练--1.2 30°,45°,60°角的三角函数值（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024北师大版数学九年级下学期课时练--1.2 30°,45°,60°角的三角函数值（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 406.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-28 16:12:21 | ||
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文档简介
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2024北师大版数学九年级下学期
第一章 直角三角形的边角关系
2 30°,45°,60°角的三角函数值
基础过关全练
知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
1.(2023湖南永州零陵模拟)下列求三角函数值,正确的是 ( )
A.sin 30°= B.cos 30°=
C.sin 60°= D.tan 30°=
2.(2023北京一零一中学月考)在△ABC中,若∠A,∠B均为锐角,且+(1-tan B)2=0,则∠C的度数是( )
A.45° B.60° C.75° D.105°
3.下列计算错误的个数是( )
①sin 60°-sin 30°=sin 30°;②sin245°+cos245°=1;
③tan260°=;④tan 30°=.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(1)(2023浙江金华婺城模拟)计算:sin 30°+cos 60°-cos 45°;
(2)(2023安徽宁国期末)计算:(-1)2 023+2sin 45°-cos 30°+sin 60°+tan260°;
(3)计算:2sin260°-cos 45°tan 45°;
(4)(2023山东烟台期末)计算:2cos 30°-.
知识点2 利用特殊角的三角函数值解决实际问题
5.(2023广东深圳中考)爬坡时坡面与水平面夹角为α,则每爬1 m耗能(1.025-cos α)J,如图,若某人爬了1 000 m,该坡角为30°,则他耗能(参考数据:≈1.732,≈1.414)( )
A.58 J B.159 J C.1 025 J D.1 732 J
6.【新独家原创】【方程思想】数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等,于是,小陆同学提出一个问题:
将一副三角板按如图所示的方式放置,若AD与BC交于E,AC=2,求CE长.
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
能力提升全练
7.(2022山东泰安中考,16,★★☆)如图,某一时刻太阳光从窗户射入房间内,与地面的夹角∠DPC=30°,已知窗户的高度AF=2 m,窗台的高度CF=1 m,窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8 m,则CP的长度为 (结果精确到0.1 m)
8.(2023湖北孝感中考,14,★★☆)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15米,则尚美楼高度DF为 米.(结果保留根号)
9.(2022河南商丘宁陵清华园学校月考,23,★★☆) 一副直角三角板按如图所示的方式放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.
素养探究全练
10.【应用意识】【数形结合思想】(2023湖北武汉青山模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算tan 15°时,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan 15°=,类比这种方法,则tan 22.5°的值为( )
A.
11.【应用意识】当我们进入高中以后,将会学到如下三角函数公式:
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.
例:sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=.
(1)请仿照例题,求cos 75°的值;(结果保留根号)
(2)利用tan α=,试求tan 75°的值.(结果保留根号)
答案全解全析
基础过关全练
1.A 根据特殊角的三角函数值,逐项分析判断即可求解.
选项A,sin 30°=,故该选项正确,符合题意;
选项B,cos 30°=,故该选项不正确,不符合题意;
选项C,sin 60°=,故该选项不正确,不符合题意;
选项D,tan 30°=,故该选项不正确,不符合题意.
故选A.
2.C ∵∠A,∠B均为锐角,且+(1-tan B)2=0,∴sin A-=0且1-tan B=0,∴sin A=,tan B=1,∴∠A=60°,∠B=45°,∴∠C=180°-∠A-∠B=75°,故选C.
3.C sin 60°-sin 30°=,sin 30°=,故①错误;sin245°+cos245°==1,故②正确;tan260°=()2=3,故③错误;tan 30°=,故④错误.综上所述,计算错误的有①③④,共3个,故选C.
4.解析 (1)原式==1-1=0.
(2)原式=-1+2×.
(3)原式=2×.
(4)原式=2×.
5.B 1 000×(1.025-cos 30°)=1 000×≈159(J),故选B.
6.解析 过E作EF⊥AC于F.
设CF=x,则AF=2-x,
在Rt△CEF中,∠ECF=30°,
tan∠ECF=,
∴EF=CF·tan 30°=x.
在Rt△AEF中,∠EAF=45°,则EF=AF=2-x,
∴x=2-x,解得x=3-,即CF=3-.
在Rt△CEF中,cos∠ECF=,
∴CE=-2.
能力提升全练
7.4.4 m
解析 根据图形可知AD∥CP,
∴∠ADB=∠DPC=30°,
在Rt△ABD中,∠ADB=30°,AD=0.8 m,
∴AB=AD×tan∠ADB=0.8×≈0.46(m).
∵AB=0.46 m,AF=2 m,CF=1 m,∴BC=2.54 m,
在Rt△BCP中,∠BPC=30°,BC=2.54 m,
∴CP=≈4.4 m.
8.(30-5)
解析 如图,过点E作EM⊥过点B的水平线于M,过点F作FN⊥过点B的水平线于N,
由题意可知CM=DN=AB=30米,又∵CE=15米,∴EM=15米,在Rt△EBM中,∠EBM=45°,∴BM=EM=15米,又∵A是CD的中点,
∴BN=AD=AC=BM=15米,在Rt△BFN中,tan∠FBN=,
∵∠FBN=30°,BN=15米,∴米,∴DF=(30-5)米.
故答案为(30-5).
9.解析 过点B作BM⊥FD于点M,如图.
在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°,BC=AC×tan 60°=10.
∵AB∥CF,∴∠BCM=∠ABC=30°,
∴BM=BC×sin 30°=10,
CM=BC×cos 30°=10=15.
在Rt△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,
∴∠EDF=45°,
∴MD=BM=5,
∴CD=CM-MD=15-5.
素养探究全练
10.C 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=45°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°,
设AC=BC=1,则AB=BD=,
∴tan 22.5°=-1,故选C.
