(共44张PPT)
第1讲 直线与圆
专题六
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
必备知识 精要梳理
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则①两直线平行l1∥l2 k1=k2;
②两直线垂直l1⊥l2 k1·k2=-1.
需注意分析两直线斜率是否有不存在的情况
(2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为零),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为零),
则l1⊥l2 A1A2+B1B2=0;l1∥l2 A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0.
名师点析1.对两条不重合的直线,当斜率都不存在时平行;当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,两直线垂直,此种情形易忽略.
2.直线的一般式方程中,垂直与平行的充要条件包含了直线斜率不存在的情况.
2.两个距离公式
误区警示应用两平行线间距离公式时,注意两平行线方程中x,y的系数应对应相等.
3.圆的方程
(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r.
(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
不满足这个条件的方程不表示圆
(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
关键能力 学案突破
突破点一
直线的方程
[例1-1]“m=-1”是“直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A
解析 若直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行,则m2-1=0,∴m=±1.
当m=1时,两条直线都为x+y=0,即重合,舍掉;
当m=-1时,直线分别为x-y+4=0,x-y-2=0,符合题意.
故“m=-1”是“直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行”的充要条件.
[例1-2]三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上,我们把这条直线称为该三角形的欧拉线.若△ABC的顶点都在圆x2+y2=4上,边AB所在的直线方程为x+2y=1,且AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为 .
答案 2x-y=0
解析 由题意可得△ABC的欧拉线过圆心(0,0)且与直线x+2y=1垂直,所以欧拉线方程的斜率为2,所以△ABC的欧拉线方程为2x-y=0.
[例1-3]已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,若在坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则P点坐标为 .
解题心得解直线方程问题注意几个误区
(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.如例1-1.
(2)若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.
(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
对点练1
(1)若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0,l2:ax+2y+1=0间的距离为 ,则实数a的值是( )
A.-2 B.-2或1 C.-1 D.-1或2
C
(2)圆x2+y2+4y=0的圆心到经过点M(-3,-3)的直线l的距离为 ,则直线l的方程为( )
A.x+2y-9=0或2x-y+3=0
B.x+2y+9=0或2x-y+3=0
C.x+2y+9=0或2x-y-3=0
D.x-2y+9=0或2x-y+3=0
B
所以直线l的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-3,此时圆心(0,-2)到直线的距离为3,不满足题意.
综上,直线l的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.
(3)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中延伸出一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中,设军营所在位置为B(-1,-4),若将军从点A(-1,2)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马”的最短总路程为( )
C
解析 如图所示,设点B关于直线x+y=3的对称点为C(a,b),
突破点二
圆的方程
[例2-1]已知圆C的圆心坐标是(0,m),若直线2x-y+3=0与圆C相切于点
A(-2,-1),则圆C的标准方程为 .
x2+(y+2)2=5
[例2-2] (2022·全国乙,理14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
[例2-3] (2023·广东揭阳模拟)在某数学活动课上,数学教师把一块三边长分别为6,8,10的三角板ABC放在直角坐标系中,则△ABC外接圆的方程可以为 .(写出其中一个符合条件的即可)
x2+y2=25(答案不唯一)
解析 边长分别为6,8,10的△ABC为直角三角形,且外接圆的半径为5.
若将斜边的中点与坐标原点重合时,则圆心为(0,0),所以其外接圆方程可以为x2+y2=25;
若将直角顶点与坐标原点重合,边长为6的直角边落在x轴的正半轴时,则圆心为(3,±4),
所以其外接圆方程可以为(x-3)2+(y±4)2=25;
若将直角顶点与坐标原点重合,边长为6的直角边落在x轴的负半轴时,则圆心为(-3,±4),
所以其外接圆方程可以为(x+3)2+(y±4)2=25;
若将直角顶点与坐标原点重合,边长为8的直角边落在x轴的正半轴时,则圆心为(4,±3),
所以其外接圆方程可以为(x-4)2+(y±3)2=25;
若将直角顶点与坐标原点重合,边长为8的直角边落在x轴的负半轴时,则圆心为(-4,±3),
所以其外接圆方程可以为(x+4)2+(y±3)2=25.
故答案不唯一,合理即可.
规律方法求圆的方程的两种方法
(1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.
对点练2
(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,且圆心到直线2x-y=0的距离为 ,若点M(0, )在圆C上,则圆C的方程为 .
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+2y=4与x轴交于A点,直线m:kx+y-1=0与y轴及直线l分别交于B点、C点,且A,B,C,O四点共圆,则此圆的标准方程是 .
