2024北师大版数学九年级下学期课时练--1.6 利用三角函数测高同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024北师大版数学九年级下学期课时练--1.6 利用三角函数测高同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-28 17:36:44 | ||
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文档简介
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2024北师大版数学九年级下学期
第一章 直角三角形的边角关系
6 利用三角函数测高
基础过关全练
知识点1 测量底部可以到达的物体的高度
1.(2023湖南岳阳中考)2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如图,某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°,仪器与气球的水平距离BC为20米,且距地面高度AB为1.5米,则气球顶部离地面的高度EC是 米(结果精确到0.1米,sin 21.8°≈0.371 4,cos 21.8°≈0.928 5,tan 21.8°≈0.400 0).
2.【新独家原创】如图,当云梯AB与地面的倾斜角为45°时,刚好可以安装高为4 m处的二楼室外机空调,若云梯可延伸到原来的2倍,云梯与地面的倾斜角为60°,这时是否可以安装高为9.5 m处的四楼的室外机空调 (≈2.449,≈1.414,≈1.732)
知识点2 测量底部不可以到达的物体的高度
3.【革命文化】(2023湖南永州中考)永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米(如图1所示),寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁.如图2,以线段AB代表陈树湘雕像,一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照,相机支架CD高0.9米,在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°,然后将相机支架移到MN处拍照,在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°,求D、N两点间的距离(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.732).
图1 图2
4.【国家安全】(2021四川攀枝花中考改编)自2021年2月1日起,旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施.中国海警在某岛海域开展巡航执法活动,是中方依法维护主权的正当举措.如图,若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米,测得岛礁顶端A的仰角为30.96°,以及该斜坡AC的坡度i=,求该岛礁的高(即点A到海平面的铅垂高度).
(结果保留整数,参考数据:sin 30.96°≈0.51,cos 30.96°≈0.86,tan 30.96°≈0.60)
能力提升全练
5.(2021重庆中考B卷,10,★★☆)如图,在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡,斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,坡顶D到BC的垂直距离DE=50米(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19)( )
A.69.2米 B.73.1米 C.80.0米 D.85.7米
6.【中华优秀传统文化】(2023甘肃兰州中考,22,★★☆)图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”,“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造,如巨龙腾空,气势如虹,屹立在黄河北岸.某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动,具体过程如下:如图2,“龙”字雕塑CD位于垂直于地面的基座BC上,在平行于水平地面的A处测得∠BAC=38°,∠BAD=53°,AB=18 m.求“龙”字雕塑CD的高度.(B,C,D三点共线,BD⊥AB,结果精确到0.1 m)(参考数据:
sin 38°≈0.62,cos 38°≈0.79,tan 38°≈0.78,sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,
tan 53°≈1.33)
图1 图2
7.(2023安徽中考,19,★★☆)如图,O,R是同一水平线上的两点,无人机从O点竖直上升到A点时,测得A点到R点的距离为40 m,R点的俯角为24.2°,无人机继续竖直上升到B点,测得R点的俯角为36.9°,求无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1 m).
参考数据:sin 24.2°≈0.41,cos 24.2°≈0.91,tan 24.2°≈0.45,sin 36.9°≈0.60,
cos 36.9°≈0.80,tan 36.9°≈0.75.
8.【方程思想】(2023陕西中考,21,★★☆)一天晚上,小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯(灯杆底部不可到达)的高AB.如图所示,当小明爸爸站在点D处时,他在该景观灯照射下的影子长为DF,测得DF=2.4 m;当小明站在爸爸影子的顶端F处时,测得点A的仰角α为26.6°.已知爸爸的身高CD=1.8 m,小明眼睛到地面的距离EF=1.6 m,点F、D、B在同一条直线上,EF⊥FB,CD⊥FB,AB⊥FB.求该景观灯的高AB.(参考数据:sin 26.6°≈0.45,cos 26.6°≈0.89,tan 26.6°≈0.50)
9.(2023四川内江中考,20,★★☆)某中学依山而建,校门A处有一坡角α=30°的斜坡AB,长度为30米,在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°,离B点4米远的E处有一个花台,在E处测得C的仰角∠CEF=60°,CF的延长线交水平线AM于点D,求DC的长(结果保留根号).
素养探究全练
10.【模型观念】【新考向·实践探究题】(2023天津中考)综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度.如图,塔AB前有一座高为DE的观景台,已知CD=6 m,∠DCE=30°,点E,C,A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°,在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.
(1)求DE的长.
(2)设塔AB的高度为h(单位:m).
①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号);
②求塔AB的高度(tan 27°取0.5,取1.7,结果取整数).
