2024北师大版数学九年级下学期课时练--2.4二次函数的应用同步练习（含解析）

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2024北师大版数学九年级下学期
第二章　二次函数
4　二次函数的应用
基础过关全练
知识点1　利用二次函数解决最大(小)面积问题
1.(2022江苏镇江一模)如图,在长为20 m、宽为14 m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径,若小径的宽不超过1 m,则花圃中的阴影部分有(　　)
A.最小面积,为247 m2　　　　B.最小面积,为266 m2
C.最大面积,为247 m2　　　　D.最大面积,为266 m2
2.【教材变式·P47T2】【新课标例71变式】(2023天津中考)如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边长的和为40 m.有下列结论:
①AB的长可以为6 m;
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;
③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.
其中,正确结论的个数是(　　)
A.0　　　　　　B.1　　　　　　C.2　　　　　　D.3
3.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动.已知P,Q分别从A,B同时出发,求△PBQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数表达式,并求出t为何值时,△PBQ的面积最大,最大面积是多少
知识点2　利用二次函数解决销售中的最大利润问题
4.(2023陕西师大附中模拟)农特产品展销推荐会在杨凌举行.某农户销售一种商品,每千克成本价为40元.已知每千克售价不低于成本价,不超过80元.经调查,当每千克售价为50元时,每天的销量为100千克,且每千克售价每上涨1元,每天的销量就减少2千克.为使每天的销售利润最大,每千克的售价应定为(　　)
A.20元　　　　　B.60元　　　　　C.70元　　　　　D.80元
5.(2023湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田中考)某商店销售某种商品的进价为每件30元,这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表:
时间:第x天
1≤x≤30 31≤x≤60
日销售价(元/件) 0.5x+35 50
日销售量(件) 124-2x
(1≤x≤60,x为整数)
设该商品的日销售利润为w元.
(1)直接写出w与x的函数关系式:　　　　;
(2)该商品在第几天的日销售利润最大 最大日销售利润是多少
6.(2023江苏无锡中考)某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售,销售价格不低于22元/kg,不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)当销售价格定为多少时,该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大 最大销售利润是多少 【销售利润=(销售价格-采购价格)×销售量】
知识点3　利用二次函数解决抛物线形问题
7.(2023湖北宜昌中考)如图,一名学生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-(x-10)(x+4),则铅球推出的距离OA=　　　　m.
8.(2023山东滨州中考)某广场要建一个圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m,那么水管的设计高度应为　　　　.
9.(2022浙江台州仙居月考)有一个抛物线形的桥洞,桥洞离水面的最大高度为4米,跨度为12米.现将它放在如图所示的直角坐标系中.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)一艘宽为4米,高出水面3米的货船能否从此桥洞通过
能力提升全练
10.(2023河北衡水模拟,16,★★☆)某池塘的截面如图所示,池底呈抛物线形,在图中建立平面直角坐标系,并标出相关数据(单位:m).某学习小组探究之后得出如下结论,其中正确的为(　　)
A.AB=24 m
B.池底所在抛物线的解析式为y=x2-5
C.池塘最深处到水面CD的距离为3.2 m
D.若池塘中水面的宽度减少为原来的一半,则最深处到水面的距离减少为原来的
11.【新素材】(2023吉林长春中考,14,★★☆)2023年5月28日,C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场,穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”,是国际民航中高级别的礼仪).如图1,在一次“水门礼”的预演中,两辆消防车面向飞机喷射水柱,喷射的两条水柱近似看做形状相同的抛物线的一部分.如图2,当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时,两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面20米,喷水口A、B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米,两条水柱的形状及喷水口A'、B'到地面的距离均保持不变,则此时两条水柱相遇点H'距地面　　　　米.
　
图1 图2
12.【新考向·实践探究题】(2023广东深圳中考节选,21,★★☆)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构,它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架,上面覆上一层或多层保温塑料膜,这样就形成了一个温室空间.
如图1,某个温室大棚的横截面可以看做由矩形ABCD和抛物线AD构成,其中AB=3 m,BC=4 m,取BC的中点O,过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AD于点E,以O点为原点,BC所在直线为x轴,OE为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
请回答下列问题:
(1)如图2,抛物线AD的顶点E的坐标为(0,4),求抛物线的解析式;
(2)如图3,为了保证蔬菜大棚的通风性,该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT,SMNR,若FL=NR=0.75 m,求两个正方形装置的间距GM.
