第二章《二次函数》素养综合检测 （含解析）

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2024北师大版数学九年级下学期
第二章　素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2023浙江金华月考)已知y=mx|m-2|+2mx+1是y关于x的二次函数,则m的值为(　　)
A.0　　　　　　B.1　　　　　　C.4　　　　　　D.0或4
2.(2023江苏徐州中考)在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为(　　)
A.y=(x+3)2+2　　　　B.y=(x-1)2+2
C.y=(x-1)2+4　　　　D.y=(x+3)2+4
3.(2022浙江衢州实验学校二模)二次函数y=-x2+6x-8的图象的顶点坐标是(　　)
A.(-3,1)　　　　B.(3,1) C.(3,-1)　　　　D.(-3,-1)
4.(2023广西河池宜州二模)若P1(-2,y1),P2(-1,y2),P3(3,y3)均在二次函数y=x2+2x-3的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(　　)
A.y1>y3>y2　　　　B.y3=y2>y1 C.y3>y1>y2　　　　D.y1>y2>y3
5.【新独家原创】如图,在△ABC中,∠C=90°,sin A=.设BC=x,三角形ABC的面积为y,则y与x之间的函数关系式为(　　)
A.y=x2
C.y=x2
6.(2023辽宁丹东凤城模拟)在同一平面直角坐标系xOy中,一次函数y=ax与二次函数y=ax2+a的图象可能是(　　)
A B C D
7.【新课标例71变式】(2022广东韶关期末)如图,一边靠墙(墙足够长),其他三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园,这个花园的最大面积是(　　)
A.16 m2　　　　B.12 m2
C.18 m2　　　　D.以上都不对
8.(2023浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说法正确的是(　　)
A.点(1,2)在该函数的图象上
B.当a=1且-1≤x≤3时,0≤y≤8
C.该函数的图象与x轴一定有交点
D.当a>0时,该函数图象的对称轴一定在直线x=的左侧
9.(2020湖南娄底中考)二次函数y=(x-a)(x-b)-2(aA.mC.m10.(2023四川乐山中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)、B(m,0),且10;③0y2.其中,正确的结论有(　　)
A.4个　　　　　　B.3个　　　　　　C.2个　　　　　　D.1个
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.(2022江苏南通中考)若抛物线y=x2+2x+m与x轴有交点,那么m的取值范围是　　　　.
12.(2022广西河池宜州期末)抛物线y=(x+1)2-4与y轴的交点坐标是　　　　.
13.(2023湖南长沙期末)已知点A(2,5),B(4,5)是抛物线y=4x2+bx+c上的两点,则这条抛物线的对称轴为直线　　　　.
14.(2023山东青岛城阳十三中一模)已知二次函数y=a(x-2)2-3的部分图象如图所示,若y≤0,则x的取值范围为　　　　.
15.(2022四川南充中考)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距O点2.5 m;喷头高4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高　　　　m时,水柱落点距O点4 m.
16.(2023浙江绍兴中考)在平面直角坐标系xOy中,一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界),这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如:如图,函数y=(x-2)2(0≤x≤3)的图象(抛物线中的实线部分)的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y=x2+bx
+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC,则b=　　　　.
三、解答题(共46分)
17.[含评分细则](2023陕西汉阴期中)(6分)已知二次函数y=-x2+2x+2.
(1)将二次函数的解析式化为y=a(x-h)2+k的形式;
(2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
18.[含评分细则](6分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x … -1 0 1 2 …
y … 0 -2 -2 n …
(1)直接写出n的值,并求该二次函数的表达式.
(2)点Q(m,4)能否在该函数图象上 若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.
19.[含评分细则](6分)如图,二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1,0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式;
(2)在对称轴上求作一点P,使PA+PC的值最小,并求点P的坐标.
20.[含评分细则]【新考向·实践探究题】(2023山东临沂中考)(8分)
综合与实践
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉,为了确定售价,小莹帮妈妈调查了附近A,B,C,D,E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况,记录如下:
售价(元/盆) 日销售量(盆)
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理,填写在下表中:
售价(元/盆)
日销售量(盆)
模型建立
(2)分析数据的变化规律,找出日销售量与售价间的关系.
拓广应用
(3)根据以上信息,小莹妈妈在销售该种花卉中,
①要想每天获得400元的利润,应如何定价
②售价定为多少时,每天能够获得最大利润
21.[含评分细则]【跨学科·体育与健康】(2023浙江温州中考)(10分)一次足球训练中,小明从球门正前方8 m的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m,现以O为原点建立如图所示的直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素);
(2)对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处
22.[含评分细则](2023四川巴中中考)(10分)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-1,0)和B(0,3),其顶点的横坐标为1.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若直线x=m与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点M,当m取何值时,AN+MN有最大值 并求出最大值.