答案全解全析
基础过关全练
1.9.5
解析 由题意得,四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=1.5 m,AD=BC=20 m,
在Rt△ADE中,∵AD=BC=20 m,∠EAD=21.8°,
∴DE=AD·tan 21.8°≈20×0.400 0=8(m),
∴CE=CD+DE=1.5+8=9.5(m),
∴气球顶部离地面的高度EC是9.5 m.
2.解析 在Rt△AOB中,AO=4 m,∠ABO=45°,
sin∠ABO=,
∴AB=(m),
∴CD=2AB=2×4(m).
在Rt△OCD中,∠D=60°,sin D=,
∴OC=CD·sin D=8×sin 60°=8≈4×2.449=9.796(m).
∵9.796>9.5,∴可以安装高为9.5 m处的四楼的室外机空调.
3.解析 由题意得AB⊥BN,AH⊥HM,BH=CD=MN=0.9米,AB=2.9米,CM=DN,
∴AH=AB-BH=2.9-0.9=2(米),
在Rt△AHC中,∠ACH=45°,∴CH==2(米),
在Rt△AHM中,∠AMH=30°,
∴HM=(米),
∴CM=HM-HC=2-2≈1.5(米),
∴DN=CM=1.5米,
∴D、N两点间的距离约为1.5米.
4.解析 如图,过点A作AB⊥DC,交DC的延长线于点B,
∵斜坡AC的坡度i=,∴AB∶BC=5∶6,
故可设AB=5x米,BC=6x米,
在Rt△ADB中,∠D=30.96°,BD=(140+6x)米,
∴tan 30.96°=≈0.60,
解得x≈60,∴5x=300,
∴该岛礁的高AB约为300米.
能力提升全练
5.D ∵斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,
∴DE∶CE=1∶2.4,
∵DE=50米,∴CE=120米,
∵BC=150米,∴BE=150-120=30(米),
∴AB=tan 50°×30+50≈85.7(米).故选D.
6.解析 在Rt△ABC中,AB=18 m,∠BAC=38°,
∵tan∠BAC=,
∴BC=AB·tan∠BAC=18tan 38°≈18×0.78=14.04(m),
在Rt△ABD中,AB=18 m,∠BAD=53°,
∵tan∠BAD=,
∴BD=AB·tan∠BAD=18tan 53°≈18×1.33=23.94(m),
∴CD=BD-BC=23.94-14.04=9.9(m).
答:“龙”字雕塑CD的高度约为9.9 m.
7.解析 由题意可知∠ORB=36.9°,∠ORA=24.2°,
在Rt△AOR中,AR=40 m,∠ORA=24.2°,
∴OA=sin∠ORA×AR=sin 24.2°×40≈16.4(m),
OR=cos∠ORA×AR=cos 24.2°×40≈36.4(m),
在Rt△BOR中,OB=tan 36.9°×36.4≈27.3(m),
∴AB=OB-OA=27.3-16.4=10.9(m).
答:无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9 m.
8.解析 过点E作EH⊥AB,垂足为H,
由题意得EH=FB,EF=BH=1.6 m,
设EH=FB=x m,
在Rt△AEH中,∠AEH=26.6°,
∴AH=EH·tan 26.6°≈0.5x(m),
∴AB=AH+BH=(0.5x+1.6)m,
∵CD⊥FB,AB⊥FB,∴∠CDF=∠ABF=90°,
又∵∠CFD=∠AFB,∴△CDF∽△ABF,
∴,
∴x(m),
∴x=0.5x+1.6,解得x=6.4,
∴AB=x=4.8(m),
∴该景观灯的高AB约为4.8 m.
9.解析 如图,过点B作BG⊥AD于点G,
在Rt△ABG中,BG=AB·sin∠BAG=30×=15(米),
在Rt△BFC中,∠CBF=45°,∴BF=CF.
设BF=x米,则CF=x米,EF=(x-4)米,
在Rt△CEF中,tan∠CEF=,即,
∴CD=DF+CF=15+6+2)米.
答:DC的长为(21+2)米.
素养探究全练
10.解析 (1)由题意得DE⊥EC,
在Rt△DEC中,CD=6 m,∠DCE=30°,
∴DE=CD=3 m,∴DE的长为3 m.
(2)①由题意得BA⊥EA,
在Rt△DEC中,DE=3 m,∠DCE=30°,
∴CE=(m),
在Rt△ABC中,AB=h m,∠BCA=45°,
∴AC=+h)m,
∴线段EA的长为(3+h)m.
②过点D作DF⊥AB,垂足为F,
由题意得DF=EA=(3+h)m,DE=FA=3 m,
∵AB=h m,∴BF=AB-AF=(h-3)m,
在Rt△BDF中,∠BDF=27°,
∴BF=DF·tan 27°=0.5(3+h)m,
∴h-3=0.5(3+h),解得h=3+6≈11,
∴AB=11 m,∴塔AB的高度约为11 m.
