课题 等边三角形（第二课时）
教学目标
教学目标：通过拼图，探索、发现、证明含 30 ° 的直角三角形的性质， 利用含 30 ° 的直角三角形的性质进行简单计算. 教学重点：含 30 ° 的直角三角形的性质 教学难点：含 30 ° 的直角三角形的性质
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
8 分 钟 环节 1： 复习 旧 知， 动手 实 践、 复习回顾：等边三角形的性质和判定与边角关系
等边三角形
性质 1. 三条边相等
2. 三个内角都相等，都为 60 °
3. “三线合一 ”
4. 轴对称图形（3 条对称轴）
判定 1. 定义（三条边相等）
2. 三个角相等
3. 有一个角是 60 ° 的等腰三角形
探究 新知 动手实践，探究新知： 将两个含有 30 °角的三角尺摆放在一起.你能借 助这个图形,找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗
发现： 将两个含 30 °角的三角尺拼在一起，得到一个等边三角形，再利用这个图形
的轴对称性，得出BC = AB . 证明 1： ∵ △ADC 是△ABC 的轴对称图形， ∴ AB ＝AD, ∠BAD=2 30 °=60 ° , ∴ △ABD 是等边三角形. ∵ AC⊥BD， ∴ BC = CD = AB . 提问：你还能用其他方法证明吗？ 证明 2： ∵ 在△ABC 中，AC⊥BD ， ∠BAC=30 ° , ∴ ∠B=60 °. 延长 BC 到点 D ，使得 BD ＝AB ，连接 AD， 则△ABD 是等边三角形. ∴ AC 也是 BD 边上的中线， ∴ BC = BD = AB .
归纳：含 30 ° 的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 ° , 那么它所对的直角边等于斜边的 一半. 数学语言： ∵ 在 Rt△ABC 中， ∠C=90 °, ∠A=30 °, ∴ BC = AB
4 分 钟 环节 2： 随堂 练 习， 巩固 新知 1.如图 ，在△ABC 中 ， ∠ACB=90 ° , ∠A=30 ° , CD⊥AB,AB ＝4.则 BC = , BD= . 答案：2 ；1 解析： ∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90 °, ∠A=30 °, ∴ BC = AB = 4 = 2 . ∵ 在 Rt△BCD 中， ∠CDB=90 °, ∠BCD=30 °, ∴ BD = BC = 2 = 1 . 2.小明沿倾斜角为 30 ° 的山坡从山脚步行到山顶，共走了 200 m ，山的高度 为 m. 答案：100 解析：含 30 ° 的直角三角形的性质的应用
4 分 钟 环节 3： 例题 讲解 例题： 下图是屋架设计图的一部分,点 D 是斜梁 AB 的中点,立柱 BC ，DE 垂直于横 梁 AC,AB ＝7.4 m, ∠A ＝30 °立柱 BC，DE 要多长 分析： ∵ 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90 °, ∠A=30 ° ∴ BC = AB = 7.4 = 3.7 . ∵ 在 Rt△ADE 中， ∠AED=90 °, ∠A=30 ° ∴ DE = AD = AB = 7.4 = 1.85 . 解答： ∵ DE⊥AC,BC⊥AC, ∠A ＝30 ° , ∴ BC = AB, DE = AD . ∴ BC = 7.4 = 3.7(m) . 又 AD = AB ， ∴ DE = AD = 3.7 = 1.85(m) . 答 :立柱 BC 的长是 3.7m ，DE 的长是 1.85m.
8 分 钟 环节 4： 巩固 提高 1.三角形三个角的度数之比为 1：2：3 ，它的最大边长等于 16 cm ，则最小边 长是 cm . 答案：8 解析： ∵ 三角形三个角的度数之比为 1：2：3，
∴ 设三角形三个角的度数分别为 k，2k，3k. 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 得 ， k+2k+3k=180 ° , 解 得 k=30 ° , ∴ 3k=90 ° . ∵ 最大边长等于 16 cm，
∴ 最小边长等于 1 2 ×16=8(cm).
2.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120 ° , D 是 BC 的中点，DE⊥AC．则 AB：AE= .
答案：4：1 解析： 如图，连接 AD， ∵ AB=AC，D 是 BC 的中点， ∴ AD⊥BC . ∵ ∠BAC=120 ° , ∴ ∠C=30 ° . ∵ DE⊥AC， ∴ ∠ADE= ∠C=30 ° .
在 Rt△ADE 中，AD=2AE ，在 Rt△ABD 中，AB=2AD=4AE， ∴ AB：AE=4：1 .
3.如图，△ABC 中，AB=AC， ∠BAC=120 ° , EF 为 AB 的垂直平分线，EF 交 BC 于 F，交 AB 于 E ，BF=5 cm ，求 CF 的长. 解析： ∵ AB=AC， ∠BAC=120 ° , ∴ ∠B= ∠C=30 °. ∵ EF 为 AB 的垂直平分线， ∴ AF=BF=5cm. ∴ ∠BAF= ∠B=30 °. ∴ ∠FAC=90 °. ∴ 在 Rt△ACF 中，CF=2AF. ∴ CF=10cm . 课堂小结： （1） 由等边三角形推出含 30 ° 的直角三角形的性质，反映直角三角形的边 角关系. （2）增强对特殊直角三角形的认识，培养几何直观、推理能力.
