课题：导数与定积分
知识点一、导数
1.导数的概念：函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量△x，那么函数y相应地有增量，
△y=f（x0+△x）－f（x0），比值叫做函数y=f（x）在x0到x0+△x之间的平均变化率，即
= 。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f ’（x）或y’ |x = x0；即f ‘（x）==。
2.导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0，f(x0))处的切线的斜率 。也就是说，曲线y=f(x)在点p(x0，f(x0))处的切线的斜率是f ’（x0）。相应地，切线方程为y－y0 = f ’(x0)(x－x0)
3.几种常见函数的导数：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）.
4.两个函数的和、差、积、商的求导法则：
（1）函数和（或差）的求导法则：设是可导的，则.
（2）函数积的求导法则：设是可导的，则，即两个函数的积的导。
特例：若C为常数,则.
（3）函数商的求导法则：设是可导的，且，则.
（简记为 （） ）
5.确定函数的单调性（求单调区间）
（1）在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数在这个区间内单调递减。
（2）如果在某区间内恒有，则为常数；
6.极点与极值：
（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜
率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
（2）极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有＜，则是函数
的极大值，极小值同理）
（3）求函数极值的步骤：①求导数 ②求方程的根 ③列表 ④下结论。
7.当函数在点x0处连续时：
① 如果在x0附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；
② 如果在x0附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值。
【典型例题】
【例1】函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【例2】函数内有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】若函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例4】函数，则的最小值是
【举一反三】
1．函数，则（ ）
A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点
C. 为函数的极大值点 D. 为函数的极小值点
2．已知函数,则过点可以作出（ ）条图象的切线
A． B． C． D．
4．函数的导函数为（ ）
A. B. C. D.
5．函数在其极值点处的切线方程为 ．
6．已知函数有极大值又有极小值，则的取值范围是 .
知识点二、定积分
1.定积分的概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式:
f (ξi)△x（其中△x为小区间长度。在等分情况下，△x = ），把n→∞即△x→0时，
和式的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即
＝f (ξi)△x。
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函
数，x叫做积分变量，f(x) dx叫做被积式。
2.基本的定积分公式：
（1） （2）（C为常数）
（3） （4）
（5） （6） （7）
【典型例题】
【例1】 （ ）
A． B． C． D．
【例2】若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【例3】若，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【例4】的值为______________________
【举一反三】
1．曲直线y=2x及曲线围成的封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
2．直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积等于___________.
3．计算 .
【课堂巩固】
1．函数的零点所在的区间是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．函数的零点是( )
A. B. C.3 D.
3．函数，则的值是（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D.
4．定积分的值为（ ）
A．0 B． C． D．-2
5．由，及轴围成的图形的面积为 ：
A、28 B、26 C、30 D、
6．在处有极大值，则常数的值为_____
7． ________.
8．计算定积分：= ．
【课后练习】
正确率：__________
1．曲线与直线x=1,x=2及x轴围城的封闭图形的面积是（ ） .
A.1 B.3 C.7 D.8
2．（ ）
A. 0 B. -1 C. D.
3．由曲线，直线及轴所围成的图形是面积为（ ）
A．12 B．24 C．16 D．18
4． 等于 ( )
A B 2 C －2 D ＋2
5．函数的导数 ，
6．若函数在处取得极值，则_____．
7．曲线在处的切线平行于直线,则点坐标为_______.课题：导数与定积分
知识点一、导数
1.导数的概念：函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量△x，那么函数y相应地有增量，
△y=f（x0+△x）－f（x0），比值叫做函数y=f（x）在x0到x0+△x之间的平均变化率，即
= 。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f ’（x）或y’ |x = x0；即f ‘（x）==。
2.导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0，f(x0))处的切线的斜率 。也就是说，曲线y=f(x)在点p(x0，f(x0))处的切线的斜率是f ’（x0）。相应地，切线方程为y－y0 = f ’(x0)(x－x0)
3.几种常见函数的导数：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）.
4.两个函数的和、差、积、商的求导法则：
（1）函数和（或差）的求导法则：设是可导的，则.
（2）函数积的求导法则：设是可导的，则，即两个函数的积的导。
特例：若C为常数,则.
（3）函数商的求导法则：设是可导的，且，则.
（简记为 （） ）
5.确定函数的单调性（求单调区间）
（1）在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数在这个区间内单调递减。
（2）如果在某区间内恒有，则为常数；
6.极点与极值：
（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜
率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
（2）极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有＜，则是函数
的极大值，极小值同理）
（3）求函数极值的步骤：①求导数 ②求方程的根 ③列表 ④下结论。
7.当函数在点x0处连续时：
① 如果在x0附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；
② 如果在x0附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值。
【典型例题】
【例1】函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,所以当 时, ; 当 时, ,因此当 时, 取最大值,选D.
【例2】函数内有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：因为 ，函数内有极小值，所以 ，所以.
考点：导数在函数中的应用.
【例3】若函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，所以，故选C.
考点：导数的计算.