　　
图1 图2 图3
13.(2023山西大同云冈月考,20,★★☆)小明家在菜地上搭建了蔬菜温室大棚,其截面顶部为抛物线,大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处,另一端固定在离地面高2米的墙体B处,现对截面建立如图所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y(米)与其离墙体OA的水平距离x(米)之间满足y=-x2+bx+c,现测得两墙体之间的水平距离为6米.
(1)直接写出点A和点B的坐标,并求b和c的值;
(2)求大棚的最高处到地面的距离.
14.【跨学科·体育与健康】(2023河南中考,22,★★☆)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析.
如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,击球点P在y轴上.若选择扣球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8;若选择吊球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x-1)2+3.2.
(1)求点P的坐标和a的值;
(2)小林分析发现,上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式.
素养探究全练
15.【应用意识】【新考向·方案设计题】(2022湖南湘潭中考)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙,围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:
(1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1 m的水池且需保证总种植面积为32 m2,试分别确定CG、DG的长;
(2)方案二:如图②,若围成的Ⅰ、Ⅱ两块矩形的总种植面积最大,则BC应设计为多长 此时最大面积为多少
图① 图②
16.【应用意识】(2023内蒙古锡林郭勒中考)随着科技的发展,扫地机器人(图1)已广泛应用于生活中.某公司推出一款新型扫地机器人,经统计该产品2022年每个月的销售情况发现,每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022年第x(x为整数)个月每台的销售价格为y(单位:元),y与x的函数关系如图2所示(图中ABC为一折线).
(1)当1≤x≤10时,求每台的销售价格y与x之间的函数关系式;
(2)设该产品2022年第x个月的销售数量为m(单位:万台),m与x的关系可以用m=x+1来描述,求哪个月的销售收入最多,最多为多少万元 (销售收入=每台的销售价格×销售数量)
　
图1 图2
答案全解全析
基础过关全练
1.A　设阴影部分的面积为y m2,小径的宽为x m,
则y=(20-x)(14-x)=x2-34x+280=(x-17)2-9,
∵0∴当x=1时,y有最小值,此时y=(1-17)2-9=247.故选A.
2.C　设AD的长为x m,则AB的长为 m.当AB=6 m时,有=6,解得x=28,∵AD的长不能超过26 m,∴x≤26,故①不正确;
若菜园ABCD的面积为192 m2,则x·=192,整理得x2-40x+384=0,解得x=24或x=16,∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2,故②正确;
设矩形菜园的面积为y m2,根据题意得y=x·
<0,20<26,∴当x=20时,y有最大值,最大值为200,故③正确.
∴正确的结论有2个,故选C.
3.解析　由题意可知BP=(12-2t)mm,BQ=4t mm.
∴S=BP·BQ=(12-2t)·4t,
整理,得S=-4t2+24t,易知0∵S=-4t2+24t=-4(t-3)2+36,
∴当t=3时,S取得最大值,为36.
故△PBQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数表达式为S=
-4t2+24t(0当t=3时,△PBQ的面积最大,最大面积是36 mm2.
4.C　设每千克的售价定为x元,每天的销售利润为y元,根据题意得y=(x-40)[100-2(x-50)]=-2x2+280x-8 000=-2(x-70)2+1 800,因为-2<0,所以当x=70时,y有最大值,故为使每天的销售利润最大,每千克的售价应定为70元,故选C.
5.解析　(1)w=
详解:当1≤x≤30时,w=(0.5x+35-30)(-2x+124)=-x2+52x+620,当31≤x≤60时,w=(50-30)(-2x+124)=-40x+2 480,∴w与x的函数关系式为w=
(2)当1≤x≤30时,w=-x2+52x+620=-(x-26)2+1 296,∵-1<0,∴当x=26时,w有最大值,最大值为1 296;当31≤x≤60时,w=-40x+2 480,∵-40<0,∴当x=31时,w有最大值,最大值为-40×31+2 480=1 240.
∵1 296>1 240,∴该商品在第26天的日销售利润最大,最大日销售利润是1 296元.
6.解析　(1)当22≤x≤30时,设函数表达式为y=kx+b,将(22,48),(30,40)代入表达式得∴函数表达式为y=-x+70;当30(2)设利润为w元,
当22≤x≤30时,w=(x-20)(-x+70)=-x2+90x-1 400=-(x-45)2+625,
∵在22≤x≤30范围内,w随着x的增大而增大,
∴当x=30时,w取得最大值,为400;
当30当x=35时,w取得最大值,为450.
∵450>400,∴当销售价格为35元/kg时,利润最大,为450元.
7.10
解析　令y=0,则-(x-10)(x+4)=0,解得x=10或x=-4(不合题意,舍去),∴A(10,0),∴OA=10 m.故答案为10.
