界首一中
高一年级期末考试 数学试卷(文)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=（ ）
A． B． C． D．
2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A. 9.4, 0.484 B. 9.4, 0.016 C .9.5, 0.04 D.9.5, 0.016
3．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
4．将两个数=8,=7交换，使＝７,=8,使用赋值语句正确的一组 ( )
A. = B. = C. = D. =
= = = =
= =
5.下面表述正确的是 ( )
A.空间任意三点确定一个平面
B.直线上的两点和直线外的一点确定一个平面
C.分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面
D.不共线的四点确定一个平面
6.某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( )
A.至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
7．已知点,且,则实数的值是（ ）．
(A)-3或4 (B)–6或2
(C)3或-4 (D)6或-2
8．直线与圆相切，则实数等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
9、将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，则事件T发生的概率（ ）
Ａ、0.1 Ｂ、0.2 Ｃ、0.4 Ｄ、0.6
10.如图(1)、(2),它们都表示的是输出所有平方小于100的正整数的程序框图,那么应分别补充的条件为( )
A.⑴n2≥100 ⑵n2＜100
B. ⑴n2≤100 ⑵n2≥100
C. ⑴n2＜100 ⑵n2≥100
D. ⑴n2＜100 ⑵n2＜100
11 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，
则球的表面积是（ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
12. 一个游戏转盘上有四种颜色:红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6：2：1：4，则指针停在红色或蓝色区域的概率为（ ）
A. B. C． D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．直线x－y+1=0的倾斜角为__ ______
14．某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有__ ______学生。
15．已知圆C： （a为实数）上任意一点关于直线l：x-y+2=0 的对称点都在圆C上，则a= .
16．某比赛为两运动员制定下列发球规则：
规则1：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；
规则2：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
规则3：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
则对甲、乙公平的规则是____
三、解答题（6题，共74分）
17．(12 分) 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由．
．
18．(12 分) 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
分组
频数
频率
50.5(60.5
4
0.08
60.5(70.5
0.16
70.5(80.5
10
80.5(90.5
16
0.32
90.5(100.5
合计
50
（1）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
（2）补全频数条形图；
（3）若成绩在75.5(85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
19．（12分）已知方程的图形是圆.
（1）求t的取值范围；
（2）求其中面积最大的圆的方程．
20．（本小题12分）设有编号分别为1,2,3的三个盒子,每个盒子可容纳两个球,今将一个红色、一个白色的球随机放入这三个盒子中,求编号为3的盒子不放球的概率.??
21．(12分)已知：正方体，，E为棱的中点．
(1)求证：；
(2) 求证：平面；。
22．(14分)已知圆O：和定点A(2,1)，由圆O外一点向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足．
(1) 求实数a、b间满足的等量关系；
(2) 求线段PQ长的最小值；
(3) 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．
界首一中
高一年级期末考试 数学试卷(理)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=（ ）
A． B． C． D．
2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A. 9.4, 0.484 B. 9.4, 0.016 C .9.5, 0.04 D.9.5, 0.016
3．某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( )
A.至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
4．将两个数=8,=7交换，使＝７,=8,使用赋值语句正确的一组 ( )
A. = B. = C. = D. =
= = = =
= =
5.下面表述正确的是( )
A.空间任意三点确定一个平面
B.直线上的两点和直线外的一点确定一个平面
C.分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面
D.不共线的四点确定一个平面
6. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
7．设是两条直线，是两个平面，则能推出 的一组条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．直线与圆相切，则实数等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
9、将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，则事件T发生的概率（ ）
Ａ、0.1 Ｂ、0.2 Ｃ、0.4 Ｄ、0.6
10.如图(1)、(2),它们都表示的是输出所有平方小于100的正整数的程序框图,那么应分别补充的条件为( )
A.⑴n2≥100 ⑵n2＜100
B. ⑴n2≤100 ⑵n2≥100
C. ⑴n2＜100 ⑵n2≥100
D. ⑴n2＜100 ⑵n2＜100
11、设、是球的半径上的两点，且，分别过、、作垂直于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为： （ ）
（A） （B） （C） （D）
12．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，则向量 =(m,n)与向量=(1,-1)数量积大于0的概率为（ ）
A. B. C. D
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．直线x－y+1=0的倾斜角为__ ______
14．某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有__ ______学生。
15．已知圆C： （a为实数）上任意一点关于直线l：x-y+2=0 的对称点都在圆C上，则a= .