(3)若点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴上一动点,将抛物线向左平移1个单位长度后,Q为平移后抛物线上一动点.在(2)的条件下求得的点M,是否能与A,P,Q构成平行四边形 若能构成,求出Q点坐标;若不能构成,请说明理由.
答案全解全析
1.C　由题意得|m-2|=2,且m≠0,解得m=4,故选C.
易错警示　求字母参数的值时注意二次项系数不能为0.
2.B　将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为y=(x+1-2)2+3-1,即y=(x-1)2+2.故选B.
3.B　∵y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,∴抛物线的顶点坐标为(3,1),故选B.
4.C　∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴抛物线的对称轴为直线x=-1,∵a=1>0,∴x<-1时,y随x的增大而减小,∵P3(3,y3)关于对称轴直线x=-1的对称点为(-5,y3),且-5<-2<-1,∴y3>y1>y2.故选C.
5.B　在Rt△ABC中,sin A=x,则y=AC·BC=x·x=x2.故选B.
6.C　A.由直线可知a<0,由抛物线开口向上可知a>0,不符合题意.
B.由抛物线开口向上可知a>0,由抛物线与y轴交点在x轴下方可知a<0,不符合题意.
C.由直线可知a<0,由抛物线开口向下可知a<0,由抛物线与y轴交点在x轴下方可知a<0,符合题意.
D.由直线可知a>0,由抛物线开口向下可知a<0,不符合题意.故选C.
7.C　设矩形花园中与墙垂直的边长为x m,这个花园的面积是S m2,则S=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18(08.C　A.当x=1时,y=a×12-(3a+1)×1+3=2-2a,∵a≠0,∴2-2a≠2,∴点(1,2)不在该函数的图象上,故选项A不正确;B.当a=1时,抛物线的解析式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),即当x=2时,y=
-1<0,故选项B不正确;C.令y=0,则ax2-(3a+1)x+3=0,∵Δ=[-(3a+1)]2-4a×3=(3a-1)2≥0,∴该函数的图象与x轴一定有交点,故选项C正确;
D.∵该抛物线的对称轴为直线x=,
∴该抛物线的对称轴一定在直线x=的右侧,故选项D不正确.故选C.
9.C　二次函数y=(x-a)(x-b)的图象与x轴交点的横坐标为a、b,将其图象向下平移2个单位长度可得出二次函数y=(x-a)(x-b)-2的图象,如图所示.观察图象可知m10.B　∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,
∴b<0,故①正确;∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∵抛物线经过点A(-1,0),∴a-b+c=0,∴c=b-a,∵当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,
∴4a+2b+b-a>0,∴3a+3b>0,∴a+b>0,故②正确;∵a-b+c=0,∴a+c=b,
∵b<0,∴a+c<0,∴a<-c,∴011.m≤1
解析　∵抛物线y=x2+2x+m与x轴有交点,
∴b2-4ac=22-4×1×m≥0,∴m≤1.
12.(0,-3)
解析　把x=0代入y=(x+1)2-4,得y=1-4=-3,
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,-3).
13.x=3
解析　∵A(2,5),B(4,5)的横坐标不同,纵坐标相同,∴点A、B关于对称轴对称,∴对称轴为直线x=×(2+4)=3.
14.-1≤x≤5
解析　∵y=a(x-2)2-3,∴抛物线的对称轴为直线x=2,∵抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),(-1,0)关于直线x=2对称的点为(5,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为(5,0),所以y≤0时,x的取值范围是-1≤x≤5.故答案为
-1≤x≤5.
15.8
解析　以O为原点,水管所在直线为y轴,向上为正方向,点O所在的水平线为x轴,向右为正方向,建立平面直角坐标系.由题意可知,在调整喷头高度的过程中,水柱的形状不发生变化,当喷头高2.5 m时,可设y=ax2+bx+2.5,将(2.5,0)代入解析式,得6.25a+2.5b+2.5=0,整理得2.5a+
b+1=0①;喷头高4 m时,可设y=ax2+bx+4,将(3,0)代入解析式,得9a+
3b+4=0②,联立①②可得设喷头高为h m时,水柱落点距O点4 m,∴此时的解析式为y=-x+h,将(4,0)代入,得-×4+
h=0,解得h=8.故答案为8.
