课题 因式分解——公式法（第一课时）
教学目标
教学目标：1.掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式进行因式分解； 2.理解运用平方差公式分解因式的方法，掌握提公因式法和公式法分解因式的综合运用； 3.经历利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的关 联性和完整性. 教学重点：利用平方差公式分解因式. 教学难点：提取公因式和平方差公式结合进行因式分解
教学过程
时间 教 学 环 节 主要师生活动
2 分钟 复 习 回 顾 一．复习引入 问题：什么叫做因式分解？ （把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解， 也叫作分解因式.） 问题：已学习过什么因式分解的方法？ （已经学习了提公因式法） 问题：整式乘法中的平方差公式是什么？若将此公式的左右交换位置，可 以看做对多项式a2 -b2 做什么变形？ （整式乘法的平方差公式(a + b)(a -b) = a2 -b2 ，将此公式交换位置后 得到 a2 -b2 = (a + b)(a -b) , 由于因式分解是把一个多项式化为了几 个整式乘积的形式，所以可以看做对多项式 a2 -b2 的因式分解变 形.）
5 分钟 探 究 新 知 二．探究新知 这样我们就得到了 a2-b2 因式分解的方法：a2 -b2 = (a + b)(a -b) ， 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 前面我们在学习平方差公式时，分析了公式的结构以及推理过程.那么利用 平方差公式法因式分解时，多项式需要具备什么特点呢？ （1）此多项式应是一个两项式; （2）这两项均为平方的形式; （3）它们符号相反. 符合平方差公式法因式分解的多项式，分解结果是什么呢？ 分解后得到这两个底数的和，这两个底数的差的乘积.因此在应用此公式 时，同样需要我们找到哪项为公式中的 a,哪项为公式中的 b. 练习：判断下列各式能否用平方差公式因式分解：
(1) y2 - 49 (2) - 4x2 + (3) x2 + 4 y2 ( √ ) ( √ ) ( × ) (4) (5) (6) 1 2 4 (p + q) 4 4 - m - n a2 + (-b)2 - 9 ( √ ) ( × ) ( × )
分析：若能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写 成平方的形式，且符号相反. (1)中两项可以写成平方形式，即y2 - 72 ，并且这 两项分别是y2 和- 49 ，符号是相反的，所以可以利用平方差公式进行因式分解； 把(2)变形为y2 - 4x2 ，可以写成y2 - (2x)2 ，并且y2和- 4x2 符号相反，可以利用 平方差公式进行因式分解； (3)中虽然可以写成平方形式，但符号确是相同的， 所以不可以；同理（4）满足上述两个条件，可以利用平方差公式进行因式分解； (5)的符号相同，均为负的，所以不行； (6）要先化简一下，化简后为a2 + b2 ， 符号相同，所以不行。综上，可以用平方差公式进行因式分解有（1），（2），（4） 三．例题讲解
例：分解因式：(1) 4x2 - 9 (2) (x + p)2 - (x + q)2 分析：在（1）中，由于4x2 = (2x)2 ,9 = 32 , 所以可以写成平方的形式，即： 4x2 - 9 = (2x)2 - 32 ，且4x2和- 9 这两项符号相反，所以可以用平方差公式分解因 式；在（2）中，把x + p 和x + q 各看成一个整体，设x + p = m ，x + q = n ，则原
13 分钟 例 题 讲 解 式化为m2 - n2 .