(3)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=3x上在第三象限内的点,B(-10,0),以线段AB为直径的圆C(C为圆心)与直线l相交于另一个点D,AB⊥CD,则圆C的标准方程为 .
(2)由题意A,B,C,O四点共圆且OA⊥OB,所以CB⊥CA,则直线l与m垂直,
故k=-2.
(3)根据题意,设A的坐标为(2a,6a),其中a<0,
又由B(-10,0),则AB的中点C的坐标为(a-5,3a),
则以AB为直径的圆的方程为(x-2a)(x+10)+y(y-6a)=0.
突破点三
直线与圆、圆与圆的位置关系
命题角度1 直线与圆的位置关系
A
B
B
2.直线与圆的位置关系的判断方法
(1)点线距离法.设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则dr 直线与圆相离.
(2)判别式法.设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),联立方程组 消去y,得到关于x的一元二次方程,其根的判别式为Δ,则①直线与圆相离 Δ<0;②直线与圆相切 Δ=0;③直线与圆相交 Δ>0.
对点练3
(1)(多选题)(2023·吉林通化模拟)若直线l:mx-y-m+1=0,圆C:(x-2)2+y2=4,则
( )
A.直线l与圆C必相交
B.若当m=1时,直线l与圆C相交于A,B两点,则△CAB的面积为2
ABC
(2)(2023·新高考Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为 ”的m的一个值 .
2
命题角度2 圆与圆的位置关系
[例3-4]已知圆C1:x2+y2-2x+my+1=0(m∈R)关于直线x+2y+1=0对称,圆C2的标准方程是(x+2)2+(y-3)2=16,则圆C1与圆C2的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.内含
B
[例3-5]圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0相交于A,B两点,则过A,B两点的直线方程为 ,A,B两点间的距离为 .
答案
解析 根据题意,圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4,其圆心为C1(1,2),半径r=2,其一般方程为x2+y2-2x-4y+1=0,
规律方法几何法判断圆与圆的位置关系
设圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2= ,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2= ,两圆心之间的距离为d,则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下:
(1)d>r1+r2 两圆外离;
(2)d=r1+r2 两圆外切;
(3)|r1-r2|(4)d=|r1-r2|(r1≠r2) 两圆内切;
(5)0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 两圆内含.
对点练4
(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0
A
解析 (1)圆(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径为1,记(3,1)为点D坐标,则以CD为直径的圆的方程为
因为过点D作圆(x-1)2+y2=1的两条切线的切点分别为A,B,所以AB是两圆的公共弦,将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程为2x+y-3=0.
(2)已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-a)2+(y-3)2=4上存在点P,使得∠APB=90°,则实数a的取值范围是 .
解析 因为直径所对的圆周角为90°,而∠APB=90°,
所以以AB为直径的圆x2+y2=4与圆(x-a)2+(y-3)2=4存在公共点,故两圆相交或相切.(共59张PPT)
第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
专题六
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
必备知识 精要梳理
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|);
(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M.
若点F在直线l上,点的轨迹是过F且与l垂直的直线
误区警示利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二,0<2a<|F1F2|.如果满足第二个但不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数,那么其轨迹只能是双曲线的一支.
2.圆锥曲线的标准方程
(3)抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).
名师点析注意区分椭圆与双曲线的标准方程,尤其是方程中a,b,c三者之间的关系,以及焦点所在位置.
3.圆锥曲线的几何性质
方程中勿忘“±”及“x”
(2)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系
注意离心率e与渐近线的斜率的关系
名师点析已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时,可直接应用上述②中的公式,此时易忽视焦点所在的坐标轴导致漏解.
4.直线与圆锥曲线的位置关系
判断方法:通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.
名师点析直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解,在应用根与系数的关系解决问题时,必须先有“判别式Δ≥0”.在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行.
关键能力 学案突破
突破点一
圆锥曲线的定义及标准方程
[例1-1] (2022·全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )
B
解析 设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.
由抛物线的定义知|AF|=xA+1,
[例1-2]在平面直角坐标系中,一动圆C与x轴切于点A(4,0),分别过点M(-5,0), N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上),则点P的轨迹方程为( )
A
解析 如图,设切线PM,PN上的切点分别为B,D,则|PB|=|PD|,|MB|=|MA|,|NA|=|ND|,|PM|-|PN|=|MA|-|NA|=9-1=8,所以P点轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点),2a=8,a=4,c=5,则
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,所以四边形AF1BF为平行四边形.
解题心得求圆锥曲线的标准方程时“先定型,后计算”
(1)“定型”是指确定圆锥曲线的类型,即确定圆锥曲线焦点所在的位置.
(2)“计算”是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入相应的标准方程写出结果.
