2024北师大版数学九年级下学期课时练--3.6 直线和圆的位置关系同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024北师大版数学九年级下学期
第三章　圆
6　直线和圆的位置关系
基础过关全练
知识点1　直线和圆的位置关系
1.(2023浙江金华金东期末)如图,若☉O的半径为6,圆心O到一条直线的距离为3,则这条直线可能是(　　)
A.l1　　　　　　B.l2　　　　　　C.l3　　　　　　D.l4
2.(2022上海金山二模)在直角坐标系中,点P的坐标是(2,),圆P的半径为2,下列说法正确的是(　　)
A.圆P与x轴有一个公共点,与y轴有两个公共点
B.圆P与x轴有两个公共点,与y轴有一个公共点
C.圆P与x轴、y轴都有两个公共点
D.圆P与x轴、y轴都没有公共点
3.【教材变式·P90例1】已知:Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5 cm,AC=12 cm,以点C为圆心,作半径为R cm的圆.问:
(1)当R为何值时,☉C和直线AB相离
(2)当R为何值时,☉C和直线AB相切
(3)当R为何值时,☉C和直线AB相交
知识点2　切线的性质
4.(2023重庆中考A卷)如图,AC是☉O的切线,B为切点,连接OA,OC.若∠A=30°,AB=2,BC=3,则OC的长度是(　　)
A.3　　　　　　B.2　　　　　　D.6
5.(2022广西河池中考)如图,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,∠ABC=25°,OC的延长线交PA于点P,则∠P的度数是(　　)
A.25°　　　　　　B.35°　　　　　　C.40°　　　　　　D.50°
6.【新独家原创】如图,P为☉O外一点,PA、PB分别切☉O于A、B,Q为上一点,若∠P=40°,则∠AQB=　　　　.
7.(2023浙江金华中考)如图,点A在第一象限内,☉A与x轴相切于点B,与y轴相交于点C,D,连接AB,过点A作AH⊥CD于点H.
(1)求证:四边形ABOH为矩形;
(2)已知☉A的半径为4,OB=,求弦CD的长.
8.如图,AB为☉O的直径,PD切☉O于点C,交AB的延长线于点D,且∠D=2∠CAD.
(1)求∠D的度数;
(2)若CD=2,求BD的长.
知识点3　切线的判定
9.下列选项中,直线一定是圆的切线的是(　　)
A.与圆有公共点的直线
B.到圆心的距离等于半径的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.过圆的直径的端点的直线
10.(2023辽宁营口中考节选)如图,在△ABC中,AB=BC,以BC为直径作☉O与AC交于点D,过点D作DE⊥AB,交CB的延长线于点F,垂足为点E.求证:DF为☉O的切线.
11.(2023辽宁本溪中考)如图,AB是☉O的直径,点C,E在☉O上,
∠CAB=2∠EAB,点F在线段AB的延长线上,且∠AFE=∠ABC.
(1)求证:EF与☉O相切;
(2)若BF=1,sin∠AFE=,求BC的长.
知识点4　三角形的内切圆、内心
12.如图,点I是△ABC的内心,∠BIC=130°,则∠BAC=(　　)
A.60°　　　　　　B.65°　　　　　　C.70°　　　　　　D.80°
13.【教材变式·P92例2】(2022黑龙江绥化中考)已知△ABC.
(1)尺规作图:用直尺和圆规作出△ABC的内切圆的圆心O;(只保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)如果△ABC的周长为14 cm,内切圆的半径为1.3 cm,求△ABC的面积.
能力提升全练
14.(2023山东聊城中考,6,★★☆)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为(　　)
A.15°　　　　　　B.17.5°　　　　　　C.20°　　　　　　D.25°
15.(2023四川眉山中考,10,★★☆)如图,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为(　　)
A.25°　　　　　　B.35°　　　　　　C.40°　　　　　　D.45°
16.【一题多变·坐标系里圆与一条直线相切】(2021湖南娄底中考,10,★★☆)如图,直角坐标系中,以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动,当☉A与直线l:y=x只有一个公共点时,点A的坐标为(　　)
A.(-12,0)　　　　B.(-13,0)
C.(±12,0)　　　　D.(±13,0)
[变式·圆与两条坐标轴相切]点B是直线y=x-3上一动点,以点B为圆心,以2个单位长度为半径作☉B,当☉B与坐标轴相切时,点B的坐标是　　　　.
