2023—2024学年人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元综合测试题（含解析）

2023-2024学年人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（满分32分）
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则AC的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CD是△ABC的高（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在6×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠ABC的值是（　　）
A． B． C． D．
4．在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为27°（　　）
A．3sin27° B．3cos27° C． D．3tan27°
5．如图，小明在地面C处测得建筑物顶点A的仰角为30°，在地面D处测得建筑物顶点A的仰角为45°，D，C在一条直线上，已知CD＝26米（　　）
A．（13+13）米 B．（13+13）米
C．26米 D．26米
6．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，热气球A处与楼的水平距离为150m，则这栋楼的高度为（　　）
A． B． C． D．300m
7．如图，在△ABC中，AB＝5，sinB＝，则AC的长为（　　）
A．3 B． C． D．4
8．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）
A．76cm B．（64+12）cm
C．（64+12）cm D．64cm
二．填空题（满分32分）
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，则sinA的值是 　 　．
10．在直角坐标平面内有一点A（5，12），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为θ，那么sinθ的值为 　 　．
11．小明想测量塔CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，测得仰角为60°，那么该塔的高度为 　 　m．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）
12．如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，则C岛到港口B的距离是 　 　nmile．
13．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米　 　．
14．在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门高ME＝7.5米，小明身高BD＝1.5米，他站在点B处测得摄像头M的仰角为30°，求体温监测有效识别区域AB的长度＝　 　（结果带根号表示）．
如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60°，沿山坡向上走200米到达B处，且H、A、B、P在同一平面内，
那么电视塔的高度PH为　 　米．（结果保留根号形式）
16．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，则2号楼的高度为 　 　（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
三．解答题（满分56分）
17．计算：
（1）sin30°+4cos30° tan60°﹣cos245°；
（2）sin230°+tan245°+cos45°sin60°．
18．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，求BC的长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为D，AC＝4
（1）求BD的长；
（2）求∠ACD的正切值．
20．某市在地铁施工期间，相关部门在施工路段设立了矩形安全警示牌ABCD（如图所示），小东同学在距离安全警示牌8米（EF的长），测得安全警示牌顶端A点和底端B点的俯角分别是30°和45°，求安全警示牌宽AB的值．（结果保留根号）
21．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（BL∥MN），发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
（1）求图中B到一楼地面的高度．
（2）求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）
22．挡车器是安全停车的好妿手，车轮与挡车器斜面相切为挡车有效状态．如图，某挡车器的横截面是等腰梯形ABCD，与挡车器斜面恰好相切于点A，点O，A，B
（1）判断∠ABC与∠AOE的关系，并说明理由；
（2）测得挡车器腰长AB＝10cm，，求车轮⊙O的直径．
参考答案
一．选择题（满分32分）
1．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinA＝，
∵AB＝10，
∴BC＝8，
∴AC＝＝8，
故选：B．
2．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DCA+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
在Rt△ABC中，tanA＝＝，
∴tan∠BCD＝tanA＝，
故选：D．
3．解：
∵△ABD是直角三角形，
∴AB＝＝＝2，
∴sin∠ABC＝＝＝，
故选：A．
4．解：如图，过点A作AB⊥BC于B，
∴∠ABC＝90°，cos∠BAC＝，
∵AC＝3，∠BAC＝27°，
∴AB＝ACcos∠BAC＝3cos27°；
故选：B．
5．解：设AB＝x米，
在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴DB＝＝x（米），
在Rt△ABC中，∠C＝30°，
∴BC＝＝＝x（米），
∵BC﹣BD＝CD，
∴x﹣x＝26，
∴x＝13+13，
∴AB＝（13+13）米，
∴该建筑物AB的高度为（13+13）米，
故选：B．
6．解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°，AD＝150m，