课后 作业 1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面 成 30 °角，这棵树在折断前的高度为( ) A． 6 米 B． 9 米 C． 12 米 D． 15 米 答案：B
2.如图，在△ABC 中， ∠C=90 ° , ∠ABC=60 ° , BD 平分∠ABC ，若 AD=6， 则 CD 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：A 解析： ∵ ∠C=90 ° , ∠ABC=60 ° , ∴ ∠A=30 °. ∵ BD 平分∠ABC， ∴ ∠CBD= ∠ABD= ∠A=30 °. ∴ BD=AD=6， ∴ CD= BD=6× =3 . 3.如图，在△ABC 中， ∠C=90 ° , ∠B=30 ° , AB 的垂直平分线 ED 交 AB 于 点 E ，交 BC 于点 D ，若 CD=3 ，则 BD 的长为 . 答案：6
解析： ∵ DE 是 AB 的垂直平分线， ∴ AD=BD， ∴ ∠DAE= ∠B=30 ° , ∴ ∠ADC=60 ° , ∵ ∠C=90 ° , ∴ ∠CAD=30 ° , ∴ AD=2CD. ∵ CD=3， ∴ AD=BD=6. 4.如图，在△ABC 中， ∠C=90 ° , AD 平分∠CAB ，交 CB 于点 D ，过点 D
作 DE⊥AB 于点 E . （1）求证： △ACD≌△AED； （2）若∠B=30 ° , CD=1 ，求 BD 的长. 解答： （1）证明：
∵ AD 平分∠CAB ，DE⊥AB ， ∠C=90 ° , ∴ CD=ED ， ∠DEA= ∠C=90 ° , ∵ 在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中， (
(
AD
=
AD
) (
〈
) (
l
CD
=
ED
)∴ Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）解： ∵ DE⊥AB， ∴∠DEB=90 ° , ∵∠B=30 ° , DC=ED=1， ∴ BD=2ED=2 .课题 等边三角形（第一课时）
教学目标
教学目标：探索并掌握等边三角形的性质及判定方法， 运用等边三角形的性质和判定进行简单计算和证明. 教学重点：等边三角形的性质与判定 教学难点：等边三角形的性质与判定
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
2 分 钟 环节 1： 复习旧 知，引入 新课 复习回顾 1：等腰三角形的性质和判定 名称图形定义性质判定 等腰 三角形 有两边相 等的三角 形是等腰 三角形两腰相等 两条边相等等边对等角“三线合一 ” 等角对等边轴对称图形 （1 条或 3 条对称轴）
复习回顾 2：三角形如何按边分类 (三边都不相等的三角形 三角形〈等腰三角形〈(底与腰不等的等腰三角形 l l底与腰相等的等腰三角形（等边三角形） 在三角形的按边分类中，等边三角形是特殊的等腰三角形. 引入新知：等边三角形的定义 等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）. 符号语言： ∵AB=AC=BC， ∴△ABC 是等边三角形.
8 分 钟 环节 2： 合作探 究，类比 学习 等边三角 形的性质 类比：等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质同样适 用于等边三角形.但等边三角形还有哪些特殊的性质呢？让我们一起来 探究一下吧. 等腰三角形的性质等边三角形的性质边两边相等（定义）三边相等（定义）角两底角相等（等边对等角） “三线合一 ”是 轴对称图形是；1 条或 3 条对称轴
探究：等边三角形的性质探究 问题 1：等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？
预案： 已知： △ABC 是等边三角形， 求证： ∠A= ∠B= ∠C. 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC. ∵AB=AC， ∴∠B= ∠C . (等边对等角) 同理 ∠A= ∠C . ∴∠A= ∠B= ∠C. 进一步发现，每一个内角都等于 60 °. ∵ ∠A+∠B+∠C=180 °, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °. 等边三角形的性质（2） ：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个 角都等于 60 °. 问题 2：等边三角形有“三线合一 ”的性质吗？为什么？ 等边三角形的性质（3） ：等边三角形每条边上的中线、高和所对角的 平分线都相互重合（ “三线合一 ”）.