注意:当焦点位置无法确定时,抛物线方程常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆方程常设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),双曲线方程常设为mx2-ny2=1(mn>0).
对点练1
(3)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
不妨设A在双曲线的右支上,
由双曲线定义可得|AF1|-|AF2|=2a=2①,
突破点二
圆锥曲线的几何性质
命题角度1 圆锥曲线的几何性质
A
D
解析 因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,2),所以抛物线的准线方程为x=-2,从而抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0).
因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,2),
解题心得1.研究圆锥曲线的性质时,一是要结合圆锥曲线的定义,二是要与三角形中的定理(如勾股定理、角平分线定理等)相结合.
2.求双曲线渐近线方程的关键在于求 的值,在计算过程中也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.
对点练2
(1)(多选题)(2023·山东枣庄二模)已知曲线C1:5x2+y2=5,C2:x2-4y2=4,则( )
A.C1的长轴长为
B.C2的渐近线方程为x±2y=0
C.C1与C2的离心率互为倒数
D.C1与C2的焦点相同
BC
4
命题角度2 求圆锥曲线的离心率
C
规律方法求椭圆(或双曲线)离心率(或其取值范围)的常用方法
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.
(4)根据椭圆或双曲线的几何性质构建关于e的等式或不等式,求出离心率或离心率的范围.
对点练3
(1)(2022·全国甲,文15)记双曲线C: (a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 .
(2)(2023·广东江门一模)椭圆是特别重要的一类圆锥曲线,是平面解析几何的核心,它集中体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线,生活中许多椭圆形的物品,都是黄金椭圆,它完美绝伦,深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质:①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点;②长轴长、短轴长、焦距依次组成等比数列.根据以上信息,黄金椭圆的离心率为 .
突破点三
有关弦的中点、弦长问题
D
规律方法中点弦问题常用的求解方法
对点练4
(1)已知直线l与抛物线C:x2=8y相交于A,B两点,若线段AB的中点为(1,2),则直线l的方程为( )
A.4x-y+7=0 B.4x+y-3=0
C.x-4y+7=0 D.x+4y-3=0
C
A
命题角度2 弦长问题
[例3-3]已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为圆x2+(y-1)2=2的圆心,经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线l交抛物线C于A,B两点,则|AB|= .
16
[例3-4]已知双曲线C: =1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于P,Q两点,当|PQ|最小时,四边形F1PF2Q的面积为 .
规律方法求圆锥曲线弦长的常用方法
对点练5
(1)(2023·山东菏泽一模)过抛物线C:y=4x2焦点F作倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B,则|AB|=( )
A
突破点四
直线与圆锥曲线的位置关系
(1)求椭圆方程及其离心率;
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与顶点重合),直线A2P交y轴于点Q,若△A1PQ的面积是△A2FP面积的二倍,求直线A2P的方程.
解题心得解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤
(1)由题意设出直线或曲线方程,设交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
(2)联立直线与曲线方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程.
(3)写出根与系数的关系式.
(4)将所求问题或题中关系转化为x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2)的形式,并代入根与系数的关系式求解.
对点练6
(2023·广东深圳模拟)已知斜率存在的直线l过点P(1,0)且与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点.
(1)若直线l的斜率为1,M为线段AB的中点,M的纵坐标为2,求抛物线C的方程;
(2)若点Q也在x轴上,且不同于点P,直线AQ,BQ的斜率满足kAQ+kBQ=0,求点Q的坐标.(共21张PPT)
素养提升微专题(七) 求解直线与圆锥曲线相交弦长问题的方法
问题提出
直线与圆锥曲线的综合题往往需要求出直线与曲线相交所得的弦长,求弦长可利用弦长公式,但很多同学计算能力不强,导致耗费大量时间求得的弦长不正确,为此,可以推出一般形式下直线与椭圆或双曲线相交的弦长.
2.在上述根与系数的关系、判别式Δ及弦长|AB|的表达式中,a2,b2分别表示的是曲线方程中x2,y2项下面的分母.譬如,对于焦点在y轴上的椭圆方程
=1,在使用上述结论时,仍然把3当作a2,4当作b2.
说明1.解答解答题时,弦长公式不能直接应用,应有过程步骤,若考生能够写出直线与椭圆联立整理后的方程式,判别式Δ的表达式及根与系数的关系,那么就可用上述弦长公式,就能极大地提高运算的准确性.
B
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线右焦点F且斜率为m的直线交双曲线于A,B两点,若|AB|=12,求m的值.
