2024北师大版数学九年级下学期课时练--3.4 圆周角和圆心角的关系同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024北师大版数学九年级下学期课时练--3.4 圆周角和圆心角的关系同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-28 17:31:25 | ||
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文档简介
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2024北师大版数学九年级下学期
第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
基础过关全练
知识点1 圆周角的定义及圆周角定理
1.下列图形中,∠BAC为圆周角的是( )
2.【教材变式·P80随堂练习T1】(2023河南中考)如图,点A,B,C在☉O上,若∠C=55°,则∠AOB的度数为=( )
A.95° B.100° C.105° D.110°
3.(2023广西钦州期末)如图,E,F,G为圆上的三点,∠FEG=50°,P点可能是圆心的是( )
A B C D
4.(2023山东烟台中考)如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则
∠BAD的度数为 .
5.【易错题】☉O的直径为8 cm,弦AB的长为4 cm,则AB所对的圆周角的度数为 .
知识点2 圆周角定理的推论
6.(2022广西贵港中考)如图,AC是☉O的直径,点P在☉O上,若
∠ACB=40°,则∠BPC的度数是( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
7.如图,在平面直角坐标系中,圆P经过点A(0,)、O(0,0)、B(1,0),点C在第一象限内的上,则∠BCO的度数为( )
A.60° B.45° C.30° D.15°
8.(2023广东深圳中考)如图,在☉O中,AB为直径,C为圆上一点,
∠BAC的平分线与☉O交于点D,若∠ADC=20°,则∠BAD= °.
9.(2020浙江衢州中考)如图,△ABC的三个顶点在☉O上,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AD的中点.
(1)求证:∠CAD=∠CBA;
(2)求OE的长.
10.【一题多解】如图,AB是☉O的直径,C是弧AE的中点,CD⊥AB于点D,交AE于点F,连接AC,求证:AF=CF.
知识点3 圆内接四边形
11.【教材变式·P83习题3.5T1】(2022湖北宜昌中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,BD,若∠C=110°,则∠OBD=( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
12.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB=AD,E是上一点.
(1)若∠C=110°,求∠E的度数;
(2)若∠E=∠C,求证:△ABD为等边三角形.
能力提升全练
13.(2023辽宁营口中考,9,★★☆)如图所示,AD是☉O的直径,弦BC交AD于点E,连接AB,AC,若∠BAD=30°,则∠ACB的度数是( )
A.50° B.40° C.70° D.60°
14.(2023广东佛山四中质检,9,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,☉D经过A,B,O,C四点,∠ACO=120°,AB=4,则圆心点D的坐标是( )
A.(,1)
C.(-1,)
15.(2021内蒙古赤峰中考,10,★★☆)如图,点C,D在以AB为直径的半圆上,且∠ADC=120°,点E是上任意一点,连接BE、CE,则
∠BEC的度数为( )
A.20° B.30°
C.40° D.60°
16.【真实情境】(2023湖南郴州中考,15,★★☆)如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台.
17.(2022山东威海中考,20,★★☆)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AC,BD,延长CD至点E
(1)若AB=AC,求证:∠ADB=∠ADE;
(2)若BC=3,☉O的半径为2,求sin∠BAC的值.
18.(2023四川成都中考,17,★★☆)如图,以△ABC的边AC为直径作☉O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB交☉O于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE.
(1)求证:AC=BC;
(2)若tan B=2,CD=3,求AB和DE的长.
素养探究全练
19.【抽象能力】【数学文化】(2022河南洛阳涧西一模)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,已知,点P是弦AB上一点,请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.
(1)请按要求尺规作图:
①作线段AP的垂直平分线CD,交于点C,交AP于点D,连接AC,CP;
②以点C为圆心,CA长为半径作弧,交于点E(E,A两点不重合),连接CE,BE,BC.
(2)猜想线段BP,BE的数量关系,并证明.
20.【推理能力】【新考向·新定义型试题】(2023江苏盐城大丰月考)定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.如图1,∠E是△ABC中∠A的遥望角,如图2,四边形ABCD内接于☉O,,四边形ABCD的外角平分线DF交☉O于点F,连接BF并延长交CD的延长线于点E.求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望
图1 图2
答案全解全析
基础过关全练
1.A 依据圆周角的概念来判断,点A必须在圆上,边AB,AC必须分别与圆还有另一个交点,故选A.
