(共62张PPT)
第1讲 函数的图象与性质
专题一
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
必备知识 精要梳理
1.函数的概念
(1)求函数定义域的方法是依据使含自变量x的代数式有意义列出相应的不等式(组)求解.
温馨提示函数的定义域必须写成集合或区间的形式.
(2)求函数的值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法(分式函数)、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法.
2.函数的性质
(1)奇偶性 这是函数具有奇偶性的重要前提
①定义:若函数的定义域关于原点对称,则有f(x)是偶函数 f(-x)=f(x)=f(|x|), f(x)是奇函数 f(-x)=-f(x).
②判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
(2)单调性
判断方法:定义法、图象法、导数法.
(3)周期性
等式中自变量x的系数同号
常用结论:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=± (a≠0),则T=2a;若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b;若f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则函数f(x)的一个周期T=2|b-a|;若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则函数f(x)的一个周期T=2|b-a|(可类比正、余弦函数).
特别提醒若f(x)是奇函数且在原点有定义,则f(0)=0;若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有
3.函数的图象
(1)函数图象的判断方法:①找特殊点;②看性质,根据函数性质判断图象的位置、对称性、变化趋势等;③看变换,看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到的.
等式中自变量x的系数异号
(3)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,函数y=f(a-x)与y=f(b+x)的图象关于直线 对称,y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称,y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.
(4)利用图象可解决函数的最值问题,求方程与不等式的解,求参数的取值范围,等等.
关键能力 学案突破
突破点一
函数的定义及其表示
命题角度1 函数的定义域与值域
[例1-1]已知函数f(x)的定义域为[-2,1],则函数 的定义域为( )
A.[0,1] B.[0,1)
C.(0,1] D.(0,1)
D
方法点拨确定函数定义域的基本方法
(1)对于给出解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,只需构建不等式(组)求解即可.
(2)对于复合函数,若已知f(x)的定义域为[a,b],则其复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求得.
(3)对于含字母参数的函数,确定其定义域时,要根据具体情况对字母参数进行分类讨论.
对点练1
(多选题)设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x∈D,都存在y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,则称函数f(x)为“H函数”.下列为“H函数”的是( )
A.y=sin xcos x B.y=ln x+ex
C.y=2x D.y=x2-2x
AB
解析 由题意,得“H函数”的值域关于原点对称.A中,
其值域关于原点对称,故A中函数是“H函数”;B中,函数y=ln x+ex的值域为R,故B中函数是“H函数”;C中,因为y=2x>0,故C中函数不是“H函数”;D中,y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,其值域不关于原点对称,故D中函数不是“H函数”.
命题角度2 分段函数及其应用
A.g(-1)=0
B.方程g(x)=2有3个实数根
C.方程g(x)=-2的所有实根之和为-1
D.当x<0时,f(x)≤g(x)
ACD
解析 对于A选项,由题意知f(-1)=0,则g(-1)=f(f(-1))=f(0)=0,所以选项A正确.
对于B选项,令f(x)=u,则求g(x)=f(f(x))=2的根,即求f(u)=2的根.
因为方程f(u)=2没有实根,所以g(x)=2没有实根,所以选项B错误.
对于D选项,当x<0时,g(x)=f(x+1),则将函数f(x)在区间(-∞,1)内的图象向左平移1个单位长度可得函数g(x)的图象(如图所示),当x<0时,函数g(x)的图象在f(x)的图象的上方(可以部分点重合),所以选项D正确.
故选ACD.
A.(-4,0) B.(-3,0)
C.[-4,0) D.[-3,0)
B
由图可知a+b=-4,0
所以af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c-4)f(c)=(c-4)c3=c4-4c3.
令g(c)=c4-4c3(0则g'(c)=4c3-12c2=4c2(c-3).
因为0所以g(c)=c4-4c3在区间(0,1)内单调递减,
所以g(1)即-3所以af(a)+bf(b)+cf(c)的取值范围是(-3,0).
方法总结解决分段函数问题的基本策略
(1)分类讨论:已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)时,先根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,然后综合各段的结果下结论.
(2)数形结合:求解分段函数问题时,可画出函数的图象,对代数问题进行转化,结合图形直观地分析判断,可以快速准确地解决问题.
A
当x≥0时,f(x)的图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为直线x=3,最小值为32-6×3+6=-3;当x<0时,f(x)为直线y=3x+4的一部分.
不妨设x1突破点二
函数的性质及其应用
命题角度1 函数的奇偶性、单调性及其应用
[例2-1]设函数 ,则f(x)( )
A.是奇函数,且在区间(0,+∞)内单调递增
B.是奇函数,且在区间(0,+∞)内单调递减
C.是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增
D.是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减
A
[例2-2]已知定义在区间(-1,1)内的函数f(x)满足f(x)=g(x)-g(-x)+2,对任意的x1,x2∈(-1,1),x1≠x2,恒有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,则关于x的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为( )
B
解析 设h(xf(x)-2=g(x)-g(-x)(x∈(-1,1)),因为对任意的x1,x2∈(-1,1),x1≠x2,
恒有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,所以函数f(x)在区间(-1,1)内为增函数,
则h(x)在区间(-1,1)内为增函数,又h(-x)=g(-x)-g(x)=-h(x),所以h(x)为奇函数.
又因为不等式f(3x+1)+f(x)>4可化为f(3x+1)-2+f(x)-2>0,即h(3x+1)+h(x)>0,亦即h(3x+1)>-h(x)=h(-x),
B
而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数,有f(-x)=(-x+a)g(-x)=-(-x+a)g(x)=(x-a)g(x)=f(x),
故x-a=x+a,则a=0.故选B.
名师点析函数单调性与奇偶性应用中应注意的问题
(1)判断函数的奇偶性,必须先检验定义域是否关于原点对称,复合函数的奇偶性可回归到奇偶性的定义进行判断,分段函数的奇偶性,要分段讨论,也可以利用图象判断.
(2)已知奇偶性求参数值时,一般利用奇、偶函数的定义,也可采用特殊值法.特别地,若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则可利用f(0)=0求得参数值.
(3)奇偶性与单调性的应用主要涉及利用单调性求最值、比较大小、解抽象函数不等式等.解题时要注意几个方面:一是函数定义域的限制,二是函数单调性的判定,三是等价转化思想与数形结合思想的运用.如已知f(x)为偶函数且在区间[0,+∞)内单调递增,那么形如f(m)>f(n)的不等式均可转化为f(|m|)>f(|n|),从而有|m|>|n|,这样避免了分类讨论,可简化解题过程.
D
答案 (-∞,0)
解析因为对于任意的x1,x2∈(-∞,+∞),且x1≠x2,都有
不妨设x1>x2,则f(x1)-f(x2)<2x1-2x2,即f(x1)-2x1所以g(x)=f(x)-2x在R上单调递减.
又f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,则g(0)=f(0)-0=0,
因为f(a)>2a,所以f(a)-2a>0,
即g(a)>g(0).
所以a<0,即不等式f(a)>2a的解集为{a|a<0}.故实数a的取值范围为(-∞,0).
命题角度2 函数的奇偶性、周期性及其应用
D
解析 因为f(x+1)是奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1)①;
因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2)②.
因为当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,
所以当x=1时,由①得f(0)=-f(2)=-(4a+b),由②得f(3)=f(1)=a+b,
因为f(0)+f(3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6 a=-2,
令x=0,由①得f(1)=-f(1) f(1)=0 a+b=0 b=2,
所以当x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2.
(方法二)∵f(x+1)是奇函数,
∴f(-x+1)=-f(x+1).
∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).
∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).
∵f(x+2)是偶函数,
∴f(x+2)=f(2-x),
∴-f(-x)=-f(x),
即f(-x)=f(x),
∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),
∴函数f(x)的周期为4.
名师点析函数奇偶性、周期性的应用技巧
(1)具有奇偶性的函数,在关于原点对称的区间上,函数值、单调性、图象都有密切的联系,可通过原点一侧图象对应函数的性质得出另一侧图象对应函数的性质.
(2)根据函数的周期性,可以转化函数的解析式、图象、性质,将不在已知区间上的问题转化为已知区间上的问题进行求解.
(3)函数的周期性常通过奇偶性与对称性得到,当函数有两条对称轴(或两个对称中心、一条对称轴和一个对称中心)时,都能推出函数的周期.例如,若函数f(x)有一条对称轴为直线x=a和相邻的一个对称中心(b,0),则4|a-b|就是f(x)的一个周期.
对点练4
(2023·广西崇左模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足 ,且f(-2)= -3,则f(2 022)+f(2 023)+f(2 024)=( )
A.-2 B.0 C.2 D.3
B
∴由①②得,f(x)=f(x-3),即f(x)=f(x+3),f(x)是周期为3的周期函数.又f(x)为定义在R上的奇函数,且f(-2)=-3,
∴f(2 022)=f(674×3)=f(0)=0,
f(2 023)=f(674×3+1)=f(1)=f(-2)=-3,
f(2 024)=f(674×3+2)=f(2)=-f(-2)=3,
∴f(2 022)+f(2 023)+f(2 024)=0+(-3)+3=0.
命题角度3 函数性质的综合应用
BC
∴f(-1)=f(4).故C正确;
∵g(2+x)为偶函数,∴g(2-x)=g(2+x),
∴g(x)的图象关于直线x=2对称.
