湖南省益阳市2023年中考数学真题
一、单选题
1．（2023·益阳）四个实数，0，2，中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
2．（2023·益阳）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·益阳）下列正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·益阳）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·益阳）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·益阳）乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：
测量时间 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
收缩压（毫米汞柱） 151 148 140 139 140 136 140
舒张压（毫米汞柱） 90 92 88 88 90 80 88
对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（ ）
A．收缩压的中位数为139 B．舒张压的众数为88
C．收缩压的平均数为142 D．舒张压的方差为
7．（2023·益阳）如图，的对角线交于点，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·益阳）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·益阳）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·益阳）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时，
二、填空题
11．（2023·益阳）据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长．将1590000用科学记数法表示为 ．
12．（2020七下·上海期中）计算： ．
13．（2023·益阳）从这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是 ．
14．（2023·益阳）分式方程的解是 ．
15．（2023·益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象；将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象．若将反比例函数的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．
16．（2023·益阳）如图，正六边形中， °．
17．（2023·益阳）如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ．
18．（2023·益阳）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ．
三、解答题
19．（2023·益阳）计算：．
20．（2023·益阳）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．
21．（2023·益阳）先化简，再求值：，其中．
22．（2023·益阳）我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A：非常满意；B：满意；C：一般；D：不满意．根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：
等级 人数
A 72
B 108
C 48
D m
请你根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生人数是多少？
（2）求以上图表中m，n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；
（3）若该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有多少人？
23．（2023·益阳）如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．
（1）求的度数；
（2）四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
（3）若，求的长．
24．（2023·益阳）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：．
（1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
（2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
25．（2023·益阳）如图，在中，，，点D在边上，将线段绕点D按顺时针方向旋转得到，线段交于点E，作于点F，与线段交于点G，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，当平分四边形的面积时，求的长．
26．（2023·益阳）在平面直角坐标系中，直线（）与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：由题意得＜0＜＜2，
∴最大的数是2，
故答案为：C
【分析】根据题意比大小即可求解。
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方进行运算即可求解。
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，A不符合题意；
B、不是轴对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意即可求解。
4．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x＞0，
解②得x≤2，
∴不等式组的解集为0＜x≤2，
∴在数轴上表示为
故答案为：B
【分析】先分别解出不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，在表示在数轴上即可求解。
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，由题意得，
故答案为：A
【分析】设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据“用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
6．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A.把收缩压的数据按照从小到大的顺序排列为：136，139，140，140，140，148，151，
∴收缩压的中位数为140，符合题意；
B.舒张压的众数为88，不符合题意；
C.收缩压的平均数为：，不符合题意；
D.舒张压的平均数为：，
∴舒张压的方差为，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据中位数，众数，平均数和方差，结合表格中的数据计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质结合题意即可求解。
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
∵CD=6-1=5，AD=5，
∴CD=AD，
∴∠BAC=45°，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据题意先作图求出CD=AD，再求出∠BAC=45°，最后利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
9．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据因式分解-公式法和提公因式法的综合即可求解。
10．【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得
A、图象经过第一、二、三象限，A不符合题意；
B、当x=0，y=1，故图象与y轴交于点，B符合题意；
C、函数值y随自变量x的增大而增大，C不符合题意；
D、当y=0，x=-1，故当时，y＞0，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据一次函数的性质结合题意即可求解。
11．【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：由题意得将1590000用科学记数法表示为，
故答案为：
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
12．【答案】10
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 ．
故答案为：10
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意得中3的倍数有3，6，9，
∴从这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是，
故答案为：
【分析】根据简单事件的概率计算即可求解。
14．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ∵分式方程，
∴4x=2(x-2），
∴4x-2x=-4，
解得：x=-2，
当x=-2时，x(x-2）=-2×（-2-2）=8≠0，
∴x=-2是方程的解，
故答案为：x=-2.
【分析】利用解分式方程的方程求出x=-2，再检验求解即可。
15．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；列反比例函数关系式；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 将反比例函数的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式是，
故答案为：.