解： (1) 4x2 - 9 = (2x)2 - 32 = (2x + 3) (2x - 3) (2) (x + p)2 - (x + q)2 = [(x + p) + (x + q)][ (x + p) - (x + q)] = (2x + p + q)(p - q)
练习：下列因式分解错误的是（ D ） A. - 0.01n2 + m2 = (0. 1n + m)( m - 0. 1n) B. x3 + x = x(x2 +1) C. a2 -b2 c2 = (bc + a)(a -bc) D. - 16a2 +1 = (4a +1)(4a - 1) 分析：A 中利用加法交换律将原式进行变形得 m2 - 0.01n2 ，再利用平方差公式 分解 m2 - 0.01n2 = (m + 0. 1n)( m - 0. 1n) ，对比 A 项，正确. B 中为两项，这两项有公因式 x ，所以提出公因式后即为：x(x2+1) ，故 B 分解正 确；C 中利用平方差公式分解后得 a2-b2c2=(a+bc)(a-bc) ，C 正确； D 项可以写成-16a2+1= 1-16a2= 12-(4a)2 ，可以写成两项平方之差形式，对比公式 a2 -b2 = (a + b)(a -b) 可知，1 相当于公式中的 a，4a 相当于公式中的 b，所以可 得- 16a2 +1 = 1 - 16a2 = (1+ 4a)(1 - 4a) ，D 分解因式不正确； 故分解不正确的选 D 例：分解因式：(1) x4 - y4 (2) a3b- ab 分析：对于（1）x4 - y 4 可以写成(x2 )2 - (y2 )2 的形式，这样就可以利用平方 差公式分解成(x2 )2 - (y2 )2 = (x2 + y2 )(x2 - y 2 ) ，然而分解到这一步我们发现还没 分解完，x2 - y 2 可以继续分解，所以原式分解为(x2 + y2 )(x + y)(x - y) ；（2）中
有公因式 ab， 解： (1) 应先提出公因式，再进一步分解. 4 4 x - y
= (x2 + y2 )(x2 - y 2 ) = (x2 + y2 ) (x + y)(x - y) (2) a3b- ab = ab(a2 - 1) = ab(a +1)(a - 1)
小结：在运用平方差公式分解因式时，我们应该注意：
1.若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式； 2.因式分解要彻底，直到每个因式不能继续再分解为止. 练习：分解因式 (1) - b2 + a2 (2) (5a + 2b)2 - 9a2 (3) (a + b)3 - 4(a + b) (4)am+1 - am-1 分析：对于（1）可以先交换一下两项的位置，得到a2 - b2 ，进而写成两 项平方差的形式，即a2 - (b)2 根据平方差公式分解即可；或者也可先对原式提 取一个负号，得- (b2 - a2 ) ，这样也可直接利用平方差公式因式分解； （2）中 5a+2b 看成一个整体，原式为平方差的形式，可以利用公式进行分解， 分 解 后 得 (5a + 2b + 3a)(5a + 2b- 3a) ， 仍 需 继 续 做 合 并 同 类 项 得 (8a + 2b)(2a + 2b) ，我们发现合并后有公因数，提取完公因数得4(4a +b)(a + b) ； （3）中公因式为a + b ，提取公因式后，仍能继续用平方差公式分解，故原式分 解为：(a + b)3 - 4(a + b) = (a + b)(a + b + 2)(a + b- 2) ；（4）中提取公因式要取较小 的字母指数，提公因式am-1 ，原式为am-1 (a2 - 1) ，然而a2 - 1 还能继续分解，所 以最终分解结果为am+1 - am-1 = am-1 (a +1)(a - 1) ；
解： (1) - b2 + a2 = a2 - b2 = a2 - (b)2 = (a + b)(a - b) (2) (5a + 2b)2 - 9a2 = (5a + 2b + 3a)(5a + 2b- 3a) = (8a + 2b)(2a + 2b) = 2(4a + b) ×2(a + b) = 4 (4a + b)(a + b)
(3) (a + b)3 - 4(a + b) (4) am+1 - am-1 = (a + b)[(a + b)2 - 4] = am-1 (a2 - 1) = (a + b)(a + b + 2)(a + b- 2) = am-1 (a +1)(a - 1) 例：利用因式分解计算
(1) 2020 + 20202 - 20212 (2) 3.14 512 - 3.14 492 分 析 ： (1) 中 20202 - 20212 可 利 用 平 方 差 公 式 分 解 成