2.D ∵∠AOB=2∠C,∠C=55°,∴∠AOB=110°,故选D.
3.C 已知∠FEG=50°,若P点是圆心,则∠FPG=2∠FEG=100°.故选C.
4.52.5°
解析 设量角器的圆心是O,连接OD,OB,
∵∠BOD=155°-50°=105°,
∴∠BAD=∠BOD=52.5°.故答案为52.5°.
5.30°或150°
解析 如图,连接OA,OB,则OA=OB=4 cm=AB,∴△AOB为等边三角形,∴∠AOB=60°,当圆周角的顶点在优弧上时,可得∠ACB=∠AOB
=30°;当圆周角的顶点在劣弧上时,可得∠ADB=×(360°-60°)=150°.故AB所对的圆周角的度数为30°或150°.
易错警示 一条弦(非直径)所对的圆周角有两种可能,分别为顶点在优弧上和顶点在劣弧上.
6.C ∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,∴∠ACB+∠CAB=90°,
∵∠ACB=40°,∴∠CAB=90°-40°=50°,∴∠BPC=∠CAB=50°,故选C.
7.C 连接AB,如图,易知∠AOB=90°,
∵A(0,)、B(1,0),∴OA=,OB=1,
∴tan∠OAB=,∴∠OAB=30°,
∴∠C=∠OAB=30°.故选C.
8.35
解析 ∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∵∠ADC=20°,∴∠ABC=∠ADC=20°,∴∠BAC=90°-∠ABC=70°,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠BAC=35°,故答案为35.
9.解析 (1)证明:∵E为AD的中点,OC是半径,
∴.
∴∠CAD=∠CBA.
(2)∵AB是直径,∴∠ACB=90°.
∵E为AD的中点,OC是半径,
∴OC⊥AD.
∴∠AEC=90°.
∴∠AEC=∠ACB.
又∠CAD=∠CBA,∴△AEC∽△BCA.
∴,即.
∴CE=3.6.
∵OC=AB=5,
∴OE=OC-CE=5-3.6=1.4.
10.证明 证法一:构造“直径所对的圆周角”证明.
连接BC,如图①.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∴∠ACF+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB,∴∠B+∠BCD=90°.∴∠ACF=∠B.
∵C是的中点,∴.
∴∠B=∠CAF.∴∠ACF=∠CAF.∴AF=CF.
证法二:构造“垂径定理”的基本图形证明.
延长CD,交☉O于点H,如图②.
∵AB是直径,CD⊥AB,∴.
∵C是的中点,∴.
∴.∴∠ACH=∠CAE.∴AF=CF.
证法三:构造“垂径定理推论”的模型证明.
连接OC,交AE于G,如图③.
∵C是的中点,∴OC⊥AE.
在△AOG和△COD中,
∴△AOG≌△COD.∴∠GAO=∠DCO.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∴∠GAC=∠DCA.∴AF=CF.
图① 图② 图③
11.B ∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠A=180°-∠BCD=70°,
由圆周角定理得∠BOD=2∠A=140°,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB==20°.故选B.
12.解析 (1)∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠BAD+∠C=180°.
∵∠C=110°,∴∠BAD=70°.
∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=×(180°-70°)=55°.
∵四边形ABDE内接于☉O, ∴∠ABD+∠E=180°.
∴∠E=180°-∠ABD=125°.
(2)证明:∵∠E=∠C,∴∠BAD=∠ABD,∴AD=BD.
又∵AB=AD,∴△ABD为等边三角形.
能力提升全练
13.D 如图,连接BD,∵AD是☉O的直径,∴∠ABD=90°,
∵∠BAD=30°,∴∠ADB=90°-30°=60°,∴∠ACB=∠ADB=60°,故选D.
14.B ∵四边形ABOC为☉D的内接四边形,∴∠ABO+∠ACO=180°,∴∠ABO=180°-120°=60°,∵∠AOB=90°,∴AB为☉D的直径,在Rt△ABO中,∠ABO=60°,∴OB=,0),∴D点坐标为(-,1).故选B.
15.B 连接AC,如图,
∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∴∠ABC=180°-120°=60°,
∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=90°-60°=30°,
∴∠BEC=∠BAC=30°.故选B.
