第5讲 含有绝对值不等式的性质
【课型】新授课
【教学目标】1.掌握含有绝对值不等式的性质
2.会用性质处理一些简单的最值问题
【预习清单】
【知识梳理】
1．含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则≤|a+b|≤|a|＋|b|，
当且仅当ab≤0时，左边等号成立；当且仅当ab≥0时，右边等号成立．
如果a，b是实数，则≤|a-b|≤|a|＋|b|，
当且仅当ab≥0时，左边边等号成立；当且仅当ab≤0时，右边等号成立；
2．利用含有绝对值的不等式的性质处理最值问题
（1），即|
（2），即
（3），即
【引导清单】
考向一： 利用含有两个绝对值的性质求最值
【例1】(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－y＋1|的最大值．
【解】(1)∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－(y－2)|≤|x－1|＋|y－2|≤1+1=2，即|x－y＋1|的最大值为2.
考向二： 利用含有两个绝对值的性质处理恒成立与能成立问题
【例2】(1)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围．
(2)若关于x的不等式|2022－x|＋|2023－x|≤d有解，求d的取值范围．
【解】(1)∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.(2)(1)∵|2022－x|＋|2023－x|≥|2022－x－2023＋x|＝1，∴关于x的不等式|2022－x|＋|2023－x|≤d有解时，d≥1
【训练清单】
【变式训练1】（1）求|x－1|－|x+5|的最大值。
（1）求＋|x－a|(a>0)的最小值．
【解】（1）因为|x－1|－|x+5|≤|（x－1）－（x+5)|=6,所以|x－1|－|x+5|的最大值为6（2）由a>0，有＋|x－a|≥＝＋a≥2.当且仅当“a＝1”时等号成立，＋|x－a|(a>0)的最小值为2．
【变式训练2】（1）若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，求实数a的取值范围。
（2）已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|，若f(x)≥4恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.（2）(2)因为f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|≥|a2－2a＋1|＝(a－1)2，所以f(x)的最小值为(a－1)2，又因为f(x)≥4恒成立，所以(a－1)2≥4，即|a－1|≥2时，解得a≥3或a≤－1.
【巩固清单】
1.已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．
【解】(1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈ ；当－32．已知函数f(x)＝|x＋m|－|5－x|(m∈R)．
(1)当m＝3时，求不等式f(x)>6的解集；
(2)若不等式f(x)≤10对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
【解】 (1)当m＝3时，f(x)>6，即|x＋3|－|5－x|>6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集．
，解得x≥5；或，解得46的解集为{x|x>4}．
（2）f(x)＝|x＋m|－|5－x|≤|(x＋m)＋(5－x)|＝|m＋5|，由题意得|m＋5|≤10，则－10≤m＋5≤10，解得－15≤m≤5，故m的取值范围为[－15，5]．
3．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
【解】 (1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|＝当2(2)由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2【课型】新授课
【学习目标】1.掌握含有绝对值不等式的性质
2.会用性质处理一些简单的最值问题
【预习清单】
【知识梳理】
1．含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则 ≤|a+b|≤ ，
当且仅当ab≤0时，左边等号成立；当且仅当ab≥0时，右边等号成立．
如果a，b是实数，则 ≤|a-b|≤ ，
当且仅当ab≥0时，左边边等号成立；当且仅当ab≤0时，右边等号成立；
2．利用含有绝对值的不等式的性质处理最值问题
（1），即|
（2），即
（3），即
【引导清单】
考向一： 利用含有两个绝对值的性质求最值
【例1】(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－y＋1|的最大值．
考向二： 利用含有两个绝对值的性质处理恒成立与能成立问题
【例2】(1)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围．
(2)若关于x的不等式|2022－x|＋|2023－x|≤d有解，求d的取值范围．
【训练清单】
【变式训练1】（1）求|x－1|－|x+5|的最大值。
（1）求＋|x－a|(a>0)的最小值．
【变式训练2】（1）若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，求实数a的取值范围。
（2）已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|，若f(x)≥4恒成立，求a的取值范围．
【巩固清单】
1.已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．
2．已知函数f(x)＝|x＋m|－|5－x|(m∈R)．
(1)当m＝3时，求不等式f(x)>6的解集；
(2)若不等式f(x)≤10对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
3．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