在Rt△ABD中，BD＝AD tan30°＝150×（m），
在Rt△ACD中，CD＝AD tan60°＝150×（m），
∴BC＝BD+CD＝200（m）．
故选：C．
7．解：过A作AH⊥BC，交BC延长线于H，
∵sinB＝＝，AB＝7，
∴AH＝3，
∴BH＝＝4，
∴HC＝BH﹣BC＝4﹣8＝2，
∴AC＝＝．
故选：B．
8．解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，
则Rt△ACE中，AE＝×64＝32（cm），
同理可得，BF＝32cm，
又∵点A与B之间的距离为12cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32＝76（cm），
故选：A．
二．填空题（满分32分）
9．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，
则，
∴，
故答案为：．
10．解：如图，过A作AH⊥x轴于H，
∴AH＝12，OH＝5，
∴OA＝＝＝13，
∴sinθ＝＝．
故答案为：．
11．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，
∴BD＝AB＝50m．
∴DC＝BD sin60°＝50×＝25，
答：该塔高25m，
故答案为：25．
12．解：如图，过点A作AD⊥CD于点D，
根据题意得：∠CAD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝40°，
∴∠ACB＝40°+50°＝90°，
∵AC＝60nmile，AB＝65nmile，
∴BC＝＝25（nmile）．
故答案为：25．
13．解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.6，
故答案为：1：1.4．
14．解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，
∴CA＝EF＝BD＝3.5米，CD＝AB，
设FC＝x，
在Rt△MFC中，
∵∠MCF＝60°，
∴∠FMC＝30°，
∴MC＝2FC＝3x，MF＝x，
∵∠MDC＝30°，
∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，
∴CD＝CM＝2x，
∵ME＝MF+EF，
∴x+1.5＝7.5，
解得：x＝2，
∴MC＝2x＝4（米），
答：体温监测有效识别区域AB的长为4米，
故答案为：3米．
15．解：过B作BM⊥HA于M，过B作BN∥AM
则∠AMB＝90°，∠ABN＝∠BAM，
由题意得：AB＝200米，∠PBN＝15°，
∵山坡AB的坡度i＝1：，
∴tan∠BAM＝6：＝，
∴∠BAM＝30°，
∴∠ABN＝30°，
∴∠PAB＝180°﹣∠PAH﹣∠BAM＝90°，∠ABP＝∠ABN+∠PBN＝45°，
∴△PAB是等腰直角三角形，
∴PA＝AB＝200米，
在Rt△PAH中，sin∠PAH＝，
∴PH＝PA＝100，
故答案为：100．
16．解：过点E、F分别作EM⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC＝20，∠AFN＝40°，AB＝60，
∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM＝，
∴EM＝＝≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN＝，
∴AN＝tan40°×16.9≈14.4，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，
答：8号楼的高度约为45.8米，
故答案为：45.8米．
三．解答题（满分56分）
17．解：（1）原式＝＝＝7；
（2）原式＝＝＝．
18．解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠B，
∴AD＝BD，
∵AC＝4，
∴，
∴，
∴．
19．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵CD⊥AB，
∵S△ABC＝AB CD＝，
∴CD＝＝＝．
∵tanB＝＝，
∴＝，
∴BD＝；
（2）∵AB＝7，BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝，
∵CD⊥AB，
∴tan∠ACD＝＝＝．
20．解：如图：延长BA交PH于点G，
由题意得：
EF＝PG＝8米，∠PGA＝90°，
在Rt△PAG中，∠GPA＝30°，
∴AG＝PG tan30°＝8×＝（米），
在Rt△PGB中，∠GPB＝45°，
∴GB＝PG tan45°＝8×3＝8（米），
∴AB＝GB﹣GA＝（8﹣）米，
∴安全警示牌宽AB的值为（5﹣）米．
21．解：（1）过点B作BE⊥MN于E，如图（2）所示：
设AE＝xm，
∵AB的坡度为1：2.2，
∴＝，
∴BE＝xm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+（x）2＝132，
解得：x＝12，
∴AE＝12m，BE＝5m，
答：B到一楼地面的高度为5m；
（2）过点C作CF⊥MN于F交BL于G，过点D作DJ⊥CF于J交BE于H，
则BG＝2m，四边形BEFG，∠CDJ＝37°，
∴EF＝BG＝4m，AD＝FJ＝1.8m，
由（1）可知，AF＝AE+EF＝12+4＝14（m），
∴DJ＝14m，
在Rt△CDJ中，tan∠CDJ＝，
∴CJ≈0.75DJ＝0.75×14＝10.4（m），
∴CF＝CJ+FJ＝10.5+1.2＝12.3（m），
答：日光灯C到一楼地面的高度约为12.3m．
22．解：（1）∠ABC＝∠AOE．
理由如下：
由题意可知，⊙O与CB相切于点E，
∴∠OAB＝90°，∠OEB＝90°，
∵∠ABE+∠AOE+∠OAB+∠OEB＝360°，
∴∠ABE+∠AOE＝180°．
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABC＝∠AOE；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，AF⊥OE于点F，
在Rt△ABH中，∵AB＝10，，
∴HB＝AB cos∠ABC＝2，
∵BA，BE分别与⊙O相切于A，E，
∴BE＝AB＝10，
∵AH⊥BC，AF⊥OE，
∴∠AHE＝∠AFE＝∠FEH＝90°，
∴四边形AHEF是矩形，
∴AF＝HE＝HB+BE＝18，
∵∠ABC＝∠AOE，，
∴．
在Rt△OAF中，．
∵OA2﹣OF2＝AF2，
∴，
解得：OA＝30，
∴车轮⊙O的直径是60cm．