【例4】函数，则的最小值是
【答案】
【解析】略
【举一反三】
1．函数，则（ ）
A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点
C. 为函数的极大值点 D. 为函数的极小值点
【答案】A
【解析】，故当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的极大值点．
2．已知函数,则过点可以作出（ ）条图象的切线
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：设切点为，，，，切线方程为，把代入，得，解得，或，所以切线有两条．故选C．
考点：导数的几何意义．
【名师点睛】本题考查导数的几何意义．在求函数图象的切线时，如果求函数图象上点处的切线，切线方程为，若求过点的切线方程，则设切点为，写出切线方程，再把代入切线方程，求得，有几解，则有几条切线．
4．函数的导函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：，故选B.
考点：商的求导法则.
5．函数在其极值点处的切线方程为 ．
【答案】y=
【解析】
试题分析：依题意得y′=ex+xex，令y′=0，可得x=-1，∴y=．
因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=．
考点：导数与切线．
【名师点睛】本题考查利用导数求切线方程，解题关键是掌握函数极值的定义，求得极值点与极值．方法是求得导函数，解方程，得极值点，若极值是，则所求切线方程为．本题是填空题，因此只要求得的解后，可以直接写出切线方程．如果是解答题还要判断方程的解是不是极值点，否则易出错．
6．已知函数有极大值又有极小值，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】
知识点二、定积分
1.定积分的概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式:
f (ξi)△x（其中△x为小区间长度。在等分情况下，△x = ），把n→∞即△x→0时，
和式的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即
＝f (ξi)△x。
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函
数，x叫做积分变量，f(x) dx叫做被积式。
2.基本的定积分公式：
（1） （2）（C为常数）
（3） （4）
（5） （6） （7）
【典型例题】
【例1】 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为，选B
【例2】若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，，所以
可化为，所以，的值是2.
选A.
考点：定积分计算，对数运算.
【例3】若，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数进行代入计算，根据等式 ，列出关于a的方程，从而求解．
解：∵，
∴=
=（-cosx）-（asinx）
=0-（-1）-a=2，
∴a=-1，
故选A．
【例4】的值为______________________
【答案】0
【解析】因为f(x)=x3+tanx+x2sinx， 1 x 1
所以f( x)= x3 tanx x2sinx= f(x)，
所以f(x)为奇函数，
.
【举一反三】
1．曲直线y=2x及曲线围成的封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：曲直线y=2x及曲线的交点坐标为（1,2），利用定积分几何意义，可知曲直线y=2x及曲线围成的封闭图形的面积为
2．直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积等于___________.
【答案】
【解析】直线 与抛物线的交点坐标为，
据此可得：直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积等于:
.
3．计算 .
【答案】
【解析】
试题分析：
考点：定积分
【课堂巩固】
1．函数的零点所在的区间是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】
试题分析：函数y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点；经计算，，，可知,，同时利用函数的单调性可知函数y＝f(x)在上是单调递增的，因此根据零点定理故选C
考点：1、函数零点的判定定理；2、函数的单调性的判断方法.
2．函数的零点是( )
A. B. C.3 D.
【答案】A
【解析】令解得，所以函数的零点为，故选A。函数零点是指函数与x轴交点的横坐标值，所以B不符合。
3．函数，则的值是（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D.
【答案】A
【解析】因为，所以， ．
4．定积分的值为（ ）
A．0 B． C． D．-2
【答案】B
【解析】解：利用微积分基本定理可得：
5．由，及轴围成的图形的面积为 ：
A、28 B、26 C、30 D、
【答案】A
【解析】解：因为利用定积分的几何意义可知，交点为（1,4）（3,28,）那么围成的面积为
，选A
6．在处有极大值，则常数的值为_____
【答案】2
【解析】
试题分析：，由函数在处有极大值可得
考点：函数导数与极值
7． ________.
【答案】0
【解析】
试题分析：方法一：，故填.
方法二：由于定积分性质可知，对于奇函数，若积分对应的区间关于原点对称，那么积分的结果一定为（通过图像也可以判别），故填.
考点：定积分运算.
8．计算定积分：= ．
【答案】
【解析】
试题分析：，结合定积分的几何意义可知所求定积分值为围成的曲边形，结合圆的面积公式可得
考点：定积分
【课后练习】
正确率：__________
1．曲线与直线x=1,x=2及x轴围城的封闭图形的面积是（ ） .
A.1 B.3 C.7 D.8
【答案】C
【解析】
试题分析：首利用定积分的几何意义求解即可．由题意，，故选C.
考点：定积分在求面积中的应用
2．（ ）
A. 0 B. -1 C. D.
【答案】A
【解析】被积函数 为奇函数，且积分上下限关于原点对称，
故
故选A
3．由曲线，直线及轴所围成的图形是面积为（ ）
A．12 B．24 C．16 D．18
【答案】D
【解析】
试题分析：曲线，直线的交点为，由定积分的几何意义可知,曲线与直线及轴围成的面积为,故选D.
考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义.
4． 等于 ( )
A B 2 C －2 D ＋2
【答案】D
【解析】略
5．函数的导数 ，
【答案】 ；67
【解析】此题考查函数的导数计算公式和运算法则；根据公式得到，所以
6．若函数在处取得极值，则_____．
【答案】
【解析】函数在处取得极值，则又，所以
故答案为：
7．曲线在处的切线平行于直线,则点坐标为_______.
【答案】
【解析】设切点横坐标为 ，函数的导函数为： ，
由切线与导函数的关系可得： ，
而： ，
即点坐标为.