对点演练
A
D
3.已知动点P到点F1(1,0)的距离与它到直线l:x=4的距离之比为 ,点P形成的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设F2(-1,0),分别过F1,F2作斜率为k(k>0)的直线与曲线C交于x轴上方A,B两点,若四边形F1F2BA的面积为 ,求k的值.(共101张PPT)
专项突破六 解析几何解答题
突破1
圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
必备知识 精要梳理
1.圆锥曲线中常见的求范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可.
误区警示在求函数的值域时,一定要特别注意变量的取值范围.
2.圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法
(1)两类最值问题:
①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;
②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题.
(2)两种常见解法:
①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;
②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值
最值常用基本不等式法、配方法或导数法解决
3.圆锥曲线中的证明问题,主要有两类
一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某条直线上、某条直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;
另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些相等或不等的数量关系.
关键能力 学案突破
考向一 圆锥曲线中线段长度、三角形面积的最值或范围问题
[例1]已知椭圆E: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为 -1,以椭圆E的短轴为直径的圆过点(2,0).
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若过F2的直线交椭圆E于A,B两点,过F1的直线交椭圆E于C,D两点,且AB⊥CD,求四边形ACBD面积的取值范围.
规律方法目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型
精典对练·得高分
已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
一题多解·练思维
已知点A(0,-3),B(0,3),动点M满足直线AM与BM的斜率之积为- ,记M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程,并说明C是什么曲线;
(2)经过点D(0,1)的直线l与C相交于P,Q两点,求|AP|·|AQ|的最大值.
点评此题为直线和椭圆的位置关系问题,解题思路一般有以下两种:(1)从一条直线出发,可设直线l,与椭圆联立,表示出根与系数的关系,然后用弦长公式表示|AP|,|AQ|,代入计算;(2)从两条直线出发,分别设直线AP,AQ,设而不求,利用三点共线找关系再计算.
考向二 圆锥曲线中几何量或某个参数的范围、最值问题
探究提高圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
精典对练·得高分
如图,已知抛物线C:y2=x和☉M:(x-4)2+y2=1,过抛物线C上一点H(x0,y0)
(y0≥1)作两条直线与☉M相切于A,B两点,分别交抛物线于E,F两点.
(1)当∠AHB的角平分线垂直于x轴时,求直线EF的斜率;
(2)若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值.
解 (1)抛物线C:y2=x和☉M:(x-4)2+y2=1,则M(4,0),
当∠AHB的角平分线垂直于x轴时,可知点H(4,2),
且满足kHE=-kHF.设E(x1,y1),F(x2,y2),
易错防范·不丢分
已知双曲线x2- =1,斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.
(1)若直线l过点P(0,1),且PB=3AP,求直线l的斜率k;
(2)若线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ,求k的取值范围.
易错点评求解直线与圆锥曲线的位置关系的问题时,经常需要联立直线与圆锥曲线的方程,消去一个未知量后,利用根与系数的关系转化解答.此时一定要满足直线与曲线有两个不同的交点,故不要忽略判别式Δ>0,否则可能导致错解.
考向三 圆锥曲线中的证明问题
精典对练·得高分
如图,已知点F为椭圆C: +y2=1的左焦点,记点P到直线l:x=-2的距离为d,且d=|PF|.
(1)求动点P的轨迹方程.
(2)过点P作椭圆C的两条切线PA,PB,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),连接AF,BF.
求证:①直线PA的方程为x1x+2y1y-2=0;
②AF⊥FB.
数学思想·扩思路
函数与方程思想
(2023·山东济南一模)已知抛物线H:x2=2py(p为常数,p>0).
(1)若直线l:y=kx-2pk+2p与H只有一个公共点,求k;
(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线.法国数学家德·卡斯特里奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试,提出了De Casteljau算法:已知三个定点,根据对应的比例,使用递推画法,可以画出地物线.反之,已知抛物线上三点的切线,也有相应成比例的结论.如图,A,B,C是H上不同的三点,过三点的三条切线分别两两交于点D,E,F,证明:
(1)解 将y=kx-2pk+2p代入x2=2py,
化简得x2-2pkx+4p2(k-1)=0(*).
方程(*)的判别式Δ=4p2k2-4(4p2k-4p2)=0,
因为p>0,化简得k2-4k+4=0,即k=2.
突破2
圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
必备知识 精要梳理
1.圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再通过研究变化的量与参数何时没有关系来找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.
(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.
(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形求得.
3.解决存在性问题的注意事项
存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.
关键能力 学案突破
考向一 圆锥曲线中的定值问题
精典对练·得高分
已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的虚轴长为4,直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l,与双曲线交于两点M,N,直线MA交y轴于点P,直线NB交y轴于点Q,记△PAT的面积为S1,△QBT的面积为S2,求证: 为定值.