16.4
解析 ∵∠P=55°,∴∠P所对弧所对的圆心角是110°,
∵360°÷110°=3,∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台.故答案为4.
17.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠ADE=∠ABC,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ACB=∠ADB,∴∠ADB=∠ADE.
(2)如图,连接CO并延长交F☉O于点F,连接BF,
则∠FBC=90°,
在Rt△BCF中,CF=4,BC=3,
∴sin F=,
∵∠F=∠BAC,∴sin∠BAC=.
18.解析 (1)证明:∵∠ADE=∠ACE,∠ADE=∠B,∴∠B=∠ACE,
∵CE∥AB,∴∠BAC=∠ACE,∴∠B=∠BAC,∴AC=BC.
(2)如图,连接AE,
∵∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB,
∴△ADE∽△ABC,
∴,
∵AC为☉O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴tan B==2,∴AD=2BD,
∵CD=3,∴AC=BC=BD+CD=BD+3,
∵AD2+CD2=AC2,∴(2BD)2+32=(BD+3)2,
解得BD=2或BD=0(舍去),
∴AD=2BD=4,BC=2+3=5,
∴AB=,
∵.
素养探究全练
19.解析 (1)①②如图.
(2)猜想:BP=BE.
证明:∵DC垂直平分线段AP,∴CA=CP,∴∠DAC=∠DPC,
∵AC=CE,∴,∴∠CBP=∠CBE,
∵四边形ABEC为所在圆的内接四边形,∴∠CAB+∠CEB=180°.∵∠DPC+∠CPB=180°,∴∠CPB=∠CEB,
在△CEB和△CPB中,
∴△CEB≌△CPB(AAS),∴BP=BE.
20.证明 如图,延长BC到点T,
∵四边形FBCD内接于☉O,
∴∠FDC+∠FBC=180°,
∵∠FDE+∠FDC=180°,
∴∠FDE=∠FBC,
∵DF平分∠ADE,∴∠ADF=∠FDE,
∵∠ADF=∠ABF,∴∠ABF=∠FBC,
∴BE是∠ABC的平分线,
∵,∴∠ACD=∠BFD,
∵∠BFD+∠BCD=180°,∠DCT+∠BCD=180°,
∴∠DCT=∠BFD,∴∠ACD=∠DCT,
∴CE是△ABC的外角平分线,
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
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2024北师大版数学九年级下学期
第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
基础过关全练
知识点1 圆周角的定义及圆周角定理
1.下列图形中,∠BAC为圆周角的是( )
2.【教材变式·P80随堂练习T1】(2023河南中考)如图,点A,B,C在☉O上,若∠C=55°,则∠AOB的度数为=( )
A.95° B.100° C.105° D.110°
3.(2023广西钦州期末)如图,E,F,G为圆上的三点,∠FEG=50°,P点可能是圆心的是( )
A B C D
4.(2023山东烟台中考)如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则
∠BAD的度数为 .
5.【易错题】☉O的直径为8 cm,弦AB的长为4 cm,则AB所对的圆周角的度数为 .
知识点2 圆周角定理的推论
6.(2022广西贵港中考)如图,AC是☉O的直径,点P在☉O上,若
∠ACB=40°,则∠BPC的度数是( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
7.如图,在平面直角坐标系中,圆P经过点A(0,)、O(0,0)、B(1,0),点C在第一象限内的上,则∠BCO的度数为( )
A.60° B.45° C.30° D.15°
8.(2023广东深圳中考)如图,在☉O中,AB为直径,C为圆上一点,
∠BAC的平分线与☉O交于点D,若∠ADC=20°,则∠BAD= °.
9.(2020浙江衢州中考)如图,△ABC的三个顶点在☉O上,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AD的中点.
(1)求证:∠CAD=∠CBA;
(2)求OE的长.
10.【一题多解】如图,AB是☉O的直径,C是弧AE的中点,CD⊥AB于点D,交AE于点F,连接AC,求证:AF=CF.
知识点3 圆内接四边形
11.【教材变式·P83习题3.5T1】(2022湖北宜昌中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,BD,若∠C=110°,则∠OBD=( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
12.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB=AD,E是上一点.
(1)若∠C=110°,求∠E的度数;
(2)若∠E=∠C,求证:△ABD为等边三角形.
