2024北师大版数学九年级下学期课时练--3.7 切线长定理同步练习（含解析）

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2024北师大版数学九年级下学期
第三章　圆
7　切线长定理
基础过关全练
知识点1　切线长定理
1.如图,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60°,则AB=(　　)
A.　　　　　　D.3
2.(2023山东济宁泗水期中)如图,AB、AC、BD是☉O的切线,切点分别是P、C、D.若AB=10,AC=6,则BD的长是(　　)
A.3　　　　　　B.4　　　　　　C.5　　　　　　D.6
3.【教材变式·P96T1】(2021湖北襄阳樊城期末)如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,交PA,PB于C,D.若△PCD的周长等于3,则PA的值是(　　)
A.
4.如图,AB、AC为☉O的切线,B、C是切点,延长OB到点D,使BD=OB,连接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ADO等于(　　)
A.70°　　　　　　B.64°　　　　　　C.62°　　　　　　D.51°
5.如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,PA=6,∠APB=60°.求
(1)△PCD的周长;
(2)∠COD的度数.
知识点2　圆外切四边形
6.【教材变式·P95想一想】(2023广东广州湾区实验学校期末)如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=8,CD=15,则四边形ABCD的周长为　　　　.
7.已知四边形ABCD外切于☉O,四边形ABCD的面积为24,周长为24,求☉O的半径.
能力提升全练
8.(2020湖南永州中考改编,7,★★☆)如图,已知PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,线段OP交☉O于点M.给出下列六种说法:
①PA=PB;
②OP⊥AB;
③四边形OAPB有外接圆;
④M是△AOP外接圆的圆心;
⑤∠1=∠2;
⑥点M不一定是劣弧AB的中点.
其中说法正确的个数是(　　)
A.2　　　　　　B.3　　　　　　C.4　　　　　　D.5
9.(2023浙江金华金东期末,9,★★☆)如图,☉O是△ABC的内切圆,点D、E分别为边AB、AC上的点,且DE为☉O的切线,若△ABC的周长为25,BC的长是9,则△ADE的周长是(　　)
A.7　　　　　　B.8　　　　　　C.9　　　　　　D.16
10.(2023天津十四中期末,7,★★☆)小明同学用一把直尺和一个直角三角板(有一个锐角为60°)测量一张光盘的直径,他把直尺、三角板和光盘按如图所示的方式放置,点A是60°角顶点,B是光盘与直尺的公共点,测得AB=3,则此光盘的直径为(　　)
A.3　　　　B.2
C.3
11.(2022湖北恩施州中考,23,★★☆)如图,P为☉O外一点,PA、PB为☉O的切线,切点分别为A、B,直线PO交☉O于点D、E,交AB于点C.
(1)求证:∠ADE=∠PAE;
(2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE;
(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.
素养探究全练
12.【推理能力】如图,P是☉O外一点,PA、PB分别和☉O相切于点A、B,C是劣弧上任意一点,过C作☉O的切线DE,交PA、PB于点D、E,已知△PDE的周长为8,∠DOE=70°,点M、N分别在PB、PA的延长线上,MN与☉O相切于点F,已知DN、EM的长是方程x2-10x+k=0的两根.
(1)求∠P的度数;
(2)求PA的长;
(3)求四边形DEMN的周长.
答案全解全析
基础过关全练
1.B　∵PA,PB与☉O分别相切于点A,B,∴PA=PB,又∵∠P=60°,
∴△ABP为等边三角形,∴AB=PA=2.故选B.
2.B　∵AC、AP为☉O的切线,∴AC=AP=6,∵BP、BD为☉O的切线,∴BP=BD,∴BD=PB=AB-AP=10-6=4.故选B.
3.A　由切线长定理得AC=EC,DE=DB,PA=PB,
∵△PCD的周长等于3,∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB
+PD=PA+PB=3,∴PA=,故选A.
4.B　由题意知直线AB是线段OD的垂直平分线,
所以AO=AD,所以AB平分∠OAD,所以∠OAB=∠DAB,
易知∠OAC=∠OAB,所以∠OAC=∠OAB=∠DAB=∠DAC=26°,
从而∠ADO=90°-∠DAB=90°-26°=64°.
5.解析　(1)∵CA,CE都是圆O的切线,∴CA=CE,
同理,DE=DB,PA=PB,
∴三角形PCD的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=
12.