2 分钟 1.5 分 钟 归 纳 总 结 拓 展 提 升 (2020 + 2021) (2020 - 2021) ，进而再进行化简运算；（1）中可以先提取共同的 因数 3.14，再利用平方差公式分解计算. 解： (1) 2020 + 20202 - 20212 = 2020 + (2020 + 2021) (2020 - 2021) = 2020 + (2020 + 2021) (- 1) = 2020 - 2020 - 2021 = -2021 (2) 3.14 512 - 3.14 492 = 3.14 (512 - 492 ) = 3.14 (51+ 49) ( 51 - 49) = 3.14 100 2 = 6.28 例：如图，在一块长为 a 的正方形纸片的四角，各减去一个边长为 b 的正方形， 其中 a= 1.86 ，b=0.34 ，求剩余部分面积. 分析：求正方形减去四角后的面积，即用大正方形的面积，减去四个小正方面 即可。先可以列出式子为 a2-4b2 ，若直接带入数值，发现运算量较大，所以可以 先将 a2-4b2 因式分解后，再代入数值运算，可大大简化运算过程。
解：S 剩 = a2-4b2=(a+2b)(a-2b) 把 a= 1.86 ，b=0.34 带入 S 剩 =(1.86+2×0.34)×(1.86-2×0.34) =2.72×1 =2.72 四．归纳总结
问题：今天我们主要学了哪些知识？ 利用平方差公式分解因式：a2 -b2 = (a + b)(a -b) 问题：怎样判断能否利用平方差公式因式分解？ 利用平方差公式分解需要满足所给多项式能够写成两项平方差的形 式，或者在变形后能够写成两项平方差的形式. 平方差公式中的字母 a,b 可以表示数、单项式或多项式. 问题：在运用平方差公式分解因式时，我们应该注意哪些问题？ (1)若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式；
0.5 分 钟 课 后 作 业 (2)因式分解要彻底，直到不能继续再分解为止.
五．拓展提升 如图，100 个正方形由小到大套在一起，从外向 里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影， 最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为 100cm， 向里依次为 99cm，98cm ， , 1cm，那么在这个图形 中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面 积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则 S 阴影 ＝(1002－992) +(982－972)+ +(22－12) ＝100＋99＋98＋97+ +2＋1 ＝5050(cm2) . 答：所有阴影部分的面积和是 5050cm2. 六．课后作业 1.下列所向是能否用平方差公式分解因式？为什么？ (1) x2 + y2 (2) x2 - y2 (3) - x2 + y2 (4) - x2 - y2 2.分解因式 (1) a2 - b2 (2) 9a2 - 4b2 (3) x2 y - 4y (4) - a4 +16 3. 已知 x+2y=3, x2-4y2=-15,求 x-2y 的值和 x, y 的值.课题 因式分解——公式法（三）
教学目标
教学目标：1.进一步巩固完全平方公式因式分解，体会整体思想的运用； 2.灵活运用完全平方公式因式分解，提高学生综合分析解决问题和推理 的能力. 教学重点：灵活运用完全平方公式因式分解的方法解决有关问题. 教学难点：综合运用公式法分解因式.
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
2 分 复习引入 上节课我们学习了利用完全平方公式因式分解，如何用符号语言 表示因式分解中的完全平方公式呢？ 下面请判断下列多项式能否用完全平方公式因式分解，如果能用，又 该如何分解？ (1)m 2 - mn + n 2； (2) x 2 + 2xy + y 2； (3)9a2 - 6ab + b 2 . 分析：判断题目中的多项式能否可转化为含有a 2 ± 2ab + b2 的因式。 所以只有(3)是可用完全平方公式因式分解：9a2 - 6ab + b 2 = (3a -b)2 .
同学们已经掌握了利用完全平方公式因式分解的基本方
20 分 探究新知 法，这节课我们继续学习因式分解中的完全平方公式在具体问 题中的应用. 例 1 分解 因式： (1)(a + b)2 - 12(a + b) + 36； (2)49 - 28(n + m) + 4(m + n)2； (3)(n - m)2 + 10(m - n)x + 25x2； (4)(x 2 - 2x) 2 + 2(x 2 - 2x) + 1. 分析： (1) 中含有两个 小括 号 ，且括 号 内 的式子完全相 同 ，故可 以将 括 号 中 的 a+b 看 作 一 个 整 体 ， 设 a+b=m ， 则 原 式 化 为 m2 - 12m + 36 = m2 - 2 × 6 × m + 62 ，是一个完全平方式. (2)中也有两个小括号，括号 内 的 m+n 和 n+m 相等，设 m + n = a, 则原式可化为 49 - 28a + 4a2 = 72 - 2 × 7 × 2a + (2a) 2 . (3)式 中 的 n - m = -(m - n) 或 m - n = -(n - m) ，且有 (m - n) 2 = (n - m) 2 ，所 以可将 m - n 看成一个整体 因式分解 ，也 可将n-m看成一个整体因式分解. (4) 中 将 x 2 - 2x 看 成 一 个 整 体 ， 设 x2 - 2x = a ， 则 原 式 转 化 为 a 2 + 2a +1 ，为一个完全平方式 ，注意检查分解是否彻底 .