∵g(x)=f'(x),g(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(x)的图象关于点(2,t)(t∈R)对称.
∴f(x)与g(x)均是周期为2的函数.
∴f(0)=f(2)=t(不恒等于0),故A错误;
构造函数f(x)=sin(πx)符合题目要求,g(x)=πcos(πx),
而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos 2π=π,故D错误.
故选BC.
规律总结关于函数图象对称性的一些结论
(1)若f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)或f(2a+x)=f(-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若f(a-x)=-f(a+x)或f(2a-x)=-f(x)或f(2a+x)=-f(-x),则函数f(x)的图象关于点(a,0)对称.
(3)若f(a-x)+f(a+x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(4)若f(a-x)=f(b+x),则函数f(x)的图象关于直线 对称.
对点练5
(多选题)(2023·浙江杭州二中模拟)已知定义域为R的函数f(x)在区间(-1,0]内单调递增,f(1+x)=f(1-x),且图象关于点(2,0)对称,则下列说法正确的是
( )
A.f(0)=f(-2)
B.周期T=2
C.在区间(2,3)内单调递减
D.f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)
AC
解析 由f(1+x)=f(1-x),可得f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(0)=f(2).
因为f(1+x)=f(1-x),
所以f(2+x)=f(-x).
因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,
所以f(2+x)=-f(2-x),
所以f(4+x)=-f(-x),
所以-f(2+x)=f(4+x),即-f(x)=f(2+x),
所以f(x)=f(x+4),f(x)的周期为4,所以f(-2)=f(2),所以f(0)=f(-2),
故A正确,B错误;
因为f(x)在区间(-1,0]内单调递增,且T=4,所以f(x)在区间(3,4]内单调递增,
又f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(x)在区间[0,1)内单调递增,
又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在区间(1,2]内单调递减,
又f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以函数f(x)在区间[2,3)内单调递减,所以函数f(x)在区间(2,3)内单调递减,故C正确;
根据f(x)的周期T=4,可得f(2 021)=f(1),f(2 022)=f(2),f(2 023)=f(3),
因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)且f(3)=f(-1),所以f(2 021)=f(1),f(2 022)=f(0),f(2 023)=f(-1).
而确定的单调区间内均不包含x=±1,
若f(-1)=0=f(1)=f(0),
则f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)不正确.
故选AC.
突破点三
函数的图象及其应用
命题角度1 根据解析式识别函数图象
函数 的大致图象为( )
D
方法总结由函数解析式识别函数图象的策略
对点练6
A
命题角度2 由图象确定函数解析式
[例2-1](2023·天津,4)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )
D
方法技巧由函数图象确定其解析式的基本方法
(1)将图象的左右、上下分布情况与函数的定义域、值域进行对照.
(2)根据图象的变化趋势,分析函数的单调性,与解析式对照.
(3)根据图象的对称性特征,分析函数的奇偶性,与解析式对照.
(4)根据图象的循环往复特征,分析函数的周期性,与解析式对照.
对点练7
某函数在区间[-3,3]上的大致图象如图所示,则该函数是( )
A
命题角度3 利用图象解决不等式问题
A.(-∞,-1]∪[0,+∞) B.[0,1]
C.[-1,0] D.(-1,0)
C
解析 画出函数y=|f(x)|与函数y=ax在区间[-1,1]上的图象,如图所示.
方法总结函数图象在解决不等式恒成立、解不等式问题中的应用
(1)不等式的恒成立问题可以通过函数图象解决.例如:不等式f(x)>g(x)恒成立,即函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方;不等式f(x)(2)利用函数图象解不等式时,先画出函数f(x)和g(x)的图象,那么f(x)>g(x)的解集就是函数f(x)的图象在g(x)图象上方的部分所对应的函数自变量的取值集合,不等式f(x)对点练8
C(共43张PPT)
第2讲 基本初等函数、函数的应用
专题一
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
必备知识 精要梳理
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0 (a-1)(b-1)>0,
logab<0 (a-1)(b-1)<0.
温馨提示对数的倒数法则:logab= (a,b>0,且a,b≠1).
1.指数运算与对数运算的常用结论
2.指数函数与对数函数的图象和性质
(1)函数y=k·amx+n+p(a>0,且a≠1)的图象经过的定点为 ,
根据a0=1推知
根据loga1=0推知
函数y=k·loga(mx+ n)+p(a>0,且a≠1)的图象所经过的定点为
(2)函数y=loga|x|(a>0,且a≠1)是偶函数,图象关于y轴对称,当a>1时,在区间
(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增;当0(3)函数y=|logax|(a>0,且a≠1)是非奇非偶函数,图象在x轴上方及x轴上,在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
底数01时结论相同
3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
4.应用函数模型解决实际问题的一般步骤
关键能力 学案突破
突破点一
指数与对数运算
[例1-1]已知2a=5,log83=b,则4a-3b=( )
C
[例1-2]青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为( ≈1.259)( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
C
解析 由题意L=5+lg V,当L=4.9时,有4.9=5+lg V,lg V=-0.1,
规律总结指数、对数运算的常用方法与技巧
(1)将指数式与对数式进行互化,构造同底数的对数或指数式.
(2)逆用对数的运算性质,将同底数对数的和、差、倍化简.
(3)当对数的底数不同但真数相同时,可以取倒数,将其化为同底数的对数再进行运算.
(4)运用换底公式,转化对数的底数,再进行化简.
对点练1
(2023·广西桂林模拟)净水机常采用分级过滤,其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成,其结构是多层式,主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质,过滤前水中大颗粒杂质含量为25 mg/L,若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L,则PP棉滤芯层数最少为( )(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
A.5 B.6 C.7 D.8
B
突破点二
基本初等函数的图象与性质
[例2-1]当0B
解析 由于0[例2-2](多选题)已知函数f(x)=log2(1+4x)-x,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)是奇函数
C.函数f(x)在区间(-∞,0]内单调递增
D.函数f(x)的值域为[1,+∞)
AD
则f(-x)=log2(2-x+2x)=f(x),所以f(x)是偶函数,因此A选项正确,B选项错误;
令g(x)=2x+2-x,则g'(x)=2xln 2-2-xln 2=ln 2(2x-2-x),当x≤0时,g'(x)≤0且不恒为零,所以g(x)在区间(-∞,0]内单调递减,于是f(x)=log2g(x)在区间(-∞,0]内单调递减.故C选项错误;
技巧点拨基本初等函数的图象与性质应用技巧
(1)指数函数与对数函数的图象分别经过定点(0,1)和(1,0),在进行图象识别与判断中注意对图象所经过定点的分析.
(2)与指数函数和对数函数有关的函数的奇偶性,在利用定义判断时,注意对f(-x)表达式的变形与转化,以便得出f(x)与f(-x)的关系.
(3)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
(1)(2023·广东湛江一模)已知 ,b=log910,c=lg 11,则( )
A.b>c>a B.c>b>a
C.b>a>c D.c>a>b
A
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)在R上为增函数
C.函数f(x)的值域为(-3,+∞)
D.函数f(x)只有一个零点
AC
解析 对于选项A,由已知可得函数定义域为R,故A正确;
对于选项B,当x<1时,函数f(x)单调递增,当x≥1时,函数f(x)单调递增,
但41-3=1>ln 1=0,所以函数在R上不单调,故B错误;
对于选项C,当x<1时,-3所以函数f(x)的值域为(-3,+∞),故C正确;
对于选项D,当x<1时,令4x-3=0,解得x=log43,
当x≥1时,令ln x=0,解得x=1,故函数f(x)有两个零点,所以D错误.
故选AC.
突破点三
函数的零点及其应用
命题角度1 确定函数零点的个数或范围
[例3-1]函数f(x)=ex+x-2的零点所在区间为( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
B
B
[例3-2] (2023·宁夏银川模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-1,1]时,f(x)=x,f(1+x)=f(1-x),令g(x)=f(x)-lg x,则函数g(x)的零点个数为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
B
解析 由f(1+x)=f(1-x)可得,f(x)的图象关于直线x=1对称.
因为f(1+x)=f(1-x),f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(2+x)=f(-x)=-f(x),
所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以函数f(x)以4为周期,在同一直角坐标系中作出f(x),y=lg x的图象如下.
g(x)=f(x)-lg x的零点个数即方程f(x)=lg x的根的个数,
也即f(x)的图象与y=lg x图象的交点个数.
因为lg 9<1,lg 10=1,所以数形结合可得f(x)的图象与y=lg x图象的交点个数为5.
方法点拨函数零点个数的判断方法
(1)直接法求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则方程有几个解,函数f(x)就有几个零点.
(2)零点存在性定理:若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则结合函数的性质(如单调性、奇偶性)即可确定函数f(x)零点的个数.
(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画出两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
(4)形如f(g(x))的函数,可采用换元法,先令g(x)=t,求得当f(t)=0时t的值,然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)=t时x的值的个数即为f(g(x))的零点的个数,解答时注意数形结合,注意对函数f(x)与g(x)图象及性质的分析.
对点练3
B
图1
图2
命题角度2 根据函数零点求参数的取值范围
D
解析 由函数y=f(x)-a有两个零点,可得y=f(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点.
方法点睛已知函数有零点(方程有根) ,求参数值(取值范围)常用的方法
(1)直接法.直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数的取值范围.