能力提升全练
13.(2023辽宁营口中考,9,★★☆)如图所示,AD是☉O的直径,弦BC交AD于点E,连接AB,AC,若∠BAD=30°,则∠ACB的度数是( )
A.50° B.40° C.70° D.60°
14.(2023广东佛山四中质检,9,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,☉D经过A,B,O,C四点,∠ACO=120°,AB=4,则圆心点D的坐标是( )
A.(,1)
C.(-1,)
15.(2021内蒙古赤峰中考,10,★★☆)如图,点C,D在以AB为直径的半圆上,且∠ADC=120°,点E是上任意一点,连接BE、CE,则
∠BEC的度数为( )
A.20° B.30°
C.40° D.60°
16.【真实情境】(2023湖南郴州中考,15,★★☆)如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台.
17.(2022山东威海中考,20,★★☆)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AC,BD,延长CD至点E
(1)若AB=AC,求证:∠ADB=∠ADE;
(2)若BC=3,☉O的半径为2,求sin∠BAC的值.
18.(2023四川成都中考,17,★★☆)如图,以△ABC的边AC为直径作☉O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB交☉O于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE.
(1)求证:AC=BC;
(2)若tan B=2,CD=3,求AB和DE的长.
素养探究全练
19.【抽象能力】【数学文化】(2022河南洛阳涧西一模)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,已知,点P是弦AB上一点,请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.
(1)请按要求尺规作图:
①作线段AP的垂直平分线CD,交于点C,交AP于点D,连接AC,CP;
②以点C为圆心,CA长为半径作弧,交于点E(E,A两点不重合),连接CE,BE,BC.
(2)猜想线段BP,BE的数量关系,并证明.
20.【推理能力】【新考向·新定义型试题】(2023江苏盐城大丰月考)定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.如图1,∠E是△ABC中∠A的遥望角,如图2,四边形ABCD内接于☉O,,四边形ABCD的外角平分线DF交☉O于点F,连接BF并延长交CD的延长线于点E.求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望
图1 图2
答案全解全析
基础过关全练
1.A 依据圆周角的概念来判断,点A必须在圆上,边AB,AC必须分别与圆还有另一个交点,故选A.
2.D ∵∠AOB=2∠C,∠C=55°,∴∠AOB=110°,故选D.
3.C 已知∠FEG=50°,若P点是圆心,则∠FPG=2∠FEG=100°.故选C.
4.52.5°
解析 设量角器的圆心是O,连接OD,OB,
∵∠BOD=155°-50°=105°,
∴∠BAD=∠BOD=52.5°.故答案为52.5°.
5.30°或150°
解析 如图,连接OA,OB,则OA=OB=4 cm=AB,∴△AOB为等边三角形,∴∠AOB=60°,当圆周角的顶点在优弧上时,可得∠ACB=∠AOB
=30°;当圆周角的顶点在劣弧上时,可得∠ADB=×(360°-60°)=150°.故AB所对的圆周角的度数为30°或150°.
易错警示 一条弦(非直径)所对的圆周角有两种可能,分别为顶点在优弧上和顶点在劣弧上.
6.C ∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,∴∠ACB+∠CAB=90°,
∵∠ACB=40°,∴∠CAB=90°-40°=50°,∴∠BPC=∠CAB=50°,故选C.
7.C 连接AB,如图,易知∠AOB=90°,
∵A(0,)、B(1,0),∴OA=,OB=1,
∴tan∠OAB=,∴∠OAB=30°,
∴∠C=∠OAB=30°.故选C.
8.35
解析 ∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∵∠ADC=20°,∴∠ABC=∠ADC=20°,∴∠BAC=90°-∠ABC=70°,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠BAC=35°,故答案为35.
9.解析 (1)证明:∵E为AD的中点,OC是半径,
∴.
∴∠CAD=∠CBA.
(2)∵AB是直径,∴∠ACB=90°.
∵E为AD的中点,OC是半径,
∴OC⊥AD.
∴∠AEC=90°.
∴∠AEC=∠ACB.
又∠CAD=∠CBA,∴△AEC∽△BCA.
∴,即.
∴CE=3.6.
∵OC=AB=5,
∴OE=OC-CE=5-3.6=1.4.
10.证明 证法一:构造“直径所对的圆周角”证明.
连接BC,如图①.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∴∠ACF+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB,∴∠B+∠BCD=90°.∴∠ACF=∠B.