问题 3：等边三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 等边三角形的性质（4）：等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴. 小结：等边三角形的性质 等腰三角形的性质等边三角形的性质边两边相等（定义）三边相等（定义） 角 两底角相等（等边对等角）三个内角都相等， 都为 60 °“三线合一 ”是是轴对称图形是；1 条或 3 条对称轴是；3 条对称轴
随堂练习：等边三角形的性质练习 如图，在等边△ABC 中，BC=10,BD⊥AC 于点 D ，则：
（1）AC= ； （2） ∠A= ； （3） ∠ABD= ， AD= . 答案：（1）10；
考查：等边三角形的性质（1）三边相等；
（2）60 ° ; 考查：等边三角形的性质（2）等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个角都等于 60 ° ; （3）30 ° , 5 考查：等边三角形的性质（3）等边三角形每条边上的中线、高 和所对角的平分线都相互重合（ “三线合一 ”） 预案 1： “三线合一 ” :ΔABC是等边三角形, BD 」AC, BC = 10 :BD平分经ABC, BD是AC边上的中线, 经ABC = 60。 :经ABD = 30。, AD = AC = BC = 5 预案 2：三角形的内角和 :ΔABC是等边三角形, BD 」AC :经A = 60。, 经ADB = 90。 :经ABD = 30。
6 分 钟 环节 3： 类比探究 等边三角 形的判定 方法 思考 1：一个三角形满足什么条件是等边三角形？ 思考 2：一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
预案（思考 1）：
已知：在△ABC 中， ∠A= ∠B= ∠C. 求证： △ABC 是等边三角形. 证明： ∵ ∠A= ∠B, ∠B= ∠C, ∴ BC=AC, AC=AB ．(等角对等边) ∴ AB=BC=AC . ∴ △ABC 是等边三角形.
预案（思考 2）： 有一个角是 60 ° 的等腰三角形是等边三角形. 分类讨论： （1）顶角是 60 ° （2）有一个底角是 60 °
假若 AB=AC，则∠B= ∠C. （1）当顶角∠A=60 °时, ∠B= ∠C= 60 ° , ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °. ∴ △ABC 是等边三角形. （2）当底角∠B= 60 °时, ∠C=60 °, ∠A=180 °- (60 °+60 °)=60 °. ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °. ∴ △ABC 是等边三角形. 小结：等边三角形的判定方法 名称图形判定与边角关系 等边三角形三条边都相等的三角形三个角都相等的三角形有一个角是60° 的等腰三角形
8 分 钟 环节 4： 例题讲 解，一题 多解 如图， △ABC 是等边三角形，DE∥BC,分别交 AB ，AC 于点 D ，E . 求证： △ADE 是等边三角形. 分析：
思路 1 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴ ∠A = ∠B = ∠C. ∵ DE∥BC， ∴ ∠B = ∠ADE ， ∠C = ∠AED . ∴ ∠A= ∠ADE = ∠AED . ∴ △ADE 是等边三角形. 思路 2 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴ ∠A = ∠B = ∠C=60 ° . ∵ DE∥BC， ∴ ∠B = ∠ADE ， ∠C = ∠AED . ∴ ∠ADE = ∠AED . ∴ AD =AE . ∴ △ADE 是等腰三角形. ∵ ∠A =60 ° , ∴ △ADE 是等边三角形. 思路 3 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴ ∠A = ∠B = ∠C. ∵ DE∥BC， ∴ ∠B = ∠ADE ， ∠C = ∠AED . ∴ ∠A = ∠ADE ， ∠ADE = ∠AED . ∴ DE =AE ，AD =AE .
即 AD =AE =DE . ∴ △ADE 是等边三角形. 小结： （1）一题多解 此题中，思路 1 所对应的方法较思路 2 和 3 更加直接、简便. （2）综合分析法
1 分 钟 环节 5： 归纳小结 等边三角形
性质 1. 三条边相等
2. 三个内角都相等，都为 60°
3. “三线合一 ”
4. 轴对称图形（3 条对称轴）
判定 1. 定义（三条边相等）
2. 三个角相等
1. 有一个角是 60° 的等腰三角形
课后作业 1. 已知△ABC 中， ∠A= ∠B=60 ° , AB=3 cm, 则 △ABC 的周长 . 答案：9 cm 2. △ABC 是等腰三角形，周长为 15 cm 且∠A=60 ° , 则 BC= . 答案：5 cm
3. 等边三角形两条高相交所成的钝角的度数是 . 答案：120 ° 4. 例题变式练习： 变式 1： △ABC 是等边三角形，若点D，E 在边AB，AC 的延长线上，且 DE∥BC，
结论还成立吗？ 证明： ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A= ∠ABC= ∠ACB . ∵ DE∥BC， ∴ ∠ABC = ∠ADE， ∠ACB = ∠AED. ∴ ∠A = ∠ADE = ∠AED. ∴ △ADE 是等边三角形. 变式 2：
△ABC 是等边三角形，若点 D ，E DE∥BC，结论还成立吗？ 证明： ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠BAC = ∠B = ∠C . ∵ DE∥BC， ∴ ∠B = ∠E， ∠C = ∠D. ∵ ∠BAC= ∠DAE ∴ ∠DAE = ∠D = ∠E. ∴ △ADE 是等边三角形. 在边 AC ，AB 的反向延长线上，且
变式 3： 例题中,△ABC 是等边三角形，若将条件 DE∥BC 改为 AD=AE, △ADE
还是等边三角形吗 试说明理由. 证明： ∵ AD=AE， ∴ △ADE 是等腰三角形. ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A = ∠B = ∠C=60 ° . ∴ △ADE 是等边三角形.