【分析】根据平移规律：左加右减，上加下减，求函数解析式即可。
16．【答案】
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：120°
【分析】根据正多边形的内角结合题意即可求解。
17．【答案】
【知识点】正方形的判定；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4，∠A=90°，
∵ E为的中点，
∴AE==2，
∴，
∵ 将绕点D按逆时针方向旋转得到，
∴，∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质求出AD=AB=4，∠A=90°，再利用勾股定理求出DE的值，最后根据旋转的性质以及等腰直角三角形的判定与性质计算求解即可。
18．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：AE=AD=4，AF平分∠BAD，
∴DM=ME，
∵MN//AB，
∴，
∴点N是边BC的中点，
∴MN是梯形MCDE的中位线，
∴，
故答案为：4.
【分析】根据等腰三角形的三线合一求出DM=ME，再根据平行线分线段成比例求出，最后根据梯形的中位线计算求解即可。
19．【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；幂的乘方
【解析】【分析】运用绝对值、实数的乘方、整式的乘法进行运算即可求解。
20．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】先根据平行线的性质即可得到，从而得到，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
21．【答案】解：
；
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，进而代入求值即可。
22．【答案】（1）解：∵，
∴本次被调查的学生人数是240人；
（2）解：由题意可得：，
，
∴；
，
∴图中A等级对应的圆心角度数为；
（3）解：∵，
∴该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图
【解析】【分析】（1）根据表格和扇形统计图的信息即可求解；
（2）结合题意即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
23．【答案】（1）解：如图，连接，
∵线段与相切于点B，
∴，而，
∴，
∵，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵的中点为M，，
∴，即，而，
∴，
∴，
∵的中点为M，为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）解：如图，连接，，交于，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据切线的性质即可得到，而，进而结合题意运用等腰三角形的性质即可求解；
（2）先根据垂径定理结合题意即可得到，即，而，进而得到，再根据等腰三角形的性质得到，从而根据题意即可得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明，即可得到，从而根据菱形的判定即可求解；
（3）连接，，交于，先根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而得到，进而根据菱形的性质即可得到，，再结合题意运用弧长的计算公式即可求解。
24．【答案】（1）解：∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，
当时，（万元）；
（2）解：∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，
∴，
整理得：，
解得：，（不符合题意），
∴m的值为8．
（3）解：
设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，
∴
，
而，
∴当时，（万元）；
∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据一次函数的解析式结合题意即可求解；
（2）根据题意解一元二次方程即可求解；
（3）设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，进而根据运用二次函数的最值即可求解。
25．【答案】（1）证明：∵线段绕点D按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵， ，
∴；
（2）证明：∵，
∴点B，C，G，F四点共圆，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∴，，，
∴，
∴，，
∵平分四边形的面积，
∴，
∴，
即，
解得：（负值舍去），
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质得到，进而得到，再结合题意证明，从而运用三角形全等的判定即可证明；
（2）先根据题意得到点B，C，G，F四点共圆，进而根据圆内接四边形即可得到，，再结合题意即可得到，进而运用相似三角形的判定与性质证明即可得到；
（3）连接，先根据三角形全等的性质即可得到，，进而根据锐角三角形的定义即可得到，，从而，设，则，再结合题意运用即可求解。
26．【答案】（1）解：对于直线，
当时，，
∴A点的坐标为；
（2）解：联立得：，解得： 或，
∵B在C的左边，
∴点，
∵B点关于x轴的对称点为点，
∴点，
∴，，，
∴，此时，
即，
解得：（负值舍去）；
∴，此时，
即，
解得：（负值舍去）；
∴或.