(2)分离参数法.先将参数分离,转化成求函数的值域问题进行求解.
(3)数形结合法.先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
对点练4
D
解析 由题意可知x=0为g(x)的一个零点.
函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,即函数f(x)与h(x)=|kx2-2x|(k∈R)的图象有4个交点,其中(0,0)为一个交点.当x>0时,由x3=|kx2-2x|可得x2=|kx-2|;当x<0时,由-x=|kx2-2x|可得1=|kx-2|.令φ(x)= (x)=|kx-2|,即函数φ(x)与μ(x)的图象有3个交点.
图1
图2
突破点四
函数模型及其应用
[例4]长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=(水库实际蓄水量)÷(水库总蓄水量)×100)来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下:
a.调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100];
b.调度后每座水库的蓄满指数都不能降低;
c.调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变.
②④
方法总结函数模型应用问题的两个关键点
(1) 正确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行抽象概括,将实际问题转化为数学问题.
(2)合理建立函数模型,选取恰当的变量,寻找变量之间的内在联系,用恰当的代数式表示变量之间的关系,然后利用函数知识解决数学问题,从而解决实际问题.
对点练5
中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种乌龙茶用100 ℃的水泡制,等到茶水温度降至60 ℃时再饮用,可以产生最佳口感.某实验小组为探究该种乌龙茶在室温下,刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1 min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的如下数据.
时间/min 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53 67.27
设茶水温度从100 ℃开始,经过x min后的温度为y ℃,现给出以下三种函数模型:
①y=kx+b(k<0,x≥0);
②y=kax+b(k>0,0③y=loga(x+k)+b(a>1,k>0,x≥0).
上述三种函数模型中最符合实际的函数模型是 (填序号),函数模型的解析式为 .
②
y=80×0.9x+20
解析 由题中表格数据可知,当自变量增大时,函数值减小,所以不应该选择对数增长模型③;
当自变量增加量为1时,函数值的减少量有递减趋势,不是同一个常数,所以不应该选择一次函数模型①.
故应选择②.
将题表中前2 min的数据代入y=kax+b(k>0,0故最符合实际的函数模型的解析式为y=80×0.9x+20.(共65张PPT)
第3讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
专题一
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
必备知识 精要梳理
1.导数的几何意义
函数f(x)在x=x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f'(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
温馨提示求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点.
2.利用导数研究函数的单调性
(1)导数与函数单调性的关系.
①f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在区间(-∞,+∞)内单调递增,但f'(x)≥0.
②f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)为常数函数.
(2)求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0.
(3)若f(x)在区间D上单调递增,转化为在区间D上f'(x)≥0恒成立;若f(x)在区间D上单调递减,转化为在区间D上f'(x)≤0恒成立(注意:f'(x)=0在区间D的任意子区间上不恒成立).
注意带“=”
(4)若f(x)在区间D上存在单调递增区间,转化为f'(x)>0在区间D上有解;若f(x)在区间D上存在单调递减区间,转化为f'(x)<0在区间D上有解.
注意不带“=”
3.利用导数研究函数的极值、最值
(1)若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.
(2)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,则f(x)在区间[a,b]上必有最大值和最小值,且在极值点或端点处取得.
(3)若函数在开区间或无穷区间上有唯一的极值,则这个极值就是相应的最值.
这个条件不可少
易错提醒若函数的导数存在,则在某点处的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件,因此已知极值点求参数值时,要对参数值进行检验.
关键能力 学案突破
突破点一
导数的几何意义
命题角度1 求曲线的切线方程
[例1-1] (2022·新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 , .
5x-y+2=0
方法总结求曲线y=f(x)的切线方程的3种类型及方法
(1)已知切点P(x0,y0),求切线方程
求出切线的斜率f'(x0),由点斜式写出方程.
(2)已知切线的斜率k,求切线方程
设切点为P(x0,y0),通过方程k=f'(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.
(3)已知切线上一点(非切点),求切线方程
设切点为P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f'(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.
命题角度2 两曲线的公切线问题
[例1-3] (2023·广西桂林、崇左一模)若曲线y=ax2与y=ln x有一条斜率为2的公切线,则a= .
方法总结解决曲线y=f(x)和y=g(x)的公切线问题时,通常有两种方法:一是利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;二是分别设出公切线与曲线y=f(x)和y=g(x)的切点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有
,据此列式求解.
对点练1
(1)已知函数f(x)=ln x+ 图象的一条切线方程为y=kx+b,则k+b的最小值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
(2)若曲线f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线l:x-y-2=0平行,则点P的坐标为 .
(3)若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则实数a的取值范围为 .
B
(-1,1)
当x0=1时,点P(1,-1),则所求切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0,与直线l重合,不符合题意;当x0=-1时,点P(-1,1),则所求切线方程为y-1=x+1,即x-y+2=0,与直线l平行.
综上所述,点P的坐标为(-1,1).
突破点二
利用导数研究函数的单调性
命题角度1 求单调区间或判断单调性
[例2-1]函数f(x)=2(x2-x)ln x-x2+2x的单调递增区间为( )
D
易错警示利用导数求函数的单调区间,其实质是解不等式问题,应注意以下几点
(1)首先确定函数的定义域,忽视定义域的限制容易导致错误.
(2)当函数在区间的端点处有定义时,单调区间可以写成闭区间也可以写成开区间,但当函数在区间的端点处没有定义时,单调区间只能写成开区间.
(3)当函数具有多个单调递增区间(递减区间)时,一般不能用“∪”联结,而应该用“和”“及”等联结.
对点练2
已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则当0f'(x)的解集为( )
A
解析 若题图中实线部分曲线为函数y=f(x)的图象,则虚线部分曲线为导函数y=f'(x)的图象.由导函数y=f'(x)的图象可知,当0若题图中实线部分曲线为导函数y=f'(x)的图象,则当0f'(x)的解集为(0,1).故选A.
[例2-2]已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x+2(a为常数).
(1)若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;
(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性.
名师点析利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点
(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间.
(2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点.
(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等.(详见本书第4页)
(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述.
对点练3
已知函数f(x)= +aln x(a∈R,且a≠0),求函数f(x)的单调区间.
命题角度2 根据单调性求参数的取值范围
[例2-3] (2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为( )
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
C
设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,2)内恒成立,
所以函数g(x)=xex在区间(1,2)内单调递增,
所以g(x)>g(1)=e,
方法总结根据函数单调性求参数取值范围的类型及解法
已知函数f(x)在区间I上单调递增(或递减),f(x)中含参数 转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到
已知函数f(x)在区间I上单调递增(或递减),I中含参数 先求出f(x)的单调区间,再令I是其单调区间的子集,建立不等式(组)求解
已知函数f(x)在区间I上存在单调递增(或递减)区间 转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在I上有解求解
已知函数f(x)在区间I上不单调 方法一,转化为f'(x)=0在I上有解求解;
方法二,运用补集思想,先求f(x)在区间I上单调时参数的取值范围,再取其补集
对点练4
A
[例2-4]已知函数f(x)=(1+x)ln(1+x)-ax2-(2a+1)x,若f(x)在定义域内是减函数,求a的最小值.
解 由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=ln(1+x)-2a(x+1).
∵f(x)在定义域内是减函数,
∴f'(x)≤0在区间(-1,+∞)内恒成立,即ln(1+x)-2a(x+1)≤0对x∈(-1,+∞)恒成立,
令g'(x)=0,解得x=e-1.
当x∈(-1,e-1)时,g'(x)>0,当x∈(e-1,+∞)时,g'(x)<0.
∴g(x)在区间(-1,e-1)内单调递增,在区间(e-1,+∞)内单调递减,因此
方法点拨已知函数单调性求参数取值范围问题注意点
(1)已知函数单调性求参数取值范围问题主要采用等价转化法,但要注意函数在某一区间上单调递增(递减)与存在单调递增(递减)区间的区别,前者是恒成立问题,后者是不等式有解问题.
(2)解决这类问题主要与参数处理相关,因此尽量采取措施合理地规避分类讨论,简化求解过程,否则就要运用分类讨论的思想解决问题.
对点练5
已知函数f(x)= ,若f(x)在区间(0,1)内单调递增,求实数a的取值范围.
命题角度3 利用单调性比较大小或解不等式
[例2-5] (2022·新高考Ⅰ,7)设a=0.1e0.1,b= ,c=-ln 0.9,则( )
A.aC.cC
令k(x)=(1+x)(1-x)ex-1,
则当x∈(0,0.1]时,k'(x)=(1-x2-2x)ex>0,
∴k(x)在区间(0,0.1]上单调递增.
∴k(x)>k(0)=0.
∴在区间(0,0.1]上,y2' >0,
∴y2=xex+ln(1-x)在区间(0,0.1]上单调递增.∴y2>0,∴a1>c1.
∴在区间(0,0.1]上,b1>a1>c1.
故当x=0.1时,有b>a>c.
[例2-6] (2023·江苏苏锡常镇一模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=ex+sin x,则不等式f(2x-1)D
解析 当x≥0时,f'(x)=ex+cos x,ex≥1,cos x∈[-1,1],
所以f'(x)=ex+cos x≥0恒成立,所以f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,
又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)在区间(-∞,0]内单调递减,
所以f(-π)=f(π)=eπ,
方法总结利用导数解不等式或比较大小的思路:
根据题目条件,通过已知函数或构造辅助函数,利用导数研究函数的单调性,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式问题.