解：(1)(a + b)2 - 12(a + b) + 36； = (a + b)2 - 2 × 6 × (a + b) + 62 = (a + b- 6)2 ； 法一 解：(2)49 - 28(n + m) + 4(m + n) 2 = 72 - 28(m + n) + [2(m + n)]2 = 72 - 2 × 7 × 2(m + n) + [2(m + n)] = [7 - 2(m + n)]2 = (7 - 2m - 2n) 2；
解：(3)(n - m)2 + 10(m - n) + 25x2 = (m - n)2 + 10 (m - n) + 25x2 = (m - n)2 + 2 × (m - n) × 5x + (5x)2 = (m - n + 5x)2 ；
法二 解：(3)(n - m)2 + 10(m - n) + 25x2 = (n - m)2 - 10 (n - m) + 25x2 = (n - m)2 - 2 × (n - m) × 5x + (5x)2 (
2
)= (n - m - 5x) . 解：(4)(x 2 - 2x)2 + 2(x 2 - 2x) + 1 = (x 2 - 2x + 1)2 = [(x - 1)2 ]2 = (x - 1)4 . 小结：当 多项式中某个代数式作为整体出现时，可 以将这个代 数式看成一个字母，整体观察多项式 的结构特征，再进行 因式 分解. 练习 1： (1)a 2 + 2a(b + c) + (b + c)2； (2)4 - 12(y - x) + 9(x - y)2； (3)2(m 2 - 4m) + 16(m 2 - 4m) + 32. 解：(1)a 2 + 2a(b + c) + (b + c)2 = (a + b + c)2； 法一 解：(2)4 - 12(y - x) + 9(x - y)2 = 4 - 12(y - x) + 9(y - x) 2 = 22 - 2 × 2 × 3(y - x)] + [3(y - x)]2 = [2 - 3(y - x)]2 = (2 - 3x + 3y)2； 法二 解：(2)4 - 12(y - x) + 9(x - y)2 = 4 + 12(x - y) + 9(x - y)2 = 22 + 2 × 2 × 3(x - y) + [3(x - y)]2 = [2 + 3(x - y)]2 = (2 + 3x - 3y)2 .
解：(3)2(m 2 - 4m) 2 + 16(m 2 - 4m) + 32 = 2[(m 2 - 4m) 2 + 8(m 2 - 4m) + 16] = 2[(m 2 - 4m + 4)]2 = 2[(m - 2)2 ]2 = 2(m - 2)4； 应用 2： 例 2 已知 : x2 - 4x + y 2 - 10y + 29 = 0, 求x 2 y 2 + 2xy + 1的值. 分析 ：要求 的 结论 中 只 需计算 出 xy 的值 ，但 已知条件 中未 出 现 xy 这 个 整 体 ， 所 以 要 考 虑 分 别 计 算 x和y .再 观 察 已 知 条件
x 2 - 4x + y 2 - 10y + 29 = 0, 发 现 等 号 左 边 要 变 成 互 为
相反数 的两项和才 能等于 0，又含有 x2 -4x 和 y2 -10y 这样的二 次式 ，如果分别加上一个合适的数就可以构造成完全平方式. 解：： x 2 - 4x + y 2 - 10y + 29 = 0, \(x 2 - 2 × 2 × x + 22 ) + (y 2 - 2 × 5 × y + 52 ) = 0.
(
ì
x
=
2,
) (
\
í
) (
y
=
5.
法一
\
x
2
y
2
+
2
xy
+
1
)\(x - 2)2 + (y - 5)2 = 0. ：(x - 2)2 0且(y - 5)2 0, (
ì
x
-
2
=
0
) (
\
í
,
) y - 5 = 0. = 22 52 + 2 2 5 + 1 = 100 + 20 + 1 = 121. 法二 \x2 y 2 + 2xy + 1 = (xy)2 + 2xy + 1 = (xy + 1)2 = (10 + 1)2 = 121.