11.解析 (1)cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=.
(2)tan 75°=.
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第一章 直角三角形的边角关系
2 30°,45°,60°角的三角函数值
基础过关全练
知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
1.(2023湖南永州零陵模拟)下列求三角函数值,正确的是 ( )
A.sin 30°= B.cos 30°=
C.sin 60°= D.tan 30°=
2.(2023北京一零一中学月考)在△ABC中,若∠A,∠B均为锐角,且+(1-tan B)2=0,则∠C的度数是( )
A.45° B.60° C.75° D.105°
3.下列计算错误的个数是( )
①sin 60°-sin 30°=sin 30°;②sin245°+cos245°=1;
③tan260°=;④tan 30°=.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(1)(2023浙江金华婺城模拟)计算:sin 30°+cos 60°-cos 45°;
(2)(2023安徽宁国期末)计算:(-1)2 023+2sin 45°-cos 30°+sin 60°+tan260°;
(3)计算:2sin260°-cos 45°tan 45°;
(4)(2023山东烟台期末)计算:2cos 30°-.
知识点2 利用特殊角的三角函数值解决实际问题
5.(2023广东深圳中考)爬坡时坡面与水平面夹角为α,则每爬1 m耗能(1.025-cos α)J,如图,若某人爬了1 000 m,该坡角为30°,则他耗能(参考数据:≈1.732,≈1.414)( )
A.58 J B.159 J C.1 025 J D.1 732 J
6.【新独家原创】【方程思想】数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等,于是,小陆同学提出一个问题:
将一副三角板按如图所示的方式放置,若AD与BC交于E,AC=2,求CE长.
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
能力提升全练
7.(2022山东泰安中考,16,★★☆)如图,某一时刻太阳光从窗户射入房间内,与地面的夹角∠DPC=30°,已知窗户的高度AF=2 m,窗台的高度CF=1 m,窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8 m,则CP的长度为 (结果精确到0.1 m)
8.(2023湖北孝感中考,14,★★☆)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15米,则尚美楼高度DF为 米.(结果保留根号)
9.(2022河南商丘宁陵清华园学校月考,23,★★☆) 一副直角三角板按如图所示的方式放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.
素养探究全练
10.【应用意识】【数形结合思想】(2023湖北武汉青山模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算tan 15°时,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan 15°=,类比这种方法,则tan 22.5°的值为( )
A.
11.【应用意识】当我们进入高中以后,将会学到如下三角函数公式:
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.
例:sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=.
(1)请仿照例题,求cos 75°的值;(结果保留根号)
(2)利用tan α=,试求tan 75°的值.(结果保留根号)
答案全解全析
基础过关全练
1.A 根据特殊角的三角函数值,逐项分析判断即可求解.
选项A,sin 30°=,故该选项正确,符合题意;
选项B,cos 30°=,故该选项不正确,不符合题意;
选项C,sin 60°=,故该选项不正确,不符合题意;
选项D,tan 30°=,故该选项不正确,不符合题意.
故选A.
2.C ∵∠A,∠B均为锐角,且+(1-tan B)2=0,∴sin A-=0且1-tan B=0,∴sin A=,tan B=1,∴∠A=60°,∠B=45°,∴∠C=180°-∠A-∠B=75°,故选C.
3.C sin 60°-sin 30°=,sin 30°=,故①错误;sin245°+cos245°==1,故②正确;tan260°=()2=3,故③错误;tan 30°=,故④错误.综上所述,计算错误的有①③④,共3个,故选C.
4.解析 (1)原式==1-1=0.
(2)原式=-1+2×.
(3)原式=2×.
(4)原式=2×.
5.B 1 000×(1.025-cos 30°)=1 000×≈159(J),故选B.
6.解析 过E作EF⊥AC于F.
设CF=x,则AF=2-x,
在Rt△CEF中,∠ECF=30°,
tan∠ECF=,
∴EF=CF·tan 30°=x.
在Rt△AEF中,∠EAF=45°,则EF=AF=2-x,
∴x=2-x,解得x=3-,即CF=3-.
在Rt△CEF中,cos∠ECF=,
∴CE=-2.
能力提升全练
7.4.4 m
解析 根据图形可知AD∥CP,
∴∠ADB=∠DPC=30°,
在Rt△ABD中,∠ADB=30°,AD=0.8 m,
∴AB=AD×tan∠ADB=0.8×≈0.46(m).
∵AB=0.46 m,AF=2 m,CF=1 m,∴BC=2.54 m,
在Rt△BCP中,∠BPC=30°,BC=2.54 m,
∴CP=≈4.4 m.
8.(30-5)
解析 如图,过点E作EM⊥过点B的水平线于M,过点F作FN⊥过点B的水平线于N,
由题意可知CM=DN=AB=30米,又∵CE=15米,∴EM=15米,在Rt△EBM中,∠EBM=45°,∴BM=EM=15米,又∵A是CD的中点,
∴BN=AD=AC=BM=15米,在Rt△BFN中,tan∠FBN=,
∵∠FBN=30°,BN=15米,∴米,∴DF=(30-5)米.
故答案为(30-5).
9.解析 过点B作BM⊥FD于点M,如图.
在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°,BC=AC×tan 60°=10.
∵AB∥CF,∴∠BCM=∠ABC=30°,
∴BM=BC×sin 30°=10,
CM=BC×cos 30°=10=15.
在Rt△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,
∴∠EDF=45°,
∴MD=BM=5,
∴CD=CM-MD=15-5.
素养探究全练
10.C 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=45°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°,
设AC=BC=1,则AB=BD=,
∴tan 22.5°=-1,故选C.
11.解析 (1)cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=.
(2)tan 75°=.
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