17.(2023山东聊城中考,24,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,∠ADC的平分线DE交AC于点E.以AD上的点O为圆心,OD长为半径作☉O,恰好过点E.
(1)求证:AC是☉O的切线;
(2)若CD=12,tan∠ABC=,求☉O的半径.
素养探究全练
18.【推理能力】(2022湖南娄底中考)如图,已知BD是Rt△ABC的角平分线,点O是斜边AB上的动点,以点O为圆心,OB的长为半径的☉O经过点D,与OA相交于点E.
(1)判断AC与☉O的位置关系,为什么
(2)若BC=3,CD=.
①求sin∠DBC、sin∠ABC的值;
②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC,猜测sin 2α与sin α、cos α的关系,并用α=30°给予验证.
答案全解全析
基础过关全练
1.B　∵☉O的半径是6,圆心O到直线的距离是3,6>3,∴这条直线与☉O相交.故选B.
2.B　∵P(2,),∴点P到x轴的距离是,到y轴的距离为2,∵圆P的半径是2,∴圆P与x轴相交,与y轴相切,∴该圆与x轴有两个公共点,与y轴有一个公共点.故选B.
3.解析　过点C作CD⊥AB于点D(图略).
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=5 cm,AC=12 cm,
∴AB==13(cm),
∴CD=(cm).
(1)当0(2)当R=时,☉C和直线AB相切.
(3)当R>时,☉C和直线AB相交.
4.C　连接OB,∵AC是☉O的切线,∴OB⊥AC,
∴∠ABO=∠CBO=90°,
∵∠A=30°,AB=2AB=2,
∵BC=3,∴OC=,
故选C.
5.C　∵∠ABC=25°,∴∠AOP=2∠ABC=50°,∵PA是☉O的切线,
∴PA⊥AB,∴∠PAO=90°,∴∠P=90°-∠AOP=90°-50°=40°,故选C.
6.110°
解析　如图,连接OA,OB,在优弧AB上取不同于A,B的任意一点C,连接CA,CB.
∵PA、PB分别切☉O于A、B,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-40°=140°,
∴∠ACB=∠AOB=×140°=70°,
∴∠AQB=180°-∠ACB=180°-70°=110°.
7.解析　(1)证明:∵☉A与x轴相切于点B,
∴AB⊥x轴,又∵AH⊥CD,HO⊥OB,∴∠AHO=∠HOB=∠OBA=90°,∴四边形ABOH是矩形.
(2)连接AD,∵四边形ABOH是矩形,∴AH=OB=,
∵AD=AB=4,
∴DH==3,
∵AH⊥CD,∴CD=2DH=6.
8.解析　(1)连接OC,则∠COD=2∠CAD.
又∵∠D=2∠CAD,∴∠D=∠COD.
∵PD与☉O相切于点C,
∴∠OCD=90°.∴∠D=45°.
(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形,
∴OC=CD=2.∴OB=OC=2.
由勾股定理,得OD=,
∴BD=OD-OB=2-2.
9.B　与圆只有一个公共点的直线是圆的切线,故A项不符合题意;圆的切线垂直于圆的半径且经过半径的外端,故C项不符合题意;过圆的直径的端点且与该直径垂直的直线是圆的切线,故D项不符合题意.故选B.
10.证明　如图,连接BD,OD,
∵BC是☉O的直径,∴∠BDC=90°,即BD⊥CD,
∵AB=BC,∴AD=CD,
又∵OB=OC,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AB,
∵FD⊥AB,∴FD⊥OD,
∵OD是☉O的半径,∴DF是☉O的切线.
11.解析　(1)证明:如图,连接OE,则∠FOE=2∠OAE,
∵∠CAB=2∠EAB,∴∠CAB=∠FOE,
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°=∠FOE+∠AFE,∴∠OEF=90°,即OE⊥EF,
∵OE是☉O的半径,∴EF是☉O的切线.
(2)设半径为r,即OE=OB=r,则OF=r+1,
在Rt△EOF中,∵sin∠AFE=,∴r=4,∴AB=2r=8,
在Rt△ABC中,sin∠ABC==sin∠AFE=
.