练习 2： (1)若 a+b=3 ，则 2a2 +4ab +2b2 -6 的值为 ； (2)已知 ab=6 ，a+b=5 ，则 a3 b +2a2 b2 +ab3 的值为 . 分析： (1)中已知 a+b=3 ，但是要求的 多项式中没有找到 a+b ，观察 2a2 +4ab +2b2 -6 可以发现前三项可 以进行因式分解 ，转化为 2(a+b)2 ，从而可代入计算 .
解： ：2a2 + 4ab + 2b 2 一 6 = 2(a 2 + 2ab + b 2 ) 一 6 = 2(a + b)2 一 6, ：a + b = 3, ：原式 = 2 x 32 一 6 = 12. （2）解： a 3b + 2a2 b 2 + ab 3 = a 2 . ab + 2(ab) . (ab) + ab. b 2 = ab(a 2 + 2ab + b 2 ) = ab(a + b)2 , ：ab = 6, a + b = 5, ：原式 = 6 x 52 = 150. 例 3 求证：x,y 取任何实数时 ，多项式 x2 +y2 -2x-4y+16 的值总 为正数. 分析：要证多项式 的值为正数 ，需与 0 比较 ，由于多项式为二 次 多项式 ，且平方值大于或等于 0，考虑是否可 以构造完全平 方式. 证明： ：x 2 + y 2 一 2x 一 4y + 16 = (x 2 一 2x + 1) + (y 2 一 4y + 4) + 16 一 1 一 4 = (x 一 1)2 + (y 一 2)2 + 11, ：(x 一 1)2 之 0, (y 一 2)2 之 0, ：(x 一 1)2 + (y 一 2)2 + 11 > 0, ：多项式x 2 + y 2 一 2x 一 4y + 16的值为正数. 归纳：解决某些二次多项式的值的问题时，可以由二次项考虑，构造 成完全平方式，转化为几个平方项相加的形式，再根据非负性求得结 果. 同学们已经很好的掌握 了完全平方公式因式分解，对比平 方差公式 因式分解，可以看出如果把乘法公式的等号两边互换 位置，就可以得到用于分解 因式 的公式，像这样用来把某些具 有特殊形式的 多项式分解因式，这种分解 因式 的方法叫做公式 法.
补充练习： 求证 ：若 n 为正整数 ，则代数式(n+1)(n+2)(n2 +3n)+1 的值一 定是某个整数 的平方. 证明： ：(n + 1)(n + 2)(n 2 + 3n) + 1 = (n 2 + 3n + 2)(n 2 + 3n) + 1 = (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3n) + 1 = (n 2 + 3n + 1)2， ：n为正整数， \ n2 + 3n + 1为正整数. \ 代数式(n + 1)(n + 2)(n 2 + 3n) + 1的值一定是某个整数的平方.
2 分 课 堂 小 结 本节课的知识梳理： 1.数学知识： 完全平方公式： a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b)2 2.数学思想： 整体思想
课后作业 1.因式分解： (1)(x + y)2 - 2a(x + y) + a2； (2)49 + 14(y - x) + (x - y)2 . (3)4(x + y)2 - 12(x + y) + 9 (4)(x 2 - 6)2 - 6(x 2 - 6) + 9 2.已知M = 9x2 + 4y + 13, N = 8x2 - y 2 + 6x, 则M - N的值( ) A.为正数 B.为负数 C.为非负数 D.不能确定.课题 因式分解—公式法（第二课时）
教学目标
教学目标：理解并掌握完全平方式的概念和结构特点，并能利用完全平方公式进行因式 分解，进一步提升学生观察、比较和计算的能力； 教学重点：会对照完全平方式将符合特征的二次三项式进行因式分解； 教学难点：观察多项式的特点，判断是否符合完全平方公式的特征并准确地进行分解.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
3 分 复习引入 我们知道把一个多项式化成几个整式的积的形式，就叫做这 个多项式的因式分解，请你根据所学知识将下面的多项式进行因 式分解： （1）x 2 - y 2 = ; (2)4m2 - 16 = . 问题：因式分解的一般步骤是什么？ （有公因式先提公因式，再观察是否可用公式，最后检查是否分 解彻底） 问题：因式分解的平方差公式与整式乘法的平方差公式有什么关 系？（方向相反的等式变形） 问题：除了平方差公式我们还学了哪些乘法公式？ （完全平方公式） 如何用符号表示？
( (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 , ） (a -b)2 = a 2 - 2ab + b 2
将完全平方公式的等号两边互换位置，就转化成了将多项式因式 分解的形式。这节课我们就来继续学习因式分解的公式法——完 全平方公式.