16．某比赛为两运动员制定下列发球规则：
规则1：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；
规则2：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
规则3：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
则对甲、乙公平的规则是____
三、解答题（6题，共74分）
17．(12 分) 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由．
．
18．(12 分) 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
分组
频数
频率
50.5(60.5
4
0.08
60.5(70.5
0.16
70.5(80.5
10
80.5(90.5
16
0.32
90.5(100.5
合计
50
（1）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
（2）补全频数条形图；
（3）若成绩在75.5(85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
19．（12分）已知方程的图形是圆.
（1）求t的取值范围；
（2）求其中面积最大的圆的方程．
20．（12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。
21．(12分)已知：正方体，，E为棱的中点．
(1) 求证：；
(2) 求证：平面；。
（3）求三棱锥A-B1DE的体积．
22．(14分)已知圆O：和定点A(2,1)，由圆O外一点向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足．
(1) 求实数a、b间满足的等量关系；
(2) 求线段PQ长的最小值；
(3) 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．
参 考 答 案 (理)
一、选择题： ADCBB DCCDD DA
二、填空题： 13． 14．3700 15．—2 16．规则1 和 规则3
三、解答题 17．解：因为
因为
所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
18．解：(1)
分组
频数
频率
50.5(60.5
4
0.08
60.5(70.5
8
0.16
70.5(80.5
10
0.20
80.5(90.5
16
0.32
90.5(100.5
12
0.24
合计
50
1.00
(2) 频数直方图如右上所示
(3) 成绩在75.5(80.5分的学生占70.5(80.5分的学生的，因为成绩在70.5(80.5分的学生频率为0.2 ，所以成绩在76.5(80.5分的学生频率为0.1
成绩在80.5(85.5分的学生占80.5(90.5分的学生的，因为成绩在80.5(90.5分的学生频率为0.32 ，所以成绩在80.5(85.5分的学生频率为0.16
所以成绩在76.5(85.5分的学生频率为0.26，
由于有900名学生参加了这次竞赛，
所以该校获得二等奖的学生约为0.26(900=234（人）
19．解：（1）方程即
＞0 ∴＜t＜1
（2） ∵∴当t=时，
，此时圆面积最大，所对应圆的方程是
20．解：
（Ⅰ）总体平均数为 ．
（Ⅱ）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．共15个基本结果．事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果． 所以所求的概率为 ．
21． 解：(Ⅰ)证明：连结，则//，
∵是正方形，∴．∵面， ∴．
又，∴面．
∵面，∴，
∴．（Ⅱ）证明：作的中点F，连结．
∵是的中点，∴，
∴四边形是平行四边形，∴ ． ………7分
∵是的中点，∴，
又，∴．
∴四边形是平行四边形，//，
∵，，
∴平面面．
又平面，∴面．
（3）．
22．解：（1）连为切点，，由勾股定理有
.
又由已知，故.
即：.
化简得实数a、b间满足的等量关系为：.
（2）由，得.
=.
故当时，即线段PQ长的最小值为
解法2：由(1)知，点P在直线l：2x + y－3 = 0 上.
∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离.
∴ | PQ |min = = .
（3）设圆P 的半径为，
圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，
即且.
而，
故当时，
此时, ，.
得半径取最小值时圆P的方程为．
解法2： 圆P与圆O有公共点，圆P半径最小时为与圆O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’ 与l的交点P0.
r = －1 = －1.
又 l’：x－2y = 0,
解方程组，得.即P0( ,).
∴ 所求圆方程为.
参 考 答 案 (文)
选择题： ADDBB CBCDD DA
20．解 把两个球放进三个盒子中,有九个可能结果,设(空,白,红)表示第一个盒子为空,第二个盒子放上白球,第三个盒子放上红球,则九个基本事件为：
(空,白,红),（空,红, 白）,（白, 空,红）,(白,红, 空),（红, 空,白）,（红,白, 空）,（红白, 空, 空）,（空,红白, 空）,（空, 空,红白）.
因为两只球的放置是随机的,所以每一种放法是等可能的,即每一个基本事件出现的可能性相等,故每一个基本事件出现的机会都是1/9,而事件A出现的可能结果为下面四种情况:(白,红, 空), （红,白, 空）, （红白, 空, 空）, （空,红白, 空）.
即事件A包含九个基本事件中的四个基本事件,故事件A出现的可能性为4/9,即P(A)=4/9.
21．同(理 )⑴⑵
其余(理 )