16.或-
解析　在y=(x-2)2(0≤x≤3)中,当x=0时,y=4,∴C(0,4),∵A(3,0),四边形ABCO是矩形,∴B(3,4).∵抛物线y=x2过点(0,0)和点,∴有以下两种情况:①当抛物线y=x2+bx+c(0≤x≤3)经过O、B时,将点O(0,0),B(3,4)代入得②当抛物线y=x2+bx+c(0≤x≤3)经过A、C时,将点A(3,0),C(0,4)代入得综上所述,b=或b=-.
17.解析　(1)y=-x2+2x+2=-(x2-2x+1)+2+1=-(x-1)2+3,即y=-(x-1)2+3.3分
(2)二次函数图象的开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,3).6分
18.解析　(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,-2),(1,-2),
∴对称轴为直线x=,c=-2.
∵(-1,0)关于直线x=的对称点为(2,0),∴n=0.2分
将(-1,0)和(1,-2)代入y=ax2+bx-2,得
∴这个二次函数的表达式为y=x2-x-2.4分
(2)点Q能在该函数图象上.
把y=4代入y=x2-x-2,得x2-x-2=4,
解得x=3或x=-2,
∴m的值是3或-2.6分
19.解析　(1)把点A(-1,0)的坐标代入y=(x+2)2+m,得1+m=0,
解得m=-1,
∴二次函数的表达式是y=(x+2)2-1.1分
∴抛物线的对称轴是直线x=-2.把x=0代入y=(x+2)2-1,得y=3,∴点C的坐标是(0,3),
∵点B与点C关于抛物线的对称轴对称,
∴B(-4,3).2分
把点A(-1,0),B(-4,3)的坐标分别代入y=kx+b,得
∴一次函数的表达式是y=-x-1.3分
(2)∵点B和点C关于直线x=-2对称,
∴直线AB与直线x=-2的交点即为点P.4分
当x=-2时,y=-x-1=-(-2)-1=1,
∴点P的坐标是(-2,1).6分
20.解析　(1)根据售价从小到大排列得下表:
售价(元/盆) 18 20 22 26 30
日销售量(盆) 54 50 46 38 30
2分
(2)观察表格可知,日销售量是售价的一次函数.
设日销售量为y盆,售价为x元/盆,关系式为y=kx+b,
把(18,54),(20,50)代入得
解得∴y=-2x+90.4分
(3)①∵每天获得400元的利润,
∴(x-15)(-2x+90)=400,解得x=25或x=35,
∴要想每天获得400元的利润,定价应为25元/盆或35元/盆.6分
②设每天获得的利润为w元,
根据题意得w=(x-15)(-2x+90)=-2x2+120x-1 350=-2(x-30)2+450,
∵-2<0,∴当x=30时,w取得最大值,为450,
∴售价定为30元/盆时,每天能够获得最大利润450元.8分
21.解析　(1)∵8-6=2,∴抛物线的顶点坐标为(2,3),
∴设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2+3,
把点A(8,0)代入得36a+3=0,解得a=-,
∴抛物线的函数表达式为y=-(x-2)2+3.3分
当x=0时,y=->2.44,
∴球不能射进球门.5分
(2)设小明带球向正后方移动m米,
则移动后的抛物线为y=-(x-2-m)2+3,7分
把(0,2.25)代入得2.25=-(0-2-m)2+3,
解得m=-5(舍去)或m=1,
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处.10分
22.解析　(1)∵抛物线的顶点横坐标为1,∴抛物线的对称轴为直线x=1.∵点A的坐标为(-1,0),∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0).
将(-1,0),(3,0),(0,3)代入y=ax2+bx+c得∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.3分
(2)∵直线x=m与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点M,
∴点M的坐标为(m,-m2+2m+3),点N的坐标为(m,0),
∴MN=-m2+2m+3,AN=m+1,
∴AN+MN=m+1+(-m2+2m+3)=-m2+3m+4=-,5分
∵-1<0,且0∴当m=时,AN+MN有最大值,最大值为.6分
(3)能.7分
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线向左平移1个单位长度后所得抛物线的表达式为y=-x2+4.当x=时,y=-x2+2x+3=-,∴点M的坐标为.假设存在以A,P,Q,M为顶点的平行四边形,设点P的坐标为(1,p),点Q的坐标为(n,-n2+4).
①当AM为对角线时,对角线AM,PQ互相平分,∴,
解得n=-,∴点Q的坐标为;8分
②当AP为对角线时,对角线AP,MQ互相平分,
∴,解得n=-,∴点Q的坐标为;9分
③当AQ为对角线时,对角线AQ,PM互相平分,
∴,解得n=,∴点Q的坐标为.10分
综上所述,存在以A,P,Q,M为顶点的平行四边形,点Q的坐标为.
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