1
1 6 分 探究新知 探究 1： 具有什么特点的多项式可以利用完全平方公式因式分解 呢？我们一起观察多项式a 2 + 2ab + b 2 与a 2 一 2ab + b 2 ①共有几项？（三项） ③这三项有什么特点？（首尾两项是两数的平方和，中间项为这 两数乘积的 2 倍） 归纳新知： 我们把a 2 + 2ab + b 2 和a 2 一 2ab + b 2 这样的式子叫做完全平方式. 例 判断下列多项式是否为完全平方式： (1)x 2 + 1; （两项，项数不符） (2)x 2 + 2x 一 1; （二次三项式，但两平方项符号不同） (3)x 2 + x + 1; （二次三项式，但中间项缺少2倍） (4)x 2 + 4x + 4. （是，可写成x 2 + 2x . 2 + 22）
完全平方式定义：形如a 2 + 2ab + b 2 和a 2 一 2ab + b 2 做完全平方式. 这样的式子叫
例 填空： (1)若多项式x 2 + mx + 9为完全平方式，则m = ; (2)若二次三项式a 2 + a + m为完全平方式，则m = . 分析： （1） x 2 + mx + 32 (
a
土
2
ab
+
b
) 2 2 ，可得〈 , 牵 m = 土2b = 土2x 3 = 土6. （2）与完全平方式进行对照： b2 ，可得〈2, 牵 2b = 1 牵 . 强化完全平方式的结构特点：两项可写成平方形式，且符号相同； 第三项为两个底数的乘积的 2 倍.
2
探究 2： 你能将完全平方式 a 2 + 2ab + b 2 和a 2 一 2ab + b 2 分解因式吗？根 据乘法公式的完全平方公式(a 土 b)2 = a 2 土 2ab + b 2 可以将形如完全平方式的多项式因式分解：
a 2 a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)2 , 一 2ab + b 2 = (a 一 b)2
即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于 这两个数的和（或差）的平方. 注意：2 倍乘积的符号与分解的结果中的和差相对应. 例 分解因式： (1)16x2 + 24x + 9; (2) 一 x 2 + 4xy 一 4y 2 ; (3)3ax2 + 6axy + 3ay 2 . 分析 ：（1 ） 中二次三项式有两项可以写成平方形式 ： 16x2 = (4x)2 ,9 = 32 ，而第三项24x = 2 . 4x . 3 ，所以16x2 + 24x + 9 是一个完全平方式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x) 2 + 2 . 4x . 3 + 32
a 2 + 2 . a . b + b 2
解：（1）16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2 . 4x . 3 + 32 = (4x + 3)2 ; 分析：（2）中的二次三项式中也含有两个平方项，但符号均为“- ”， 完全平方式中两个平方项均为“+ ”，所以先考虑提出符号，再进 行分解. 解：（2）一 x 2 + 4xy 一 4y 2 (
2
2
) 一 2 一 x +22y) ] = 一(x 一 2y)2 ; 分析：（3）中的二次三项式中没有平方项，但是有公因式3a ， 所以要先考虑提公因式，再利用完全平方公式分解因式. 解：（3）3ax2 + 6axy + 3ay 2 = 3a(x 2 + 2xy + y 2 ) = 3a(x + y)2 .