(2)证明 由题意可得A(-1,0),B(1,0),设直线l:x=ny+2,M(x1,y1),N(x2,y2),
把直线方程代入双曲线方程,整理可得(4n2-1)y2+16ny+12=0,
一题多解·练思维
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若A,B,C为椭圆E上的3个动点,且△ABC的重心是O(0,0),求证:△ABC的面积为定值,并求这个定值.
考向二 圆锥曲线中的定点问题
规律方法解圆锥曲线中定点问题的常用方法
(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;
(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;
(3)求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)或斜截式方程y=kx+b来证明.
精典对练·得高分
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与直线NA2交于P,证明:点P在定直线上.
易错防范·不丢分
已知A,B,C分别为椭圆C1: +y2=1(a>1)的左、右、上顶点,F为抛物线C2:y2=2x的焦点,AC⊥CF,P为抛物线C2的准线上的动点,PA与椭圆C1的另一交点为M,PB与椭圆C1的另一交点为N.
(1)求椭圆C1的标准方程;
(2)证明:直线MN过定点.
代入①式,得(12-5m2)(n2-4)+10m2n(n+2)-5(n+2)2(m2+4)=0,
解得n=-2(舍去)或n=-8.
故直线MN的方程为x=my-8,即直线MN过定点(-8,0).
若t=0,则直线MN的方程为y=0,直线MN过点(-8,0).
综上,直线MN过定点(-8,0).
点评此类问题要避免三个方面的错误:
(1)忽视对直线MN的斜率为0的情况的讨论.这也是直线与圆锥曲线综合问题中设直线方程时需要注意的一点.
(2)运算方向不明确,未考虑整体代入,或运算出错.
(3)未利用曲线的范围挖掘隐含条件导致增解.
考向三 圆锥曲线中的存在探究性问题
[例3] (2023·广西南宁模拟)设P为圆E:x2+y2+2x-15=0上的动点,点F(1,0),且线段PF的垂直平分线交PE于点Q,设点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
解 (1)圆E的方程化为(x+1)2+y2=16,
所以圆心E(-1,0),半径R=4.
因为Q在PF的垂直平分线上,所以|QF|=|QP|,
所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|EP|=4.
又因为|EF|=2,则|QE|+|QF|>2,
所以Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆.
规律方法有关存在性问题的求解策略
(1)存在性问题通常采用“顺推法”,将不确定的问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.
(3)解决存在性问题时要注意解题的规范性,一般写作出结论,后给出证明(理由).
精典对练·得高分
(2023·广西桂林、崇左一模)如图,小明同学先把一根直尺固定在画板上面,把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿,再取一根细绳,它的长度与另一直角边相等,让细绳的一端固定在三角板的顶点A处,另一端固定在画板上点F处,用铅笔尖扣紧绳子(使两段细绳绷直),靠住三角板,然后将三角板沿着直尺上下滑动,这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3,经测量,当笔尖运动到点P处,此时,∠FAP=30°,∠AFP=90°.设直尺边沿所在直线为a,以过F垂直于直尺的直线为x轴,以过F垂直于a的垂线段的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C的方程;
(2)斜率为k的直线过点D(0,-3),且与曲线C交于不同的两点M,N,已知k的取值范围为(0,2),探究:是否存在λ,使得 若存在,求出λ的范围;若不存在,说明理由.
解 (1)依题意,笔尖到点F的距离与它到直线a的距离相等,因此笔尖留下的轨迹为以F为焦点,直线a为准线的抛物线,设其方程为y2=2px(p>0),则 ,由∠FAP=30°,∠AFP=90°,|PF|+|PA|=3,得|PA|=2|PF|,|PF|=1,
数学思想·扩思路
函数与方程思想
(1)求双曲线C的方程.
(2)是否存在过点D的直线l与双曲线C交于M,N两点,使得△BMN构成以B为顶点的等腰三角形 若存在,求出所有直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(2)存在满足题意的直线l,其方程为2x-16y+3=0.
理由如下:由(1)可得B(0,1),假设存在过点D的直线l与双曲线C交于M,N两点,使得△BMN构成以B为顶点的等腰三角形,则直线l的斜率显然存在,
为使△BMN构成以B为顶点的等腰三角形,
只需BP⊥MN,所以kBP·kMN=kBP·k=-1.
点评函数与方程思想是直线与圆锥曲线综合问题中最常用的思想方法.求解圆锥曲线中存在直线满足某条件的问题,一般需要先设直线方程,联立直线与曲线方程,根据判别式判断斜率的范围,结合根与系数的关系以及题中条件求出斜率,即可得解.