∵C是的中点,∴.
∴∠B=∠CAF.∴∠ACF=∠CAF.∴AF=CF.
证法二:构造“垂径定理”的基本图形证明.
延长CD,交☉O于点H,如图②.
∵AB是直径,CD⊥AB,∴.
∵C是的中点,∴.
∴.∴∠ACH=∠CAE.∴AF=CF.
证法三:构造“垂径定理推论”的模型证明.
连接OC,交AE于G,如图③.
∵C是的中点,∴OC⊥AE.
在△AOG和△COD中,
∴△AOG≌△COD.∴∠GAO=∠DCO.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∴∠GAC=∠DCA.∴AF=CF.
图① 图② 图③
11.B ∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠A=180°-∠BCD=70°,
由圆周角定理得∠BOD=2∠A=140°,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB==20°.故选B.
12.解析 (1)∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠BAD+∠C=180°.
∵∠C=110°,∴∠BAD=70°.
∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=×(180°-70°)=55°.
∵四边形ABDE内接于☉O, ∴∠ABD+∠E=180°.
∴∠E=180°-∠ABD=125°.
(2)证明:∵∠E=∠C,∴∠BAD=∠ABD,∴AD=BD.
又∵AB=AD,∴△ABD为等边三角形.
能力提升全练
13.D 如图,连接BD,∵AD是☉O的直径,∴∠ABD=90°,
∵∠BAD=30°,∴∠ADB=90°-30°=60°,∴∠ACB=∠ADB=60°,故选D.
14.B ∵四边形ABOC为☉D的内接四边形,∴∠ABO+∠ACO=180°,∴∠ABO=180°-120°=60°,∵∠AOB=90°,∴AB为☉D的直径,在Rt△ABO中,∠ABO=60°,∴OB=,0),∴D点坐标为(-,1).故选B.
15.B 连接AC,如图,
∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∴∠ABC=180°-120°=60°,
∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=90°-60°=30°,
∴∠BEC=∠BAC=30°.故选B.
16.4
解析 ∵∠P=55°,∴∠P所对弧所对的圆心角是110°,
∵360°÷110°=3,∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台.故答案为4.
17.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠ADE=∠ABC,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ACB=∠ADB,∴∠ADB=∠ADE.
(2)如图,连接CO并延长交F☉O于点F,连接BF,
则∠FBC=90°,
在Rt△BCF中,CF=4,BC=3,
∴sin F=,
∵∠F=∠BAC,∴sin∠BAC=.
18.解析 (1)证明:∵∠ADE=∠ACE,∠ADE=∠B,∴∠B=∠ACE,
∵CE∥AB,∴∠BAC=∠ACE,∴∠B=∠BAC,∴AC=BC.
(2)如图,连接AE,
∵∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB,
∴△ADE∽△ABC,
∴,
∵AC为☉O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴tan B==2,∴AD=2BD,
∵CD=3,∴AC=BC=BD+CD=BD+3,
∵AD2+CD2=AC2,∴(2BD)2+32=(BD+3)2,
解得BD=2或BD=0(舍去),
∴AD=2BD=4,BC=2+3=5,
∴AB=,
∵.
素养探究全练
19.解析 (1)①②如图.
(2)猜想:BP=BE.
证明:∵DC垂直平分线段AP,∴CA=CP,∴∠DAC=∠DPC,
∵AC=CE,∴,∴∠CBP=∠CBE,
∵四边形ABEC为所在圆的内接四边形,∴∠CAB+∠CEB=180°.∵∠DPC+∠CPB=180°,∴∠CPB=∠CEB,
在△CEB和△CPB中,
∴△CEB≌△CPB(AAS),∴BP=BE.
20.证明 如图,延长BC到点T,
∵四边形FBCD内接于☉O,
∴∠FDC+∠FBC=180°,
∵∠FDE+∠FDC=180°,
∴∠FDE=∠FBC,
∵DF平分∠ADE,∴∠ADF=∠FDE,
∵∠ADF=∠ABF,∴∠ABF=∠FBC,
∴BE是∠ABC的平分线,
∵,∴∠ACD=∠BFD,
∵∠BFD+∠BCD=180°,∠DCT+∠BCD=180°,
∴∠DCT=∠BFD,∴∠ACD=∠DCT,
∴CE是△ABC的外角平分线,
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
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