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5 分 归纳小结： 1）利用完全平方公式因式分解的关键是识别完全平方式. 2）多项式分解因式时要先观察是否有公因式，有公因式要先提 公因式,再判断剩余多项式是否可以继续分解因式. 例 利用简便方法计算：20202 一 4040x 2021 + 20212 . 解：20202 一 4040 x 2021 + 20212 = 20202 + 2 x 2020 x 2021 + 20212 = (2020 一 2021)2 = 1. 巩固练习： 1.分解因式： (1)a + + a 2 ； (2) 一 2xy 一 x 2 一 y 2 ； (3)3x3 一 18x2 + 27x. 分析：先观察有无公因式，再看多项式的项数，对于二次三项式， 对照完全平方式，先找到两个平方项，确定两个底数后再验证第
三项是否为两底数乘积的 2 倍. (2) 一 2xy 一 x 2 一 y 2 = 一(2xy + x2 + y 2 ) = 一(x 2 + 2 . x . y + y 2 ) = 一(x + y)2 ;
解：(1)a + 1 2 + a 4
1 = + a 4 = 2 2 + a + 2 . . a + a 2
(
(
1
)
2
) (
（
2
)
)= | + a | ;
(3)3x3 一 18x2 + 27x = 3x（x 2 一 6x + 9） = 3x(x 2 一 2 . 3 . x + 32 ) = 3x(x 一 3)2 . 2.在括号中填入适当的式子，使等式成立： (1)x 2 + 5x + = ( ) 2 ; (2)4x2 + ( ) + 9 = ( ) 2 . 分析：观察等式发现等号左边为二次三项式，等号右边为两数和 或差的平方，由此我们想到因式分解中的完全平方公式.
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(1)等号左侧有一项平方项 ，所以需填一个平方项 ，中间为 + 5x， 故可对照公式： a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)2 x 2 + 5x + ：a = x, 且5x = 2ab 所以5x = 2 . x . b 可得，b = 所以，b 2 = 即x 2 + 5x + = (||（x + 2 (2)等号左侧已经确定了两个平方项，由完全平方式的定义可知 第三项有两种情况，故可对照公式： a 2 土 2ab + b 2 = (a 土 b)2 (2x) 2 + + 32 ：土2ab = 土2 . 2x . 3 = 土12x 所以，4x2 + (土12x) + 9 = (2x 土 3)2 3.计算(622 + 2 根 62 根 38 + 382 )(852 - 225) 解：(622 + 2 根 62 根 38 + 382 )(852 - 225) =（62 + 38）2（852 - 152） = 1002 (85 +15)(85 - 15) = 1002 根100 根 70 = 7 根107
1 分 课堂小结 本节课的知识梳理： 1.完全平方式：a 2 + 2ab + b 2 和a 2 - 2ab + b 2 . 2.利用完全平方公式因式分解： a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)2 , a 2 - 2ab + b 2 = (a -b)2 3.利用完全平方公式因式分解时，一般先确定两个平方项，再对 照公式进行分解.
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知识拓展 1. 若x, y 为任意实数，且m = x2 + y2 , n = 2xy , 则m, n 的大小关系 ; 分析：比较两个整式 m 和 n 的大小，可以考虑做差法. ：m 一 n = (x 2 + y 2 ) 一 2xy = (x 一 y)2 ; ∵ x, y为任意实数, ：(x 一 y)2 之 0. 故m 一 n 之 0. 所以，m 之 n. 2. 若m2 + 2m + n2 一 6n + 10 = 0, 则mn = . 分析：题目的结论是求m . n ,而已知的等式中不含m . n ，所以要 考虑分别求出m 和n .又已知等式中含有两个平方项，但其他项 无法判断符号，要想和为 0，需要将等号左边的多项式转化为互 为相反数的两部分，因为含有平方项，所以可以考虑是否能转化 成两个完全平方式的和. 解：∵m 2 + 2m + n2 一 6n + 10 = 0, ：(m 2 + 2m + 12 ) + (n 2 一 6n + 32 ) + 10 一 12 一 32 = 0. ：(m + 1)2 + (n 一 3)2 = 0. ：(m + 1)2 之 0, (n 一 3)2 之 0, (
(
m
+
1
=
0,
)：〈ln 一 3 = 0. (
(
m
=
一
1
,
)解得〈l n = 3. 所以，mn = 一3.
课后作业 1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？ (1)a 2 一 4a + 4; (2)1 + 4a2 ; (3)4b 2 + 4b 一 1; (4)a 2 + ab + b 2 . 2.分解因式： (1)x 2 + 12x + 36; (2) 一 a 2 + 2a 一 1; (3)4x2 一 28x + 49; (4)ax2 + 2a2 x + a 3 ; (5) 一 3x2 + 6xy 一 3y 2 .
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