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2024北师大版数学九年级下学期
第一章 直角三角形的边角关系
6 利用三角函数测高
基础过关全练
知识点1 测量底部可以到达的物体的高度
1.(2023湖南岳阳中考)2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如图,某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°,仪器与气球的水平距离BC为20米,且距地面高度AB为1.5米,则气球顶部离地面的高度EC是 米(结果精确到0.1米,sin 21.8°≈0.371 4,cos 21.8°≈0.928 5,tan 21.8°≈0.400 0).
2.【新独家原创】如图,当云梯AB与地面的倾斜角为45°时,刚好可以安装高为4 m处的二楼室外机空调,若云梯可延伸到原来的2倍,云梯与地面的倾斜角为60°,这时是否可以安装高为9.5 m处的四楼的室外机空调 (≈2.449,≈1.414,≈1.732)
知识点2 测量底部不可以到达的物体的高度
3.【革命文化】(2023湖南永州中考)永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米(如图1所示),寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁.如图2,以线段AB代表陈树湘雕像,一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照,相机支架CD高0.9米,在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°,然后将相机支架移到MN处拍照,在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°,求D、N两点间的距离(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.732).
图1 图2
4.【国家安全】(2021四川攀枝花中考改编)自2021年2月1日起,旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施.中国海警在某岛海域开展巡航执法活动,是中方依法维护主权的正当举措.如图,若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米,测得岛礁顶端A的仰角为30.96°,以及该斜坡AC的坡度i=,求该岛礁的高(即点A到海平面的铅垂高度).
(结果保留整数,参考数据:sin 30.96°≈0.51,cos 30.96°≈0.86,tan 30.96°≈0.60)
能力提升全练
5.(2021重庆中考B卷,10,★★☆)如图,在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡,斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,坡顶D到BC的垂直距离DE=50米(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19)( )
A.69.2米 B.73.1米 C.80.0米 D.85.7米
6.【中华优秀传统文化】(2023甘肃兰州中考,22,★★☆)图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”,“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造,如巨龙腾空,气势如虹,屹立在黄河北岸.某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动,具体过程如下:如图2,“龙”字雕塑CD位于垂直于地面的基座BC上,在平行于水平地面的A处测得∠BAC=38°,∠BAD=53°,AB=18 m.求“龙”字雕塑CD的高度.(B,C,D三点共线,BD⊥AB,结果精确到0.1 m)(参考数据:
sin 38°≈0.62,cos 38°≈0.79,tan 38°≈0.78,sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,
tan 53°≈1.33)
图1 图2
7.(2023安徽中考,19,★★☆)如图,O,R是同一水平线上的两点,无人机从O点竖直上升到A点时,测得A点到R点的距离为40 m,R点的俯角为24.2°,无人机继续竖直上升到B点,测得R点的俯角为36.9°,求无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1 m).
参考数据:sin 24.2°≈0.41,cos 24.2°≈0.91,tan 24.2°≈0.45,sin 36.9°≈0.60,
cos 36.9°≈0.80,tan 36.9°≈0.75.
8.【方程思想】(2023陕西中考,21,★★☆)一天晚上,小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯(灯杆底部不可到达)的高AB.如图所示,当小明爸爸站在点D处时,他在该景观灯照射下的影子长为DF,测得DF=2.4 m;当小明站在爸爸影子的顶端F处时,测得点A的仰角α为26.6°.已知爸爸的身高CD=1.8 m,小明眼睛到地面的距离EF=1.6 m,点F、D、B在同一条直线上,EF⊥FB,CD⊥FB,AB⊥FB.求该景观灯的高AB.(参考数据:sin 26.6°≈0.45,cos 26.6°≈0.89,tan 26.6°≈0.50)
9.(2023四川内江中考,20,★★☆)某中学依山而建,校门A处有一坡角α=30°的斜坡AB,长度为30米,在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°,离B点4米远的E处有一个花台,在E处测得C的仰角∠CEF=60°,CF的延长线交水平线AM于点D,求DC的长(结果保留根号).
素养探究全练
10.【模型观念】【新考向·实践探究题】(2023天津中考)综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度.如图,塔AB前有一座高为DE的观景台,已知CD=6 m,∠DCE=30°,点E,C,A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°,在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.
(1)求DE的长.
(2)设塔AB的高度为h(单位:m).
①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号);
②求塔AB的高度(tan 27°取0.5,取1.7,结果取整数).
答案全解全析
基础过关全练
1.9.5
解析 由题意得,四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=1.5 m,AD=BC=20 m,
在Rt△ADE中,∵AD=BC=20 m,∠EAD=21.8°,
∴DE=AD·tan 21.8°≈20×0.400 0=8(m),
∴CE=CD+DE=1.5+8=9.5(m),
∴气球顶部离地面的高度EC是9.5 m.