8. m
解析　如图,由题意可知点(1,3)是抛物线的顶点,∴设这段抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3.∵该抛物线过点(3,0),∴0=a(3-1)2+3,解得a=-
(x-1)2+3.∵当x=0时,y=-,∴水管的设计高度应为 m.故答案为 m.
9.解析　(1)由图象可知抛物线的顶点坐标为(6,4),过点(12,0),
∴设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+4,
则0=a(12-6)2+4,解得a=-,
即这条抛物线的解析式为y=-(x-6)2+4.
(2)当x=×(12-4)=4时,y=->3,
∴货船能通过此桥洞.
能力提升全练
10.C　设池底所在抛物线的解析式为y=ax2-5,将抛物线上点A(-15,0)的坐标代入抛物线的解析式中得225a-5=0,解得a=,所以抛物线的解析式为y=x2-5.选项A中,AB=15-(-15)=30(m),故选项A错误,该选项不符合题意;选项B中,解析式为y=x2-5,故选项B错误,该选项不符合题意;选项C中,池塘最深处为点P(0,-5),yC=×(-12)2-5=-1.8,-1.8-
(-5)=3.2(m),所以池塘最深处到水面CD的距离为3.2 m,故选项C正确,该选项符合题意;选项D中,当池塘中水面的宽度减少为原来的一半,即水面宽度为12 m时,将x=6代入y=x2-5得y=-4.2,-4.2-(-5)
=0.8(m),则最深处到水面的距离减少为原来的,故选项D错误,该选项不符合题意.故选C.
11.19
解析　以地面为x轴,向右为正方向,以HH'所在直线为y轴,向上为正方向建立平面直角坐标系.由题意可知A(-40,4),B(40,4),H(0,20),设点A所在抛物线的解析式为y=ax2+20,将A(-40,4)代入解析式得4=
1 600a+20,解得a=-+20,由两辆消防车同时后退10米,可知点A'所在抛物线可由抛物线y=-+20向左平移10个单位得到,则点A'所在抛物线的解析式为y=-+20,令x=0,解得y=19,故点H'的坐标为(0,19),故点H'距地面19米,故答案为19.
12.解析　(1)由题意可得A(-2,3),∵E(0,4),
∴设抛物线的解析式为y=ax2+4,
将A点坐标代入解析式,得4a+4=3,解得a=-,
∴抛物线的解析式为y=-x2+4.
(2)设G(-t,3),则L,
∴3++4,
解得t=(负值舍去),
∴GM=2× m.
故两个正方形装置的间距GM为 m.
13.解析　(1)根据题意可得点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(6,2),将这两点的坐标代入y=-x2+bx+c,得
∴点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(6,2),b=,c=1.
(2)由(1)得抛物线的解析式为y=-,可知当x=时,y有最大值,
∴大棚最高处到地面的距离为 米.
14.解析　(1)在y=-0.4x+2.8中,令x=0得y=2.8,
∴点P的坐标为(0,2.8).
把P(0,2.8)代入y=a(x-1)2+3.2得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴a的值是-0.4.
(2)∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=5 m,∴C(5,0),
在y=-0.4x+2.8中,令y=0得x=7,
在y=-0.4(x-1)2+3.2中,令y=0得x=-2+1(舍去)或x=2+1≈3.83,
∵|7-5|>|3.83-5|,∴选择吊球方式,球的落地点到C点的距离更近.
素养探究全练
15.解析　(1)∵(21-12)÷3=3(m),
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积和为12×3=36(m2),
设水池的长为a m,则水池的面积为a×1=a(m2),
∴36-a=32,解得a=4,∴DG=4 m,
∴CG=CD-DG=12-4=8(m),
∴CG的长为8 m,DG的长为4 m.
(2)设BC的长为x m,总种植面积为y m2,则CD的长为(21-3x)m,
∴y=x(21-3x)=-3(x2-7x)=-3,
∵-3<0,∴当x=时,y有最大值,为,
∴当BC的长设计为 m时,总种植面积最大,此时最大面积为 m2.
16.解析　(1)当1≤x≤10时,设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),∵图象过A(1,2 850),B(10,1 500)两点,
∴
∴当1≤x≤10时,每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=
-150x+3 000.
(2)设销售收入为w万元,
①当1≤x≤10时,w=(-150x+3 000)=-15(x-5)2+3 375,
∵-15<0,∴当x=5时,w取得最大值,最大值为3 375;
②当10∵150>0,∴w随x的增大而增大,∴当x=12时,w取得最大值,最大值为150×12+1 500=3 300.
∵3 375>3 300,∴第5个月的销售收入最多,最多为3 375万元.
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