12.D　∵点I是△ABC的内心,∴∠ABC=2∠IBC,∠ACB=2∠ICB.
∵∠BIC=130°,∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=50°,
∴∠ABC+∠ACB=2(∠IBC+∠ICB)=100°,
∴∠BAC=180°-(∠ACB+∠ABC)=80°.故选D.
13.解析　(1)如图,点O即为所求.
(2)由题意得,△ABC的面积=×14×1.3=9.1(cm2).
能力提升全练
14.C　连接OC,∵点I是△ABC的内心,∴AI平分∠BAC,
∵∠CAI=35°,∴∠BAC=2∠CAI=70°,
∵点O是△ABC外接圆的圆心,∴∠BOC=2∠BAC=140°,
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=×(180°-∠BOC)=×(180°-140°)=20°,
故选C.
15.C　连接OB,∵AB切☉O于B,∴半径OB⊥AB,∴∠ABO=90°,
∵BD∥OA,∴∠D=∠OCD=25°,∴∠O=2∠D=50°,∴∠A=90°-
∠O=40°.故选C.
16.D　当☉A与直线l:y=x只有一个公共点时,直线l与☉A相切,设切点为B,过点B作BE⊥OA于点E,连接AB,如图,
∵点B在直线y=x上,∴设Bm.
在Rt△OEB中,tan∠EOB=.∵直线l与☉A相切,∴AB⊥BO.
在Rt△OAB中,tan∠AOB==13.∴A(-13,0).
同理,在x轴的正半轴上存在点(13,0)符合题意.故选D.
[变式]　或(2,-
解析　设直线y=x-3交x轴于点D,交y轴于点C,令x=0,则y=-3;令y=0,则x=4,∴D(4,0),C(0,-3),∴OD=4,OC=3.
如图①、图②,设☉B与x轴相切于E,连接BE,
则BE⊥x轴,BE=2,
图① 图②
∵∠BED=∠COD=90°,∠BDE=∠CDO,
∴△BED∽△COD,
∴,
∴点B的坐标为.
如图③、图④,设☉B与y轴相切于F,连接BF,则BF⊥y轴,BF=2,
图③ 图④
∵∠BFC=∠COD=90°,∠FCB=∠OCD,
∴△BCF∽△DCO,
∴,
∴点B的坐标为.
综上,点B的坐标为.
17.解析　(1)证明:连接OE,∵OD=OE,∴∠OED=∠ODE,
∵DE平分∠ADC,∴∠CDE=∠ODE,∴∠OED=∠CDE,∴OE∥CD,
∵∠ACB=90°,∴∠AEO=90°,∴OE⊥AC,
∵OE是☉O的半径,∴AC是☉O的切线.
(2)过D作DF⊥AB,
∵AD平分∠BAC,DF⊥AB,∠ACB=90°,∴CD=DF,
∵CD=12,tan∠ABC==20,∴BC=CD+BD=32,∴AC=BC·tan∠ABC=24,
∴AD=,
∵OE∥CD,∴△AEO∽△ACD,∴
,
∴☉O的半径为15-3.
素养探究全练
18.解析　(1)AC与☉O相切.理由如下:
如图,连接OD,∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,
∵BD是△ABC的角平分线,∴∠OBD=∠DBC,∴∠ODB=∠DBC,
∴OD∥BC,∴∠ODA=∠C=90°,即AC⊥OD,
∵OD是☉O的半径,∴AC是☉O的切线.
(2)①在Rt△DBC中,∵BC=3,CD=,
∴BD=,
∴sin∠DBC=.
如图,连接DE,过点O作OG⊥BC于G,
∴∠ODC=∠C=∠CGO=90°,
∴四边形ODCG是矩形,∴OG=CD=,
∵BE是☉O的直径,∴∠BDE=90°,
∵cos∠DBE=cos∠CBD,∴,
∴BE=,
∴sin∠ABC=.
②∵2sin∠DBC·cos∠DBC=2×,
∴sin∠ABC=2sin∠DBC·cos∠DBC.
猜想:sin 2α=2sin αcos α.
验证:当α=30°时,sin 2α=sin 60°=,
2sin αcos α=2sin 30°cos 30°=2×,
∴sin 2α=2sin αcos α.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)