(2)∵∠P=60°,∴∠PCE+∠PDE=120°,
∴∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°,
∵CA,CE是圆O的切线,∴∠OCE=∠OCA=∠ACD,
同理,∠ODE=∠CDB,∴∠OCE+∠ODE=(∠ACD+∠CDB)=120°,
∴∠COD=180°-120°=60°.
6.46
解析　如图,∵四边形ABCD是☉O的外切四边形,
∴AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG,∴AD+BC=AB+CD=23,
∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=23+23=46,故答案为46.
7.解析　如图,设切点分别为F,G,M,E,连接FO,AO,BO,GO,CO,MO,
DO,EO,
则OF⊥AB,OE⊥AD,OM⊥CD,OG⊥BC,OF=OE=OM=OG,
则S四边形ABCD=S△AOD+S△DOC+S△BOC+S△AOB
=EO·AD+OM·DC+GO·BC+FO·AB
=EO·(AD+DC+BC+AB)=EO×24=24,
解得EO=2.故☉O的半径为2.
能力提升全练
8.C　由切线长定理可得PA=PB,所以①正确;
∵OA=OB,PA=PB,
∴OP垂直平分AB,所以②正确;
∵PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴点A,B在以OP为直径的圆上,
∴四边形OAPB有外接圆,所以③正确;
M不一定为△AOP外接圆的圆心(只有当∠APO=30°时,M才是△AOP外接圆的圆心),所以④错误;∵PA=PB,OP⊥AB,∴∠1=∠2,所以⑤正确;根据垂径定理可知,点M为劣弧AB的中点,故⑥错误.故选C.
9.A　如图,设切点分别为F、G、H、I,∵AB、AC、BC、DE都和☉O相切,∴BI=BG,CI=CH,DG=DF,EF=EH.∴BG+CH=BI+CI=BC=9.
∴C△ADE=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH
=C△ABC-(BG+CH+BC)=25-2×9=7.故选A.
10.D　如图,设直角三角板的斜边与光盘相切于点C,连接OC、OA、OB,则OC⊥AC,OB⊥AB,
∴∠OCA=∠OBA=90°,
由题意得∠CAB=180°-60°=120°,∴∠OAB=60°,
∴OB=AB·tan 60°=3,∴此光盘的直径为6,
故选D.
11.解析　(1)证明:连接OA,如图,
∵PA为☉O的切线,∴AO⊥PA,∴∠OAE+∠PAE=90°.
∵DE是☉O的直径,∴∠DAE=90°,∴∠ADE+∠AED=90°.
∵OA=OE,∴∠OAE=∠AED,∴∠ADE=∠PAE.
(2)证明:由(1)知∠ADE=∠PAE=30°,
∵∠DAE=90°,∴∠AED=90°-∠ADE=60°.
∵∠AED=∠PAE+∠APE,∴∠APE=∠PAE=30°,∴AE=PE.
(3)设CE=x,则DE=CD+CE=6+x,
∴OA=OE=.
∵PA、PB为☉O的切线,∴PA=PB,PO平分∠APB,
∴PO⊥AB,∴∠ACO=∠OAP=90°,
又∠AOC=∠POA,∴△OAC∽△OPA,∴,
即x2+10x-24=0,解得x=2或-12(不合题意,舍去),∴CE=2.
素养探究全练
12.解析　(1)连接OA、OB、OC,如图.
∵PA、PB、DE分别和☉O相切于点A、B、C,
∴∠ADO=∠CDO,∠CEO=∠BEO,
∠OAD=∠OCD=∠OCE=∠OBE=90°,
∴∠AOD=∠COD,∠COE=∠BOE,
∴∠AOB=2∠DOE=2×70°=140°,
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-140°=40°.
(2)∵PA、PB、DE分别和☉O相切于点A、B、C,
∴DA=DC,EC=EB,PA=PB,
∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+BE+PE=PA+PB=2PA,
∵C△PDE=8,∴PA=4.
(3)∵PN、PM、DE、MN分别和☉O相切于点A、B、C、F,
∴NA=NF,MF=MB,EB=EC,DA=DC,
∴MN+DE=NF+MF+DC+EC=NA+MB+DA+EB=ND+EM.
∵DN、EM的长是方程x2-10x+k=0的两根,
∴DN+EM=10,∴MN+DE=10,
∴四边形DEMN的周长为20.
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