（3）解：如图，设直线与y轴交于点D，直线分别与直线l与抛物线E交于点F，E，
对于直线，
当时，，
∴点，
当时，，
∴点，
对于抛物线，
当时，，
∴点，
∴，
∵直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，
∴封闭图形即阴影部分（不包含边界）中在y轴上格点数恰好是13个，
∴，
解得：．
【知识点】勾股定理；一次函数的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出当时，，再求点的坐标即可；
（2）先求出点B和点C的坐标，再求出， 最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）先求出点D和点F的坐标，再求出 ， 最后求取值范围即可。
1 / 1湖南省益阳市2023年中考数学真题
一、单选题
1．（2023·益阳）四个实数，0，2，中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】C
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：由题意得＜0＜＜2，
∴最大的数是2，
故答案为：C
【分析】根据题意比大小即可求解。
2．（2023·益阳）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方进行运算即可求解。
3．（2023·益阳）下列正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，A不符合题意；
B、不是轴对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意即可求解。
4．（2023·益阳）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x＞0，
解②得x≤2，
∴不等式组的解集为0＜x≤2，
∴在数轴上表示为
故答案为：B
【分析】先分别解出不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，在表示在数轴上即可求解。
5．（2023·益阳）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，由题意得，
故答案为：A
【分析】设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据“用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
6．（2023·益阳）乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：
测量时间 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
收缩压（毫米汞柱） 151 148 140 139 140 136 140
舒张压（毫米汞柱） 90 92 88 88 90 80 88
对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（ ）
A．收缩压的中位数为139 B．舒张压的众数为88
C．收缩压的平均数为142 D．舒张压的方差为
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A.把收缩压的数据按照从小到大的顺序排列为：136，139，140，140，140，148，151，
∴收缩压的中位数为140，符合题意；
B.舒张压的众数为88，不符合题意；
C.收缩压的平均数为：，不符合题意；
D.舒张压的平均数为：，
∴舒张压的方差为，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据中位数，众数，平均数和方差，结合表格中的数据计算求解即可。
7．（2023·益阳）如图，的对角线交于点，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质结合题意即可求解。
8．（2023·益阳）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
∵CD=6-1=5，AD=5，
∴CD=AD，
∴∠BAC=45°，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据题意先作图求出CD=AD，再求出∠BAC=45°，最后利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
9．（2023·益阳）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据因式分解-公式法和提公因式法的综合即可求解。
10．（2023·益阳）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时，
【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得
A、图象经过第一、二、三象限，A不符合题意；
B、当x=0，y=1，故图象与y轴交于点，B符合题意；
C、函数值y随自变量x的增大而增大，C不符合题意；
D、当y=0，x=-1，故当时，y＞0，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据一次函数的性质结合题意即可求解。
二、填空题
11．（2023·益阳）据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长．将1590000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：由题意得将1590000用科学记数法表示为，
故答案为：
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
12．（2020七下·上海期中）计算： ．
【答案】10
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 ．
故答案为：10
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
13．（2023·益阳）从这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意得中3的倍数有3，6，9，
∴从这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是，
故答案为：
【分析】根据简单事件的概率计算即可求解。
14．（2023·益阳）分式方程的解是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ∵分式方程，
∴4x=2(x-2），
∴4x-2x=-4，
解得：x=-2，
当x=-2时，x(x-2）=-2×（-2-2）=8≠0，
∴x=-2是方程的解，
故答案为：x=-2.
【分析】利用解分式方程的方程求出x=-2，再检验求解即可。
15．（2023·益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象；将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象．若将反比例函数的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；列反比例函数关系式；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 将反比例函数的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式是，
故答案为：.
【分析】根据平移规律：左加右减，上加下减，求函数解析式即可。
16．（2023·益阳）如图，正六边形中， °．
【答案】
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：120°
【分析】根据正多边形的内角结合题意即可求解。
17．（2023·益阳）如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】正方形的判定；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4，∠A=90°，
∵ E为的中点，
∴AE==2，
∴，
∵ 将绕点D按逆时针方向旋转得到，
∴，∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质求出AD=AB=4，∠A=90°，再利用勾股定理求出DE的值，最后根据旋转的性质以及等腰直角三角形的判定与性质计算求解即可。
18．（2023·益阳）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：AE=AD=4，AF平分∠BAD，
∴DM=ME，
∵MN//AB，
∴，
∴点N是边BC的中点，
∴MN是梯形MCDE的中位线，
∴，
故答案为：4.
