2023—2024学年苏科版九年级数学下册7.5解直角三角形同步练习题（含解析）

2023-2024学年苏科版九年级数学下册《7.5解直角三角形》同步练习题（附答案）
一、单选题
1．在中，，当已知和a时，求c，应选择的关系式是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
3．某楼梯的侧面如图所示，已测得的长约为米，约为，则该楼梯的高度可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使（河的两岸平行）.若利用测量工具测得为m米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为为格点．为大正方形的内切圆， 交于点，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一个木块沿着倾斜角为的斜坡，从滑行至已知米，则这个木块的高度约下降了（参考数据：，，）（ ）
A．3．65米 B．3．40米 C．3．35米 D．3．55米
二、填空题
9．Rt△ABC中，，，AB=，则AC= ．
10．公园有一个亭子的底面是边长为2m的正六边形，这个正六边形底面的面积是 m2．
11．在ABC中，，，，那么的长为 ．
12．如图， ，点P在OA上， PC=PD，若CO=5cm，OD=8cm ，则 OP的长是 ．
13．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，则BC的长度为 ．
14．如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为，树的高度都是．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 ．
15．如图，中，CD是AB边上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB=，点P为CD上一动点，当BP+CP最小时，DP= ．
16．在⊙O中，半径R=1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC的度数为 ．
三、解答题
17．解直角三角形
(1)；
(2)．
18．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值．
19．如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角为，窗户的一部分在教室地面所形成的影长为米，窗户的高度为米．求窗外遮阳蓬外端一点到教室窗户上椽的距离．（参考数据：，结果精确米）
20．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：△AFD≌△BFE；
（2）求证：四边形AEBD是菱形；
（3）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
21．如图，为的直径，点D为O上一点，E为的中点，点C在的延长线上，且．

(1)求证：为的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
22．如图，在中，是上的一点，与交于点，与交于点．

(1)如图1，是的中点．
①求证：．
②求的值．
(2)如图2，若，，，，求的长．
参考答案
1．解:在中，，
∴，
∴，
故选：A．
2．解：在中，
，
．
，
．
．
．
故选：D．
3．解：在中， 的长约为米，约为，，
∴．
故选：A．
4．解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∵对角线的垂直平分线分别交于点，
∴，，
∵，则，
∴，
∴，
解得：，
故选：D
5．解：∵BP⊥AP，
∴∠APB＝90°，
在Rt△ABP中，PB＝m米，∠PBA＝α，
∴PA＝PB tanα＝mtanα（米），
∴小河宽度PA为mtanα米，
故选：C．
6．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB，
∴,
又∵CD＝3，
∴AB＝6，
，
∴＝＝，
故选：D．
7．解：由题意可得，∠AED=∠ABD
在Rt△ABC中，AC=1，AB=2，由勾股定理可得：
BC=
所以cos∠AED=cos∠ABD=
故选：B．
8．解:本题考查三角函数的定义．过点作水平面的垂线，垂足为，则，故（米），故选A．
9．解：Rt△ABC中，，
∴，
∴，
故答案为：1．
10．解：如图，连接正六边形对角顶点交于O点，过O点作AB边垂线于H点，
易知为等边三角形，，，
，
这个正六边形底面的面积，
故答案为：．
11．解：∵在ABC中，，，，
∴；
故答案为6．
12．解：过点P作PE⊥OB
∵CO=5cm，OD=8cm ，
∴CD=OD-CO=3
又∵PC=PD，PE⊥OB
∴CE=
∴OE=OC+CE=
∴在Rt△POE中，
故答案为：13cm．
13．解:作DE∥AC交AB于E，如图，
∵DA⊥AC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADE＝90，
∵点D是BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，
在Rt△ADE中，tan∠EAD＝＝，
设DE＝x，则AD＝2x，
∵AD2＋DE2＝AE2，
∴（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，
∴DE＝2，AD＝4，
∴AC＝2DE=4，
∴CD＝，
∴BC＝2CD＝
故答案为：．
14．解:如图，∵∠BAC＝30，∠ACB＝90，AC＝，
∴AB＝AC/cos30＝（m）．
故答案是：12．
15．解：如图，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′．
∵CD⊥AB，∠ACD=30°，∠PEC=90°，AC=8，
∴PE=PC，∠A=60°，∠ABE′=30°，AD=4，CD=4，
∴PB+PC=PB+PE，
∴当BE′⊥AC时，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，
∵tan∠ACB=，设BE′=5，CE′=3k，
∴AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，
∴BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，
∴（12﹣6k）2+48=9k2+75k2，
整理得k2+3k﹣4=0，
∴k=1或﹣4（舍弃），
∴BE′=5，
∴PB+PC的最小值为5．
16．解：利用垂径定理可知：AD=，AE=，根据直角三角形中三角函数的值可知：sin∠AOD=，
所以可得∠AOD=60°，由sin∠AOE=，可得∠AOE=45°，因此可求得∠BAC=75°．而当两弦共弧的时候就是15°．
17．（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，，
∴，
∴．
18．解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴
即
解得：BD＝12；
（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝
19．解:过E作EG∥AC交BP于G，
∵EF∥DP，
∴四边形BFEG是平行四边形．
在Rt△PEG中,PE=3.5m,∠P=30
,
tan∠EPG=，
∴EG=EP tan∠P=3.5×tan30≈2.02(m).
又∵四边形BFEG是平行四边形，
∴BF=EG=2.02m，
∴AB=AF BF=2.5 2.02=0.48(m).
又∵AD∥PE,∠BDA=∠P=30，
在Rt△BAD中,tan30=，
∴AD= =0.48×≈0.8(米).
答：窗外遮阳蓬外端一点D到教室窗户上椽的距离AD为0.8m.
20．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF＝∠EBF，
∵∠AFD＝∠EFB，AF＝FB，
∴△AFD≌△BFE（AAS）；
（2）∵△AFD≌△BFE，
∴AD＝EB，∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴四边形AEBD是菱形．
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCB，
∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF，
∴tan∠ABE＝＝3，
∵BF＝，
∴EF＝，
∴DE＝3，
∴S菱形AEBD＝ AB DE＝＝15．
21．（1）证明：∵为的直径，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵E为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
所以
∴，
∴图中阴影部分的面积，
则
所以图中阴影部分的面积为
22．（1）解：①证明：如图1，
∵四边形，
∴
∴，
∴，
∴，
∵点为中点，
∴，
即，
∴；
②连接，

∵平行四边形对角线和相交于点，
∴点是的中点，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，，
∴，
故．
（2）解：∵，
∴平行四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴
解得：，
，
，
∴
故