2.解析 在Rt△AOB中,AO=4 m,∠ABO=45°,
sin∠ABO=,
∴AB=(m),
∴CD=2AB=2×4(m).
在Rt△OCD中,∠D=60°,sin D=,
∴OC=CD·sin D=8×sin 60°=8≈4×2.449=9.796(m).
∵9.796>9.5,∴可以安装高为9.5 m处的四楼的室外机空调.
3.解析 由题意得AB⊥BN,AH⊥HM,BH=CD=MN=0.9米,AB=2.9米,CM=DN,
∴AH=AB-BH=2.9-0.9=2(米),
在Rt△AHC中,∠ACH=45°,∴CH==2(米),
在Rt△AHM中,∠AMH=30°,
∴HM=(米),
∴CM=HM-HC=2-2≈1.5(米),
∴DN=CM=1.5米,
∴D、N两点间的距离约为1.5米.
4.解析 如图,过点A作AB⊥DC,交DC的延长线于点B,
∵斜坡AC的坡度i=,∴AB∶BC=5∶6,
故可设AB=5x米,BC=6x米,
在Rt△ADB中,∠D=30.96°,BD=(140+6x)米,
∴tan 30.96°=≈0.60,
解得x≈60,∴5x=300,
∴该岛礁的高AB约为300米.
能力提升全练
5.D ∵斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,
∴DE∶CE=1∶2.4,
∵DE=50米,∴CE=120米,
∵BC=150米,∴BE=150-120=30(米),
∴AB=tan 50°×30+50≈85.7(米).故选D.
6.解析 在Rt△ABC中,AB=18 m,∠BAC=38°,
∵tan∠BAC=,
∴BC=AB·tan∠BAC=18tan 38°≈18×0.78=14.04(m),
在Rt△ABD中,AB=18 m,∠BAD=53°,
∵tan∠BAD=,
∴BD=AB·tan∠BAD=18tan 53°≈18×1.33=23.94(m),
∴CD=BD-BC=23.94-14.04=9.9(m).
答:“龙”字雕塑CD的高度约为9.9 m.
7.解析 由题意可知∠ORB=36.9°,∠ORA=24.2°,
在Rt△AOR中,AR=40 m,∠ORA=24.2°,
∴OA=sin∠ORA×AR=sin 24.2°×40≈16.4(m),
OR=cos∠ORA×AR=cos 24.2°×40≈36.4(m),
在Rt△BOR中,OB=tan 36.9°×36.4≈27.3(m),
∴AB=OB-OA=27.3-16.4=10.9(m).
答:无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9 m.
8.解析 过点E作EH⊥AB,垂足为H,
由题意得EH=FB,EF=BH=1.6 m,
设EH=FB=x m,
在Rt△AEH中,∠AEH=26.6°,
∴AH=EH·tan 26.6°≈0.5x(m),
∴AB=AH+BH=(0.5x+1.6)m,
∵CD⊥FB,AB⊥FB,∴∠CDF=∠ABF=90°,
又∵∠CFD=∠AFB,∴△CDF∽△ABF,
∴,
∴x(m),
∴x=0.5x+1.6,解得x=6.4,
∴AB=x=4.8(m),
∴该景观灯的高AB约为4.8 m.
9.解析 如图,过点B作BG⊥AD于点G,
在Rt△ABG中,BG=AB·sin∠BAG=30×=15(米),
在Rt△BFC中,∠CBF=45°,∴BF=CF.
设BF=x米,则CF=x米,EF=(x-4)米,
在Rt△CEF中,tan∠CEF=,即,
∴CD=DF+CF=15+6+2)米.
答:DC的长为(21+2)米.
素养探究全练
10.解析 (1)由题意得DE⊥EC,
在Rt△DEC中,CD=6 m,∠DCE=30°,
∴DE=CD=3 m,∴DE的长为3 m.
(2)①由题意得BA⊥EA,
在Rt△DEC中,DE=3 m,∠DCE=30°,
∴CE=(m),
在Rt△ABC中,AB=h m,∠BCA=45°,
∴AC=+h)m,
∴线段EA的长为(3+h)m.
②过点D作DF⊥AB,垂足为F,
由题意得DF=EA=(3+h)m,DE=FA=3 m,
∵AB=h m,∴BF=AB-AF=(h-3)m,
在Rt△BDF中,∠BDF=27°,
∴BF=DF·tan 27°=0.5(3+h)m,
∴h-3=0.5(3+h),解得h=3+6≈11,
∴AB=11 m,∴塔AB的高度约为11 m.
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