【分析】根据等腰三角形的三线合一求出DM=ME，再根据平行线分线段成比例求出，最后根据梯形的中位线计算求解即可。
三、解答题
19．（2023·益阳）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；幂的乘方
【解析】【分析】运用绝对值、实数的乘方、整式的乘法进行运算即可求解。
20．（2023·益阳）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】先根据平行线的性质即可得到，从而得到，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
21．（2023·益阳）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，进而代入求值即可。
22．（2023·益阳）我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A：非常满意；B：满意；C：一般；D：不满意．根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：
等级 人数
A 72
B 108
C 48
D m
请你根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生人数是多少？
（2）求以上图表中m，n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；
（3）若该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有多少人？
【答案】（1）解：∵，
∴本次被调查的学生人数是240人；
（2）解：由题意可得：，
，
∴；
，
∴图中A等级对应的圆心角度数为；
（3）解：∵，
∴该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图
【解析】【分析】（1）根据表格和扇形统计图的信息即可求解；
（2）结合题意即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
23．（2023·益阳）如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．
（1）求的度数；
（2）四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
（3）若，求的长．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵线段与相切于点B，
∴，而，
∴，
∵，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵的中点为M，，
∴，即，而，
∴，
∴，
∵的中点为M，为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）解：如图，连接，，交于，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据切线的性质即可得到，而，进而结合题意运用等腰三角形的性质即可求解；
（2）先根据垂径定理结合题意即可得到，即，而，进而得到，再根据等腰三角形的性质得到，从而根据题意即可得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明，即可得到，从而根据菱形的判定即可求解；
（3）连接，，交于，先根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而得到，进而根据菱形的性质即可得到，，再结合题意运用弧长的计算公式即可求解。
24．（2023·益阳）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：．
（1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
（2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】（1）解：∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，
当时，（万元）；
（2）解：∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，
∴，
整理得：，
解得：，（不符合题意），
∴m的值为8．
（3）解：
设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，
∴
，
而，
∴当时，（万元）；
∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据一次函数的解析式结合题意即可求解；
（2）根据题意解一元二次方程即可求解；
（3）设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，进而根据运用二次函数的最值即可求解。
25．（2023·益阳）如图，在中，，，点D在边上，将线段绕点D按顺时针方向旋转得到，线段交于点E，作于点F，与线段交于点G，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，当平分四边形的面积时，求的长．
【答案】（1）证明：∵线段绕点D按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵， ，
∴；
（2）证明：∵，
∴点B，C，G，F四点共圆，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∴，，，
∴，
∴，，
∵平分四边形的面积，
∴，
∴，
即，
解得：（负值舍去），
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质得到，进而得到，再结合题意证明，从而运用三角形全等的判定即可证明；
（2）先根据题意得到点B，C，G，F四点共圆，进而根据圆内接四边形即可得到，，再结合题意即可得到，进而运用相似三角形的判定与性质证明即可得到；
（3）连接，先根据三角形全等的性质即可得到，，进而根据锐角三角形的定义即可得到，，从而，设，则，再结合题意运用即可求解。
26．（2023·益阳）在平面直角坐标系中，直线（）与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．
【答案】（1）解：对于直线，
当时，，
∴A点的坐标为；
（2）解：联立得：，解得： 或，
∵B在C的左边，
∴点，
∵B点关于x轴的对称点为点，
∴点，
∴，，，
∴，此时，
即，
解得：（负值舍去）；
∴，此时，
即，
解得：（负值舍去）；
∴或.
（3）解：如图，设直线与y轴交于点D，直线分别与直线l与抛物线E交于点F，E，
对于直线，
当时，，
∴点，
当时，，
∴点，
对于抛物线，
当时，，
∴点，
∴，
∵直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，
∴封闭图形即阴影部分（不包含边界）中在y轴上格点数恰好是13个，
∴，
解得：．
【知识点】勾股定理；一次函数的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出当时，，再求点的坐标即可；
（2）先求出点B和点C的坐标，再求出， 最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）先求出点D和点F的坐标，再求出 ， 最后求取值范围即可。
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