2023—2024学年北师大版数学九年级上册第四章图形的相似单元测试（含答案）

第四章 图形的相似
一、单选题
1．已知线段a＝2，b＝4，则线段a，b的比例中项c为（　　）
A．3 B． C． D．
2．两个五边形相似，一组对应边长分别为3cm和4.5cm；若它们的面积和是78cm2，则较大五边形的面积为（　　）
A．42cm2 B．52cm2 C．54cm2 D．56cm2
3．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（　　）．
A． B． C． D．
4．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则下列结论中正确的是（　　）
A．AB2=AC2+BC2
B．BC2=AC·AB
C．
D．
5．如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，已知，若，，则为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四边形 与四边形 位似，点O为位似中心已知 ，则四边形 与四边形 的周长比为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（　　）
A．6 B．15 C．24 D．27
8．如图，已知在梯形 中， ∥ ， ，如果对角线 与 相交于点O，△ 、△ 、△ 、△ 的面积分别记作 、 、 、 ，那么下列结论中，错误的是（　　）
A． ； B． ；
C． ； D． ；
二、填空题
9．如图，在△ABC中，DE∥BC， ， DE＝6，则BC的长是　 　．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于BC，添加一条件能使△ABC∽△ADE的是　 　.
11．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为，点A，B的对应点，分别为点，．若，则的长为　 　．
12．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，交于点，若，，则的长为　 　.
13．如图，将矩形 沿EF折叠，使点B落在点 上，点 落在点 处.点 是折痕 上的任一点，过点 作 于点 ， 交 于点 .若 ， ， ，则 的值是　 　.
三、解答题
14． 如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB=12，CD=6，DE：EG：GA=3：4：5．求EF和GH的长．
15．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
16．在△ABC中,AB=4cm,BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,经几秒后,点P、B、Q构成的三角形△PBQ与△ABC相似
17．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离.
18．如图，△ABC中，AB=AC，AO是角平分线，D为AO上一点，作△CDE，使DE=DC，∠EDC=∠BAC，连接BE．
（1）若∠BAC=60°，求证：△ACD≌△BCE；
（2）若∠BAC=90°，AD=DO，求 的值；
（3）若∠BAC=90°，F为BE中点，G为 BE延长线上一点，CF=CG，AD=nDO，直接写出 的值．
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．B
6．C
7．C
8．B
9．18
10．∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C或
11．10
12．2
13．
14．解：过C作CQ∥AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，如图，
∵CD∥AB，
∴四边形AQCD为平行四边形，
∴AQ=CD=6，
同理可得GN=EM=CD=6，
∴BQ=AB﹣AQ=6，
∵DC∥EF∥GH∥AB，
∴DE：EG：GA=CF：HF：HB=3：4：5，
∵MF∥NH∥BQ，
∴MF：BQ=CF：CB=3：（3+4+5），NH：BQ=CH：CB=（3+4）：（3+4+5），
∴MF=×6=1.5，NH=×6=3.5，
∴EM=EM+MF=6+1.5=7.5，HG=GN+NH=6+3.5=9.5．
15．解：∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，∴∠ABE=∠ACD又∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC∴∠DAC=∠EAB∴△ABE∽△ACD．
16．解：设经过ts后△PBQ∽△ABC，
根据已知条件可得AP=t，BQ=2×t，
当△PBQ∽△ABC时，
，
∴ ，
∴ t=2s；
设经过ts后△PBQ∽△CBA
当△PBQ∽△CBA时，
∴ ，
∴ t=0.8s，
故经过0.8秒或2秒后,两三角形相似.
17．解：在△ABC与△AMN中，
， 又 ，
，
， 即 ，
解得：MN＝1500米，
答：M、N两点之间的直线距离是1500米；
18．（1）证明：如图1中，
∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE．∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB﹣∠DCO=∠DCE﹣∠DCO，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）如图2中，
∵AB=AC，OA平分∠BAC，
∴AO⊥BC，OB=OC，
∵∠BAC=∠EDC=90°，AB=AC，DE=DC，
∴∠ACB=∠DCE=45°，BC= AC，EC= CD，
∴ = ，∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴ = = ，
∵OA=OB=OC，AD=OD，
∴AD= BC，
∴ = ，
∴ =
（3）如图3中，作CH⊥BG于H．
由（2）可知△ACD∽△BCE，
∴BE：AD= ，∠CAD=∠CBE=45°，设OD=k，则AD=nk，BE= nk，AO=（n+1）k，
∵∠ABC=∠HBC=45°，∠BAC=∠BHC，BC=BC，
∴△ABC≌△HBC，
∴BH=CH=AB=AC= （n+1）k，BF= nk，
FH=HG= （n+1）k﹣ nk，
∴ = =