对点练6
A.aC.cB
B
突破点三
利用导数研究函数的极值与最值
命题角度1 利用导数求函数的极值或最值
[例3-1]若x=-1是函数f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1的极值点,则f(x)的极小值为( )
A.-1 B.-2e-3
C.5e-3 D.1
A
解析 因为f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1,所以f'(x)=e2x-1[8x2+(8-4a)x-(2a+2)].
依题意有f'(-1)=0,解得a=1,于是f(x)=(4x2-2x-1)e2x-1,f'(x)=4e2x-1(2x2+x-1).
[例3-2]函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
1
方法点拨1.利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的一般步骤
(1)求函数f(x)在区间(a,b)内的极值;(2)求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a),f(b);(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象得到函数的最值.
对点练7
(1)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为
( )
D
(2)若方程x3-3x+m=0在区间[0,2]上有解,则实数m的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[0,2]
C.[-2,0] D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
A
解析 由题意得-m=x3-3x,x∈[0,2].
令y=x3-3x,x∈[0,2],则y'=3x2-3.
令y'=0,解得x=1(x=-1舍去).
所以当x∈[0,1)时,y'<0;
当x∈(1,2]时,y'>0.
因此函数y=x3-3x,x∈[0,2]在区间[0,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增.
又x=1时,y=-2;x=2时,y=2;x=0时,y=0,所以函数y=x3-3x,x∈[0,2]的值域是
[-2,2],因此-m∈[-2,2],即m∈[-2,2].故选A.
命题角度2 根据函数的极值或最值求参数
A
思想方法等价转化思想在解决极值与最值问题中的应用
利用导数研究函数的极值与最值问题,多与“参数处理”问题有关,解决这类问题时,基本策略是等价转化,通过对问题的不断转化进行求解.
(1)函数f(x)在某一区间上有极值(点),可转化为方程f'(x)=0有满足某种条件的解.
(2)求函数的极值、最值问题,可转化为研究函数的单调性问题.
(3)求函数的极值、最值问题,可转化为解方程、不等式问题,而某些方程有解、不等式有解、不等式恒成立问题则可转化为研究函数的最值问题.
对点练8
B
(2)已知f(x)=(x2+2x+a)ex,若f(x)存在极小值,则实数a的取值范围是 .
答案 (-∞,2)
解析 由题意得f'(x)=(2x+2)ex+(x2+2x+a)ex=ex(x2+4x+a+2),若f(x)存在极小值,则方程f'(x)=0有两个不相等的实根,即方程x2+4x+a+2=0有两个不相等的实根,所以Δ=16-4(a+2)>0,解得a<2,所以实数a的取值范围是(-∞,2).
由于F(x)有两个极值点,所以方程mx2-mx+1=0有两个不相等的正实数根x1,x2,
所以4名师点析根据函数极值情况求参数取值范围的方法
(1)若函数f(x)在区间I上有极值点,则f'(x)在区间I上有变号零点,亦即方程f'(x)=0有满足相应条件的实数根,从而可转化为方程有解问题,也可转化为直线与曲线的交点问题进行求解.
(2)若问题与极大值、极小值有关,则应将极值用极值点表示出来,充分利用极值点满足的条件对代数式进行转化整理,特别注意一元二次方程根与系数关系的运用,将极值点消去,保留参数,然后再进行求解.
(3)若问题经转化后,需要确定一个代数式的最值或范围,则往往需要构造函数,转化为函数的最值,借助导数解决.
对点练9
已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值,求a的值.
解 由题意,得f'(x)=ex-a,
当a≤0时,f'(x)>0,f(x)为增函数,f(x)无最小值,g'(x)<0,g(x)在区间(0,+∞)上单调递减,g(x)无最小值.
当a>0时,令f'(x)=0,即ex-a=0,解得x=ln a.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.
x (-∞,ln a) ln a (ln a,+∞)
f'(x) — 0 +
f(x) ↘ 极小值a-aln a ↗
由表可知,当x=ln a时,f(x)取得极小值也是最小值,为a-aln a.
由g'(x)=0得
当x在区间(0,+∞)上变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表.(共44张PPT)
素养提升微专题(二) 导数应用中的函数构造技巧
第一编
规律方法
近几年高考数学压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围,这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点,而构造函数是解决导数问题最基本的方法,以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结,并举例说明.
1.具体函数的构造
根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究函数的性质从而解决问题.
2.抽象函数的构造
当题目是以抽象函数为背景且题设条件或所求结论中具有
特征式时,解决这类问题的有效策略是将上述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来,合理构造出相关的可导函数,然后利用函数的性质解决问题.
(1)利用f(x)与x(xn)构造
(2)利用f(x)与ex(enx)构造
(3)利用f(x)与sin x,cos x构造
由于sin x,cos x的导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考查的范畴,我们一起看看常考的几种形式:F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
考查角度
角度一 具体函数的构造
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.b>a>c
A
[例1-2]已知实数a,b,c∈(0,e),且3a=a3,4b=b4,5c=c5,则( )
A.aC.cC
x=e,所以f(x)在区间(0,e)内单调递增,在区间(e,+∞)内单调递减,因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即f(a)>f(b)>f(c),又a,b,c∈(0,e),所以a>b>c.故选C.
技巧点拨构造具体函数解决问题的关键是分析所给代数式的结构,发现结构相同的部分,必要时,应对代数式进行合理地转化和变形(移项、通分、取对数、拆分、常数代换等),以便发现它们的共同点,从而构造函数.
A.x+y=1 B.xy=1
C.x+y>2 D.x+y>3
C
角度二 抽象函数的构造
[例2-1]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,若f(2)=0,则不等式xf(x)>0的解集为( )
A.{x|-22}
C.{x|-22} D.{x|x<-2或0D
解析 令F(x)=xf(x),则F(x)为奇函数,且当x<0时,F'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,所以函数F(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)内单调递减.
又f(2)=0,则F(-2)=F(2)=0,于是xf(x)>0可化为F(x)>F(-2)或F(x)>F(2),
则x<-2或0[例2-2]设f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,且满足xf'(x)-2f(x)>0,若△ABC是锐角三角形,则( )
A.f(sin A)sin2B>f(sin B)sin2A
B.f(sin A)sin2BC.f(cos A)sin2B>f(sin B)cos2A
D.f(cos A)sin2BD
名师点析利用f(x)与x(或xn)构造函数的技巧
(1)f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型
①对于f'(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x).
②对于f'(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x).
③对于f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x).
特别地,对于xf'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x).
(2)xf'(x)±nf(x)型
①对于xf'(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x).
②对于xf'(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数
[例2-3]已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是( )
A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)C.e2f(2)≥e3f(3) D.e2f(2)≤e3f(3)
A
解析 令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,因此函数g(x)在R上单调递减,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故选A.
[例2-4]若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e2x的解集为 .
答案 {x|x>0}
A.(e205,+∞) B.(0,e205)
C.(e205e,+∞) D.(0,e205e)
D
名师点析利用f(x)与ex(enx)构造函数的技巧
AD
对点演练
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1)
D
D
3.(2023·河北石家庄一模)已知 ,b=ln 1.4,c=e0.2-1,则( )
A.aC.cC
B
D
6.已知f(x)是定义在区间(0,+∞)内的可导函数,f'(x)是f(x)的导函数,若xf(x)+x2f'(x)=ex,f(1)=e,则f(x)在区间(0,+∞)内( )
A.单调递增 B.单调递减
C.有极大值 D.有极小值
A
7.已知定义在R上的连续函数f(x)的导函数为f'(x),且cos xf'(x)<(cos x+sin x) f(x)成立,则下列各式一定成立的是( )
A.f(0)=0 B.f(0)<0
C.f(π)>0
C
8.已知f(x)是定义在区间(1,+∞)内的函数,f'(x)是f(x)的导函数,且xf'(x)ln x> f(x)(x>1),f(e2)=2,则不等式f(ex)A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(0,2) D.(1,2)
C(共179张PPT)
专项突破一 函数与导数解答题
专题一
突破1
利用导数求参数的值或范围
必备知识 精要梳理
1.不等式恒成立(能成立)求参数范围的类型与解法
设函数f(x)的定义域为D.
(1)当f(x)存在最值时:
① x∈D,f(x)≤k f(x)max≤k; x∈D,f(x)≤k f(x)min≤k.
② x∈D,f(x)≥k f(x)min≥k; x∈D,f(x)≥k f(x)max≥k.
③ x∈D,f(x)④ x∈D,f(x)>k f(x)min>k; x∈D,f(x)>k f(x)max>k.
(2)当f(x)不存在最值时,若其值域为(m,M),
① x∈D,f(x)≤k M≤k; x∈D,f(x)≤k m② x∈D,f(x)≥k m≥k; x∈D,f(x)≥k M>k.
③ x∈D,f(x)④ x∈D,f(x)>k m≥k; x∈D,f(x)>k M>k.
名师点析在不等式恒成立(能成立)问题中,函数有无最值、不等式中有无等号,结论是有区别的,应注意区分.
2.含两个变量的“任存”问题的常见题型及具体转化策略
(1) x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x)在区间[a,b]上的最小值>g(x)在区间[c,d]上的最大值.
(2) x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x)在区间[a,b]上的最大值>g(x)在区间[c,d]上的最小值.
(3) x1∈[a,b], x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x)在区间[a,b]上的最小值>g(x)在区间[c,d]上的最小值.
“任存”是指任意、存在,表示两个变量对应的逻辑量词
f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值均存在,g(x)
在区间[c,d]上的最大值和最小值均存在.
(5) x1∈[a,b],当x2∈[c,d]时,f(x1)=g(x2) f(x)在区间[a,b]上的值域与g(x)在区间[c,d]上的值域的交集非空.
(6) x1∈[a,b], x2∈[c,d],f(x1)=g(x2) f(x)在区间[a,b]上的值域 g(x)在区间[c,d]上的值域.
(7) x2∈[c,d], x1∈[a,b],f(x1)=g(x2) f(x)在区间[a,b]上的值域 g(x)在区间[c,d]上的值域.
(4) x1∈[a,b], x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x)在区间[a,b]上的最大值>g(x)在区间[c,d]上的最大值.
名师点析不等式的“任存”问题,均转化为两个函数的最值之间的不等关系;等式的“任存”问题,则转化为两个函数的值域之间的包含关系.
关键能力 学案突破
考向一 已知不等式恒成立求参数的取值范围
命题角度1 “分离参数求最值”解决不等式恒成立求参数的取值范围问题
[例1-1]已知函数f(x)=-ln x+2x-2.
(1)求与曲线y=f(x)相切且斜率为1的直线方程;
(2)若g(x)=f(x)+ax+2,当x∈[1,e]时,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
(2)由题意得,当x∈[1,e]时,g(x)=-ln x+(2+a)x≥0恒成立,
即(a+2)x≥ln x(x∈[1,e])恒成立,
方法总结1.分离参数法来确定不等式f(x,λ)≥0(x∈D,λ为实数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤
(1)将参数与变量分离,化为g(λ)≥h(x)或g(λ)≤h(x)的形式.
(2)求h(x)在区间D上的最大值或最小值.
(3)解不等式g(λ)≥h(x)max或g(λ)≤h(x)min,得到λ的取值范围.
2.为了求函数的最值,有时需要多次构造函数,进行二次甚至三次求导.
精典对练·得高分
已知函数f(x)=(ax+1)·ex(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a=2,当x≥0时,f(x)≥kx,求实数k的取值范围.
解 (1)因为f(x)=(ax+1)ex,
所以f'(x)=aex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex.
若a=0,则f'(x)>0,f(x)是R上的增函数;
(2)若a=2,不等式f(x)≥kx即为(2x+1)ex≥kx(*).
当x=0时,不等式(*)化为1≥k·0,恒成立,此时k∈R.
命题角度2 “端点效应法”解决不等式恒成立求参数范围问题
[例1-2]已知函数f(x)=m(x+1)2-1-2ln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x∈[1,2]时,不等式f(x)≤0恒成立,求实数m的取值范围.
名师点析利用“端点效应法”解决不等式恒成立求参数取值范围问题
在解决不等式恒成立问题时,端点处满足的临界条件,经常是使命题成立的重要条件,由此可缩小参数的取值范围,而在很多情况下,该范围即为所求,这种通过观察区间端点值来解决问题的方法称为“端点效应法”.“端点效应”是特殊化思想的具体运用,往往可以简化问题的求解过程.根据端点处所满足的条件不同,“端点效应”常常有以下几种情况
(1)利用原函数在端点处的函数值建立不等式确定参数的取值范围.
(2)利用函数的导函数在端点处的函数值满足相应条件建立不等式求解.
精典对练·得高分
已知函数f(x)=(x+1)e-ax,a≠0,若对任意的x≥0,不等式f(x)≤ x+1恒成立,求实数a的取值范围.
命题角度3 “同构法”和“隐零点法”解决不等式恒成立求参数取值范围问题
[例1-3]已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,所以f'(x)=ex- ,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=e-1.
又f(1)=e+1,所以切点坐标为(1,1+e),所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e-1=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.
(2)(方法一:同构法)不等式f(x)≥1,即aex-1-ln x+ln a≥1,
即aex-1+ln a-1≥ln x,所以ex-1+ln a-1+ln a≥ln x,
所以ex-1+ln a+x-1+ln a≥ln x+x.(*)
令g(x)=ex+x,则(*)式等价于g(x-1+ln a)≥g(ln x),
显然g(x)为增函数,所以x-1+ln a≥ln x,即ln a≥ln x-x+1.
当00,h(x)单调递增;
当x>1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)max=h(1)=0,
因此ln a≥0,即a≥1,所以实数a的取值范围是[1,+∞).
所以f(x)>1,因此f(x)≥1恒成立;
当0综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).
名师点析利用“同构法”解决不等式恒成立求参数取值范围问题的基本思路
在不等式恒成立求参数取值范围问题中,如果不等式中同时含有ex和ln x两种形式的式子,可以考虑将不等式进行合理的转化、变形、拼凑,将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式,然后借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒成立问题,从而解决问题.例如:若能将不等式F(x)>0等价变形为f(g(x))>f(h(x)),然后利用f(x)的单调性,如单调递增,再转化为g(x)>h(x),这种解题方法通常称之为“同构法”,同构法的一般步骤如下:
(1)指对分离,将不等式中的指数部分与对数部分分离,分别放在不等式的两边.
(2)参数放在一起,含有欲求范围的参数项要集中在一起.
(3)常数放在头上,ex项前面的常数系数如a,要通过a=eln a转移到ex项的指数位置中.
(4)缺什么项就凑什么项,按照ex指数中的项进行拼凑,缺什么就凑什么,这时两边就会化为同一个函数的两个函数值的形式了.
利用“隐零点法”解决不等式恒成立求参数取值范围问题
在利用导数研究不等式恒成立问题时,需要确定函数的单调性或极值点,因而需要确定函数或导函数的零点.当零点无法直接解出来时,我们称之为“隐零点”(即能确定其存在,但又无法用数值或显性的代数式进行表达).当出现“隐零点”时,我们可以虚设零点,这种解决问题的方法称为“隐零点法”.利用“隐零点法”解决问题的技巧是:形式上虚设,运算上代换,数值上估算,策略上等价转化.
精典对练·得高分
已知函数f(x)=aex+ln a,g(x)=ln(x+1)+1(其中a为常数,e是自然对数的底数),曲线y1=f(x)-ln a在点A(0,a)处的切线为l1,曲线y2=g(x-1)-1在点B(a,0)处的切线为l2.
(1)若l1∥l2,求直线l1和l2的方程;
(2)若f(x)>g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)根据题意可知,曲线y1=f(x)-ln a=aex在点A(0,a)处的切线为l1,
曲线y2=g(x-1)-1=ln x在点B(a,0)处的切线为l2.
又由题意可知a>0,所以a=1.
因为切线l1过点A(0,1),斜率k1=1;切线l2过点B(1,0),斜率k2=1,所以直线l1的方程为x-y+1=0,直线l2的方程为x-y-1=0.
(2)(方法一:同构法)因为f(x)=aex+ln a,g(x)=ln(x+1)+1,
所以f(x)>g(x)恒成立,即aex+ln a>ln(x+1)+1(x>-1)恒成立,
可等价转化为aex+ln(aex)>ln(x+1)+(x+1)(x>-1)恒成立.
当x∈(-1,0)时,s'(x)>0,s(x)单调递增;
当x∈(0,+∞)时,s'(x)<0,s(x)单调递减,
所以s(x)≤s(0)=1,从而a>1,即实数a的取值范围为(1,+∞).
(方法二:隐零点法)因为f(x)=aex+ln a,g(x)=ln(x+1)+1,
故f(x)>g(x)恒成立,可等价转化为aex-ln(x+1)+ln a-1>0在区间(-1,+∞)内恒成立.
记h(x)=aex-ln(x+1)+ln a-1,x∈(-1,+∞)(a>0).
当0记φ(x)=a(x+1)ex-1,x∈[-1,+∞),则φ'(x)=a(x+2)ex>0,
所以φ(x)在区间[-1,+∞)内单调递增,又φ(-1)=-1,φ(0)=a-1>0,
所以 x0∈(-1,0)使得φ(x0)=0,即a(x0+1) -1=0①.
则当x∈(-1,x0)时,φ(x)<0,即h'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,φ(x)>0,即h'(x)>0,
故h(x)在区间(-1,x0)内单调递减,在区间(x0,+∞)内单调递增,所以
h(x)min>0,所以当a>1时,h(x)>0恒成立.
故实数a的取值范围为(1,+∞).
易错防范·不丢分
已知函数f(x)=-x2+x+ln x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若对于任意的x∈(0,+∞),f(x)≤mxex-x2-1恒成立,求实数m的最小值.
解 (1)由题意知,f(x)的定义域为(0,+∞).
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
易错提醒利用“隐零点法”解决问题时,经常出现“只设不用”的错误,即能够根据函数解析式以及给定区间设出“隐零点”,但不注意“隐零点”满足的等量关系,不能在后续解题过程中合理地运用“隐零点”满足的等量关系解决相关问题,所以要深入分析“隐零点”所满足的条件,巧妙运用代换、放缩等方法解决问题.
考向二 不等式能成立求参数的取值范围问题
[例2]已知函数f(x)=ln x+ax2-x.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)存在x≥1,使得 成立,求整数a的最小值.
故函数m(x)在区间[1,+∞)内单调递增,则m(x)≥m(1)=5,
即h'(x)>0对任意的x≥1恒成立,则函数h(x)在区间[1,+∞)内单调递增.
所以当x∈(1,t)时,h(x)<0,当x∈(t,+∞)时,h(x)>0,
所以当x∈(1,t)时,g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减,
当x∈(t,+∞)时,g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增,
名师点析不等式能成立问题的解题关键
精典对练·得高分
(2023·河南焦作模拟)已知函数f(x)=(x-1)ex,g(x)=ln(x+2).
(1)求f(x)的极值;
(2)若存在x0∈(-2,m],使得f(x0)+g(m)≤0,求实数m的取值范围.
解 (1)由题意,可得f'(x)=xex,
当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增,
故当x=0时,f(x)取极小值f(0)=-1,没有极大值.
(2)存在x0∈(-2,m],使得f(x0)+g(m)≤0,
等价于当x0∈(-2,m]时,f(x) min+g(m)≤0.
当-2故此时f(x) min=f(m)=(m-1)em,f(x) min+g(m)≤0,即f(m)+g(m)≤0.
构造函数h(x)=f(x)+g(x)=(x-1)ex+ln(x+2),x∈(-2,+∞).
注意到-2则当-2当m≥0时,由(1)可得f(x)在区间(-2,m]上的最小值f(x) min=f(0)=-1,
则f(x) min+g(m)≤0,即-1+g(m)≤0,
即ln(m+2)-1≤0 ln(m+2)≤ln e 0≤m≤e-2.综上可知,m∈(-2,e-2].
考向三 “任存问题”求参数取值范围
命题角度1 不等式中的“任存问题”
(2)对任意x1∈(0,+∞),存在x2∈R,使得f(x1)>g(x2) f(x1)min>g(x2)min, x1∈(0,+∞),x2∈R.
名师点析不等式中“任存”问题求解注意点
(1)明确变量前面的量词是“任意”还是“存在”,正确作出区分.
(2)弄清是需要求函数的最大值还是最小值.
(3)注意函数最值不存在时,参数取值范围中是否加“=”.
(4)注意不等式中有无“=”.
而a≠0,所以当a>0时,由f'(x)<0,得00,得x>2a,
因此函数f(x)在区间(0,2a)内单调递减,在区间(2a,+∞)内单调递增.
当a<0时,由f'(x)<0,得00,得x>-6a,
因此函数f(x)在区间(0,-6a)内单调递减,在区间(-6a,+∞)内单调递增.
命题角度2 等式中的“任存问题”
当x>2时,f'(x)<0,∴f(x)在区间(2,+∞)内单调递减,且f(2)=-4,
因此当x∈(2,+∞)时,f(x)∈(-∞,-4).
当x→+∞时,g(x)→0,∴当x∈(1,+∞)时,g(x)∈(-∞,0).
∵(-∞,-4) (-∞,0),
∴对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)=g(x2).
名师点析等式中“任存问题”的基本解法
(1)“存在—存在”型: x1∈D1, x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在区间D1上的取值集合A与函数g(x)在区间D2上的取值集合B的交集不为空集,即A∩B≠ .
其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的函数值的取值集合有交集.
(2)“任意—存在”型: x1∈D1, x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在区间D1上的取值集合A是函数g(x)在区间D2上的取值集合B的子集,即A B.
其等价转化的基本思想:函数f(x)的任意一个函数值都与函数g(x)的某一个函数值相等,即f(x)的函数值都在g(x)的取值集合之中.
精典对练·得高分
已知函数f(x)=(1-a)(x-1)-ln x+1,g(x)=xe1-x.
(1)求g(x)在区间(0,e]上的取值范围;
(2)是否存在实数a,对任意给定的x0∈(0,e],在区间[1,e]上存在不同的x1,x2使得f(x1)=f(x2)=g(x0) 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解 (1)g'(x)=(1-x)e1-x,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
当x∈(1,e]时,g'(x)<0,g(x)单调递减,g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e×e1-e=e2-e>0,
∴g(x)在区间(0,e]内的取值范围为(0,1].
由(1)知g(x)在区间(0,e]内的取值范围为(0,1],而f(1)=1,
∴要使对任意x0∈(0,e],在区间[1,e]上存在不同的x1,x2,使得f(x1)=f(x2)=g(x0),
突破2
利用导数证明问题
必备知识 精要梳理
与ex,ln x有关的常用不等式的结论
(1)由在函数f(x)=ex图象上任一点(m,f(m)) 处的切线方程为y-em=em(x-m),得ex≥em(x+1)-mem,当且仅当x=m时,等号成立.当m=0时,有ex≥x+1;当m=1时,有ex≥ex.
称为“切线放缩”
称为“切线放缩”
温馨提示不等式证明中两个常用的放缩不等式:ex≥x+1,ln x≤x-1.
关键能力 学案突破
考向一 利用导数证明单变量不等式
命题角度1 构造函数利用单调性证明不等式
[例1-1]已知函数f(x)=(x+1)ln x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当x≥1时,f(x)≥2(x-1).
当01时,h'(x)>0,
因此函数h(x)在x=1处取得极小值即最小值,且h(1)=2,所以f'(x)>0恒成立.
故f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
故g(x)在区间[1,+∞)内单调递增,因此g(x)≥g(1)=0.
故f(x)≥2(x-1).
精典对练·得高分
已知函数f(x)=exln(1+x).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在区间[0,+∞)内的单调性;
(3)证明:对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).
(3)证明:原不等式等价于对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0),
令m(x)=f(x+t)-f(x)(x∈[0,+∞),t∈(0,+∞)).
∵m(x)=f(x+t)-f(x)=ex+tln(1+x+t)-exln(1+x),
∴g(x+t)>g(x),∴m'(x)>0,
∴m(x)在区间[0,+∞)内单调递增,
∴当x>0时,有m(x)>m(0),∴当x>0,t>0时,f(x+t)-f(x)>f(t)-f(0),
∴对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0),即对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).
一题多解·练思维
已知函数f(x)=aex-ex.
(1)若对于任意实数x都有f(x)≥0成立,求实数a的取值范围;
(2)当a≥1,且x≥0时,证明:f(x)≥(x-1)2.
(1)解 因为对任意实数x都有f(x)≥0即aex-ex≥0,
当x<1时,g'(x)>0;当x>1时,g'(x)<0.所以g(x)在x=1处取得极大值即最大值,且g(1)=1,故a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞).
(2)证明 由于当a≥1,且x≥0时,f(x)=aex-ex≥ex-ex,因此只需证明
ex-ex≥(x-1)2.
当0≤x<3-e时,h'(x)<0,h(x)单调递减;
当3-e0,h(x)单调递增;
当x>1时,h'(x)<0,h(x)单调递减.
所以h(x)在x=1处取得极大值,又h(0)=0,h(1)=0,因此当x≥0时,必有h(x)≤0.
故原不等式成立.
(方法二)令s(x)=ex-ex-(x-1)2,x≥0,则s'(x)=ex-e-2(x-1).
设p(x)=ex-e-2(x-1),则p'(x)=ex-2,由p'(x)=0得x=ln 2.
当x∈[0,ln 2)时,p'(x)<0,当x∈(ln 2,+∞)时,p'(x)>0,又p(1)=0,
p(0)=3-e>0,0所以存在x0∈[0,ln 2),使得p(x0)=0.
当x∈[0,x0)时,p(x)>0,当x∈(x0,1)时,p(x)<0,当x∈(1,+∞)时,p(x)>0.
所以s(x)在区间[0,x0)内单调递增,在区间(x0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
又s(0)=s(1)=0,所以s(x)≥0.故原不等式成立.
命题角度2 构造函数,利用最值证明不等式
[例1-2]已知函数f(x)=aex-4x,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a=1时,求证:f(x)+x2+1>0.
(1)解 f'(x)=aex-4.
当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在R上单调递减;
(2)证明 当a=1时,f(x)=ex-4x,令g(x)=f(x)+x2+1=ex-4x+x2+1,
则g'(x)=ex-4+2x,令h(x)=ex-4+2x,则h'(x)=ex+2>0恒成立,所以g'(x)在R上单调递增,又g'(0)=-3<0,g'(1)=e-2>0,所以存在x0∈(0,1),使得g'(x0)=0,
即 -4+2x0=0.
当x∈(-∞,x0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
由于x0∈(0,1),所以g(x)min>0,
所以g(x)>0,
故f(x)+x2+1>0.
名师点析构造函数利用最值证明不等式
在证明不等式f(x)>0(f(x)<0)时,可通过证明f(x)min>0(f(x)max<0)来实现,因此关键是求出函数f(x)的最小值(最大值).在求函数f(x)的最值时,主要利用导数通过单调性及极值求得,有以下几种情形
(1)直接求得f(x)的最值,且最值是一个具体的实数.
(2)求得f(x)的最值,且最值是一个含有参数的代数式,再说明该代数式的最值大于0(小于0).
(3)通过隐零点求得f(x)的最值,再说明含有隐零点的最值表达式大于0(小于0).
精典对练·得高分
(2023·河南郑州模拟)已知函数
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当m=1时,证明:x2f(x)当m+1≥0,即m≥-1时,x+(m+1)>0,
由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0所以f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,在区间(0,1)内单调递减.
当m+1<-1,即m<-2时,
由f'(x)>0,得x>-m-1或0由f'(x)<0,得1所以f(x)在区间(0,1),(-m-1,+∞)内单调递增,在区间(1,-m-1)内单调递减.
当-1由f'(x)>0,得01;
由f'(x)<0,得-m-1所以f(x)在区间(0,-m-1),(1,+∞)内单调递增,在区间(-m-1,1)内单调递减.
当m+1=-1,即m=-2时,f'(x)≥0,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
综上所述,当m≥-1时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
当m<-2时,f(x)的单调递增区间为(0,1),(-m-1,+∞),单调递减区间为(1,-m-1);
当-2单调递减区间为(-m-1,1);
当m=-2时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
设k(x)=ex-x,则k'(x)=ex-1.
因为当x>0时,k'(x)>0,所以函数k(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又k(0)=1>0,所以当x>0时,k(x)>0,即ex-x>0.
令h'(x)=0,得x=2,又当x>0时,ex-x>0,
所以当x∈(0,2)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;
数学思想·扩思路
等价转化思想
设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.
(1)求实数a的值;
(1)解 由题意,f(x)的定义域为(-∞,a).
令y=p(x)=xf(x),则p(x)=xln(a-x),x∈(-∞,a),
当x<0时,p'(x)>0,当0所以当a=1时,x=0是函数y=xf(x)的极大值点.
因为当x∈(-∞,0)时,xln(1-x)<0,当x∈(0,1)时,xln(1-x)<0,所以需证明
x+ln(1-x)>xln(1-x),即需证明x+(1-x)ln(1-x)>0.
令h(x)=x+(1-x)ln(1-x),x<1,则h'(x)=(1-x) +1-ln(1-x)=-ln(1-x),所以h'(0)=0,当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,当x∈(0,1)时,h'(x)>0,所以x=0为h(x)的唯一极小值点,也是最小值点,所以当x∈(-∞,0)∪(0,1)时,h(x)>h(0)=0,所以g(x)<1.
命题角度3 利用放缩法证明不等式
[例1-3] (2023·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=ln x-ax+2(a>0).
(1)若f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;
名师点析放缩法证明不等式
在证明不等式时,若直接证明比较困难,可将不等式中的部分项进行放大或缩小,然后证明放缩后的不等式成立,再根据不等式的传递性证明原不等式成立.常用的放缩技巧有ex≥x+1,ex-1≥x,ln x≤x-1,ln(x+1)≤x等.
精典对练·得高分
已知函数f(x)= 在x=1处取得极值.
(1)求实数a的值,并求函数f(x)的单调区间;
(2)证明:f(x)+x+ >0.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在x=1处取得极小值,且f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
所以当x∈(0,1)时,g(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,g(x)单调递增,
所以g(x)≥g(1)=0,
即ln x≤x-1,
则ln(2x)≤2x-1,
即ln 2+ln x≤2x-1,
命题角度4 利用“凹凸反转法”证明不等式
名师点析“凹凸反转法”证明不等式
在证明不等式f(x)>0时,可将f(x)进行合理地拆分,转化为h(x)>g(x)的形式,其中函数h(x),g(x)的图象分别呈现凹凸形状,实质就是函数h(x),g(x)分别具有最小值和最大值,然后分别求出函数h(x),g(x)的最小值和最大值,只需说明h(x)min≥g(x)max,且h(x)取最小值与g(x)取最大值时的x的值不一样,即可证明h(x)>g(x),这种证明不等式的方法称为“凹凸反转法”.
精典对练·得高分
考向二 利用导数证明双变量不等式
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)设函数F(x)=f(x)+xln a,x1,x2是函数f(x)的两个极值点,证明:F(x1)+F(x2)<1-4ln 2.
所以当x∈(0,x1')时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(x1',x2')时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(x2',+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增,
名师点析证明含双变量的函数不等式的常见思路
(1)将双变量中的一个看作变量,另一个看作常数,构造一个含参数的辅助函数证明不等式.
(2)整体换元.对于齐次式往往可将双变量整体换元,化为一元不等式.
(3)若含双变量的函数不等式具有对称性,并且可以将两个变量分离开,分离之后的函数结构具有相似性,从而构造函数利用单调性证明.
精典对练·得高分
(1)解 由题意,知函数f(x)的定义域为(0,+∞), ,x>0,
令x2-2ax+1=0,则其根的判别式Δ=4a2-4.
当Δ≤0,即-1≤a≤1时,f'(x)≥0,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;
当Δ>0,即a>1或a<-1时,若a<-1,-2ax>0,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;
若a>1,令f'(x)=0,得 ,x2'>x1',当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示.
x (0,x1') x1' (x1',x2') x2' (x2',+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
考向三 利用导数证明与数列有关的问题
已知函数f(x)=(x+1)ln x.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=f'(1)=2,
又f(1)=0,所以所求切线方程为y=2(x-1),
即2x-y-2=0.
(2)证明 设F(x)=(x+1)ln x-2x+2(x>1),
当x>1时,g'(x)>0,
所以g(x)在区间(1,+∞)内单调递增,
又g(1)=0,所以g(x)>0,即F'(x)>0,
所以F(x)在区间(1,+∞)内单调递增,
所以F(x)>F(1)=0,
故x>1时,(x+1)ln x>2(x-1).
令x=n2-2>1(n∈N,且n≥2),
则(n2-1)ln(n2-2)>2(n2-3),
名师点析证明与数列有关的不等式的策略
在证明与数列有关的不等式时,往往是从题目中已经证得的结论(参数的取值范围,不等式等)出发,通过特殊化处理(即将其中的变量替换为特殊的变量,尤其是可替换为与自然数n有关的式子),再结合数列中的裂项求和以及不等式的放缩等方法证得结论.
精典对练·得高分
(2022·新高考Ⅱ,22)已知函数f(x)=xeax-ex.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x>0时,f(x)<-1,求实数a的取值范围;
解 (1)当a=1时,f(x)=(x-1)ex,则f'(x)=xex,当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,
故函数f(x)在区间(-∞,0]内单调递减,在区间[0,+∞)内单调递增.
(2)设h(x)=xeax-ex+1,则h(0)=0,
h'(x)=(1+ax)eax-ex,设g(x)=(1+ax)eax-ex,
则g'(x)=(2a+a2x)eax-ex.
若 ,则g'(0)=2a-1>0.
易知g'(x)为连续不间断函数,
故存在x0∈(0,+∞),使得 x∈(0,x0),总有g'(x)>0,
因而g(x)在区间(0,x0)内单调递增,故g(x)>g(0)=0,
故h(x)在区间(0,x0)内单调递增,故h(x)>h(0)=0,与题设矛盾.
若0下面证明:对任意x>0,总有ln(1+x)故S(x)在区间(0,+∞)内单调递减,故S(x)所以eax+ln(1+ax)-ex故h'(x)≤0总成立,即h(x)在区间(0,+∞)内单调递减,
所以h(x)当a≤0,x>0时,有h'(x)=eax-ex+axeax<1-1+0=0,
所以h(x)在区间(0,+∞)内单调递减,
所以h(x)突破3
利用导数研究函数的零点
必备知识 精要梳理
判断或讨论函数零点个数问题的常用方法与策略
(1)直接法:先对函数求导,根据导数求出函数的单调区间与极值,从而画出函数图象,然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题.
(2)分段讨论法:当函数解析式中含有参数或不宜直接画出函数图象时,可以结合导函数的取值情况,对函数的定义域所在的区间分段讨论,判断分析函数在每一段上零点的个数情况,从而得到函数在整个定义域上的零点个数.
(3)虚设零点法:通过虚设零点,确定函数的单调区间以及极值,从而得到函数值的变化情况,以确定函数零点的个数.
(4)构造新函数法(数形结合):将问题转化为研究两函数图象的交点问题,先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.
关键能力 学案突破
考向一 判断、证明或讨论函数零点的个数
命题角度1 直接法判断、证明或讨论函数零点的个数
[例1-1]已知函数f(x)=-ln x+2x-2.
(1)求曲线y=f(x)的斜率等于1的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)设g(x)=x2f(x)-2f(x),判断函数g(x)的零点个数,并说明理由.
得x0=1,所以y0=-ln 1+2-2=0.
故所求切线方程为y-0=1×(x-1),即y=x-1.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
方法点拨直接法判断函数零点个数
对于解析式中不含参数的函数,可利用导数确定函数的单调区间、极值、最值情况,同时结合函数值的变化情况,画出函数的大致图象,观察图象与x轴交点的情况,从而确定函数零点的个数.
精典对练·得高分
(2023·广西南宁三中模拟)已知函数f(x)=ln x-(a-1)x+1.
(1)若f(x)存在极值,求实数a的取值范围;
(2)当a=2,且x∈(0,π)时,证明:函数g(x)=f(x)+sin x有且仅有两个零点.
当x∈(0,1)时,F'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,F'(x)<0,
则F(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,
即F(x)max=F(1)=0,
故F(π)可知g(x)在区间(0,α)和(α,π)内分别恰有一个零点.
所以当x∈(0,π)时,g(x)有且仅有两个零点.
数学思想·扩思路
分类讨论思想
已知函数f(x)=ex-2ax-a.
(1)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围;
(2)当a>0时,求函数f(x)的零点个数.
(2)f'(x)=ex-2a,当a>0时,由f'(x)>0,有x>ln(2a),
f(x)在区间(ln(2a),+∞)内单调递增;
由f'(x)<0,有x∴f(x)的极小值为f(ln(2a))=a-2aln(2a).
∵当x→-∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,
命题角度2 利用隐零点法判断、证明或讨论函数零点的个数
[例1-2]已知f(x)=sinnx,g(x)=ln x+mex(n为正整数,m∈R).
(1)若曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线垂直于直线y= x,求实数m的值;
(2)当n=1时,设函数h(x)=x2-1-2f(x),x∈(0,π),证明:函数h(x)只有1个零点;
只需证x+ln x+1-xex≤0.
令F(x)=ex-x-1,则F'(x)=ex-1,
当x<0时,F'(x)<0,F(x)单调递减,当x>0时,F'(x)>0,F(x)单调递增,
故当x=0时,F(x)取得最小值F(0)=0,所以F(x)≥0,所以ex≥x+1,
所以ex+ln x≥x+ln x+1,所以xex≥x+ln x+1,即x+ln x+1-xex≤0,
方法点拨借助隐零点判断或证明函数零点情况
在利用导数研究函数的零点问题时,需要确定函数的单调性或极值,因而需要确定函数或导函数的零点,当零点无法直接求解时,我们可以虚设零点,即利用“隐零点法”解决函数零点问题.通过隐零点,确定函数的单调区间,从而得到函数的极值与最值,然后通过极值的正负判断、分析函数值的正负情况,从而得到零点的个数.
精典对练·得高分
已知函数f(x)=kx-xln x在区间(0,+∞)内的最大值为1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)讨论函数F(x)=f(x)-cos x在区间[ ,+∞)内的零点的个数.
解 (1)由f(x)=kx-xln x,得f'(x)=k-1-ln x.
因为函数f(x)在区间(0,+∞)内有最值,所以函数f(x)在区间(0,+∞)内不是单调函数.
令f'(x)>0,得0令f'(x)<0,得x>ek-1,所以f(x)的单调递增区间是(0,ek-1),单调递减区间是
(ek-1,+∞).
故f(x)在x=ek-1处有极大值f(ek-1)=ek-1,也是f(x)的最大值,所以ek-1=1,解得k=1.
故f(x)=x-xln x.
(2)由(1)可得F(x)=x-cos x-xln x,所以F'(x)=sin x-ln x,设h(x)=sin x-ln x.
当x∈(e,+∞)时,h(x)=F'(x)<0,所以F(x)单调递减.
考向二 已知函数零点情况求参数的值或范围
[例2]已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=ex-(x+2),则f'(x)=ex-1.
当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0,
所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.
(2)(方法一)f'(x)=ex-a.
当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增.
故函数f(x)至多存在一个零点,不符合题意.
当a>0时,由f'(x)=ex-a=0,可得x=ln a.
当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.
因此当x=ln a时函数f(x)取得最小值,且f(ln a)=-a(1+ln a).
(方法二)若f(x)有两个零点,即ex-a(x+2)=0有两个根,
因此函数g(x)=ex的图象与直线l:y=a(x+2)有两个不同的交点.
方法总结根据函数零点情况求参数的取值范围问题的解法
(1)将函数中的参数λ与变量分离,得λ=g(x),转化为研究方程λ=g(x)根的个数问题,然后利用导数研究函数g(x)的最值或值域,结合图象,根据直线y=λ与函数g(x)的图象交点的个数确定参数λ的取值范围.
(2)直接研究函数f(x)的单调性与极值情况,必要时分类讨论,同时结合函数零点存在定理建立不等式求解.
(3)转化为两个熟悉函数的图象的位置关系问题,借助直线与曲线相切作为临界状态,再根据零点个数进一步构建不等式求解.
精典对练·得高分
已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=ln(1+x)+xe-x,
所以f(0)=0,f'(0)=2,
所以所求切线方程为y=2x.
若-1≤a<0,则当x∈(0,1]时,g(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,
所以当x>0时,g(x)>0恒成立,即f'(x)>0恒成立,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,不符合题意,舍去.
若a<-1,则g(0)<0,又g(-1)=1>0,g(1)=1>0,
当x>1时,g(x)>0恒成立,所以存在唯一的x1∈(-1,0),x2∈(0,1),使g(x1)=g(x2)=0.
所以f(x)在区间(-1,x1),(x2,+∞)内单调递增,在区间(x1,x2)内单调递减,所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)0恒成立;当x∈(0,x2)时,f(x)<0恒成立.
令h(x)=xe-x,则h'(x)=e-x(1-x),所以当x>1时,h'(x)<0,所以h(x)在区间(1,+∞)内单调递减,所以当x>1时,01时,axe-x>a.
取x=e-a,因为a<-1,0e>x2,
所以f(e-a)>ln(1+e-a)+a>ln e-a+a=0.
又f(x2)<0,所以f(x)在区间(x2,+∞)内只有一个零点,即f(x)在区间(0,+∞)内只有一个零点.
由h'(x)=e-x(1-x),知当-10,所以h(x)在区间(-1,0)内单调递增,
所以当-1-e.又a<-1,所以axe-x<-ae.
取x=e3a-1∈(-1,0),则f(e3a-1)又f(x1)>0,所以f(x)在区间(e3a-1,x1)内只有一个零点,
即f(x)在区间(-1,0)内只有一个零点.
综上所述,a的取值范围为(-∞,-1).
数学思想·扩思路
函数与方程思想
设函数f(x)=ax2-ln x,其中a∈R.
(1)若a= ,求函数f(x)的单调区间;
(2)若方程f(x)=x恰有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围.
∵f(x)的定义域为(0,+∞),
∴当x∈(0,1)时,f'(x)<0,即f(x)的单调递减区间为(0,1);
当x∈[1,+∞)时,f'(x)≥0,即f(x)的单调递增区间为[1,+∞).
又因为h(1)=0,所以当x∈(0,1)时,h(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,
所以当x∈(0,1)时,g'(x)>0,则g(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
所以g(x)max=g(1)=1,且g(x)在区间(1,+∞)内恒大于0.
画出函数g(x)的大致图象,如图.
由图可知,要使f(x)=x有两个不相等的实数根,需满足直线y=a与函数g(x)的图象有两个交点,故实数a的取值范围为(0,1).
考向三 与函数零点有关的不等式的证明问题
命题角度1 构造对称和(或差)证明不等式
[例3-1]已知函数f(x)=ln x- ax2+1.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y=0垂直,求函数f(x)在区间(0,1]内的最大值;
(2)当a=1时,设函数f(x)的两个零点为x1,x2,试证明:x1+x2>2.
所以F(x)在区间(0,1)内单调递增,所以F(x)所以f(x1)因为x2>1,2-x1>1,f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,
所以x2>2-x1,即x1+x2>2.
名师点睛构造对称和(或差)证明不等式的基本思路
(1)确定极值点以及零点的范围:利用导数研究函数的单调性以及极值,确定极值点x0,进而确定函数两个零点x1,x2的范围为x1(2)构造函数:根据极值点构造对称函数F(x)=f(x)-f(2x0-x)或F(x)=f(x0+x)-f(x0-x).
(3)比较大小:利用导数确定函数F(x)的单调性,判断F(x)的正负,从而得到f(x)与f(2x0-x),f(x0+x)与f(x0-x)的大小关系.
(4)转化得到结论:根据函数f(x)的单调性,将f(x)与f(2x0-x),f(x0+x)与f(x0-x)的大小关系转化为x与2x0-x,x0+x与x0-x的大小关系,即得结论.
精典对练·得高分
(2023·北京丰台一模)已知函数
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)有两个不相等的零点x1,x2.
①求a的取值范围;
②证明:x1+x2>2ln a.
又a>0,所以由f'(x)>0得x>ln a,由f'(x)<0得x所以函数f(x)在区间(-∞,ln a)内单调递减,在区间(ln a,+∞)内单调递增.
所以函数f(x)无极大值,有极小值f(ln a)=1+ln a.
(2)①由(1)可知,函数f(x)在区间(-∞,ln a)内单调递减,在区间(ln a,+∞)内单调递增,
因为函数f(x)有两个不相等的零点x1,x2,所以f(ln a)=1+ln a<0,
又x2>ln a,所以F(x2)即F(x2)=f(x2)-f(2ln a-x2)<0,即f(x2)所以f(x1)因为x1由(1)知函数f(x)在区间(-∞,ln a)内单调递减,所以x1>2ln a-x2,
即x1+x2>2ln a,结论得证.
命题角度2 通过“根商”构造函数证明不等式
名师点析通过“根商”构造函数证明不等式
通过“根商”构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数,再结合所证问题,巧妙引入变量t= ,从而构造函数.
(1)巧妙消参:利用方程f(x1)=f(x2)=0消掉解析式中的参数.
(2)抓商构元:令t= ,消掉变量x1,x2,构造关于t的函数h(t).
(3)用导数求解:利用导数研究函数h(t)的单调性和极值、最值,即可证得结论.
精典对练·得高分
已知函数f(x)=ln x+ ax2-(a+1)x(a∈R).
(1)当a=1时,判断函数f(x)的单调性;
(2)若关于x的方程f(x)= ax2有两个不同的实数根x1,x2,求实数a的取值范围,并证明x1x2>e2.