人教版数学九年级上册 期末总复习 学案（含答案）

期末总复习
班级：_____________姓名：__________________组号：_________
新定义专题
一、知识梳理
1．定义新运算“＊”如下：当a≥b时，a＊b=ab+b；当a＜b时，a＊b=ab-A．若（2x-1）＊(x+2)=0，则x=_____________。
2．若ab=4，则称a与b是关于2的“比例数”。
（1）2关于2的比例数是_____________；5与-2与_____________是关于2的比例数；
（2）若X1、X2是方程x +（m-4）x+m +3=0的两根，且X1、X2是关于2的比例数，试求m的值。
3．如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为和谐点。请写出一个和谐点的坐标：_________。
4．定义[，，]为函数＝2+的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的四个结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（）；②当m＞0时，函数图象截轴所得的线段长度大于；
③当m＜0时，函数在＞时，随的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点。
其中正确的结论有（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④
二、综合运用
5．（1）①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离。②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB CD+BC DA=AC BD．此为托勒密定理。
（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点。求证：PB+PC=PA；
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A．∠B．∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在弧BC上任取一点P′，连接P′A．P′B．P′C．P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+_________；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离。
三、课堂检测
1．在平面直角坐标系中。过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点。例如。图中过点P分別作x轴，y轴的垂线。与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点。
（1）判断点M（l，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b的值。
2．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）。如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA。容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对
定义，解下列问题：
（1）sad60°=_________。
（2）对于0°（3）如图②，已知sina，其中∠A为锐角，试求sadA的值。
四、课堂小结
五、拓展延伸
阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x1，0），B（x2，0）的距离记作AB=|x1-x2|是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离，如图，过A，B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x1-x2|，BQ=|y1-y2|，∴AB2=AQ2+BQ2=|x1-x2|2+|y1-y2|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2，由此得到平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为：AB=____________________________________。
（1）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1，-3），B（-2，1）之间的距离为AB=___________________________；
（2）利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点A（0，3），B（4，1），P为x轴上任一点，则PA+PB的最小值和此时P点的坐标；
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【答案】
【知识梳理】
1．
2．（1）2；4
（2）∵X1、X2是方程x +（m-4）x+m +3=0的两根，X1、X2是关于2的比例数，
∴X1.X2=m +3=4，解得：m=1（根的判别式小于0舍去）或m=-1，
3．（2，2）
4．B
【综合运用】
5．解：（1）①证明：由托勒密定理可知PB AC+PC AB=PA BC
∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC，∴PB+PC=PA，
②P′D、AD，
（2）如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则知线段AD的长即为△ABC的费马距离。
∵△BCD为等边三角形，BC=4，
∴∠CBD=60°，BD=BC=4，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，
∵AB=3，BD=4，
∴AD===5（km），
∴从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km
【课堂检测】
1．解；（1）
点不是和谐点，点是和谐点。
（2）由题意得，当时，
，点在直线上，代入得；
当时，。
，点在直线上，代入得。
2．（1）1
（2）0（3）解；设AB=5a，BC=3a，则AC=4a
如图，在AC延长线上取点D使AD=AB=5a，连接BD．
则CD=a
BD
∴sadA
【课堂小结】
略
【拓展延伸】
（1）
（2）如图，作点B关于x轴对称的点B′，连接AB′，直线AB′于x轴的交点即为所求的点P。
①∵B（4，1），∴B′（4，-1）。
又∵A（1，3），∴直线AB的解析式为：y=-x+1=
当y=0时，x=，即P（，0）；
②PA+PB=PA+PB′=AB′=，即PA+PB的最小值为5
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