甘肃省兰州市2023年11月普通高中学业水平合格性考试数学试卷（含解析）

甘肃省兰州市2023年11月普通高中学业水平合格性考试数学试卷
一 选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求.
1设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　)
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
2已知复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，则在复平面内z对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3已知x>－2，则x＋的最小值为(　　)
A － B.－1 C.2 D.0
4 函数y＝的定义域为(　　)
A.(－∞，2) B.(2，＋∞) C.(2，3)∪(3，＋∞) D.(2，4)∪(4，＋∞)
5.某中学开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，如图决定开设“A：踢键子，B：篮球，C：跳绳，D：乒乓球”四项运动项目(每位同学必须选择一项)，为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，丙将调查结果绘制成如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为(　　)
A.240 B.120 C.80 D.40
6 已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
7已知a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)
A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c
8 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
9 如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上(　　)
A.单调递增且有最小值－5 B.单调递增且有最大值－5
C.单调递减且有最小值－5 D.单调递减且有最大值－5
10 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：(单位：分)
78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，
则这15人成绩的第80百分位数是(　　)
A.90 B.90.5 C.91 D.91.5
11 cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°＝(　　)
A. B. C.－ D.－
12 函数f(x)＝ln x－的零点的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
二 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
13 命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________.
14.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.
15 已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝________.
16一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1，2，3，则球的表面积为________.
三 解答题：本大题共3小题，共32分.
17（10分）
在△ABC中，sin 2C＝sin C.
(1)求C；
(2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长.
18（11分）
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如下频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
19（11分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.
甘肃省兰州市2023年11月普通高中学业水平合格性考试数学试卷
答案及解析
一 选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求.
1设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　)
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
解析 答案A
在数轴上表示出集合A与B，如图所示.则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}.
2已知复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，则在复平面内z对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　答案　A
因为复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，所以z＝＝＝＝＋i，
所以在复平面内z对应的点位于第一象限．
3已知x>－2，则x＋的最小值为(　　)
A － B.－1 C.2 D.0
解析 答案　D
　因为x>－2，所以x＋2>0，所以x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝－1时“＝”成立.
4 函数y＝的定义域为(　　)
A.(－∞，2) B.(2，＋∞) C.(2，3)∪(3，＋∞) D.(2，4)∪(4，＋∞)
解析　答案　C
要使原函数有意义，则解得23，
所以原函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C.
5.某中学开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，如图决定开设“A：踢键子，B：篮球，C：跳绳，D：乒乓球”四项运动项目(每位同学必须选择一项)，为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，丙将调查结果绘制成如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为(　　)
A.240 B.120 C.80 D.40
解析　 答案　D
调查的总人数是：80÷40%＝200(人)，
则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生人数是：200－80－30－50＝40(人).故选D.
6 已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析　答案　D
由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，
所以|a－b|＝＝5，故选D.
7已知a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)
A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c
解析　答案　C
A中，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，当记B1A1为直线c时，a和c相交；当记DD1为直线c时，a和c平行；当记C1D1为直线c时，a和c异面，故若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面，故A错误；
B中，若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面，故B错误；
C中，若a∥b，则由异面直线所成的角的定义知a，b与c所成的角相等，故C正确；
D中，若a⊥b，b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故D错误，故选C.
8 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
解析　答案　B
设扇形的半径为R，由题意可得＝3，则R＝2，扇形的面积S＝lR＝×6×2＝6.
9 如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上(　　)
A.单调递增且有最小值－5 B.单调递增且有最大值－5
C.单调递减且有最小值－5 D.单调递减且有最大值－5
解析　答案　A
∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[1，3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，
又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，∴f(1)＝－5.
10 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：(单位：分)
78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，
则这15人成绩的第80百分位数是(　　)
A.90 B.90.5 C.91 D.91.5
解析　答案　B
把成绩按从小到大的顺序排列为：
56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，
因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是＝90.5.
11 cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°＝(　　)
A. B. C.－ D.－
解析　答案　D
原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°＝cos(50°＋160°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－，
故选D.
12 函数f(x)＝ln x－的零点的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　答案　C
如图，画出y＝ln x与y＝的图象，
由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点.
故函数f(x)＝ln x－的零点有2个.
二 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
13 命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________.
解析 对任意的x∈R，2x>0
14.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.
解析　根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60
15 已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝________.
解析　sin(α－π)＝－sin α＝，故sin α＝－，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.
16一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1，2，3，则球的表面积为________.
解析　设球的半径为R，则2R＝＝，则R＝，故球的表面积为S＝4πR2＝14π.
三 解答题：本大题共3小题，共32分.
17（10分）
在△ABC中，sin 2C＝sin C.
(1)求C；
(2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长.
解　(1)因为sin 2C＝sin C，
所以2sin Ccos C＝sin C.
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，
所以cos C＝，C＝.
(2)因为△ABC的面积S＝absin C＝×a×6×＝6，
所以a＝4.
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝48＋36－72＝12，所以c＝2，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋6＋2＝6(＋1).
18（11分）
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如下频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
解　(1)众数是最高小矩形底边中点的横坐标，
∴众数为m＝75.
前三个小矩形面积为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4.
∵中位数平分直方图的面积，
∴n＝70＋×10≈73.3.
(2)依题意60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为
(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
∴抽样学生成绩的合格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分为
45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
估计这次考试的平均分是71分.
19（11分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.
证明　(1)因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
且E为CD的中点，所以AE⊥CD.
所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，
所以AE⊥平面PAB.
因为AE 平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE.