课题 整式的乘法（第四课时）
教学目标
教学目标： （1）经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程，掌握单项式除以单项式的运算法则 并会进行单项式与单项式的除法运算. （2）经历多项式除以单项式的运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算，培养学生 独立思考的能力. （3）理解整式除法的运算算理，发展有条理的思考及表达能力. 教学重点：整式除法的运算法则及其运用. 教学难点：探索整式除法的运算法则的过程，整式除法的运算法则的理解.
教学过程
时 间 教学环节 主要师生活动
1 分 钟 温故知新 活动 1： 教师设问：幂的运算性质是什么？ 学生回答：同底数幂的乘法： am × an = am+n (m, n都是正整数) 幂的乘方： (am )n = amn (m, n都是正整数) 积的乘方： (ab)n = anbn (n为正整数) 教师设问：单项式乘单项式的运算法则是什么？ 学生回答：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对 于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 教师设问：单项式乘多项式的运算法则是什么？ 学生回答：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再 把所得的积相加. p(a + b) = pa + pb
1
3 分 钟 探究新知 活动 2： 问题引入：下雨时，通常是“先见闪电，后闻雷鸣 ”，这是因为光速比声 速快的缘故.已知光在空气中的传播速度是 3x 108 米/秒，而声音在空气中 的传播速度约为 3x 102 米/秒. 教师设问：你知道光速约是声速的多少倍吗？ 教师引导：要想解决这个问题，就必须要学习新的知识----单项式除以单 项式 教师设问： am －n . an = (a 子 0, m, n都是正整数，并且m > n) 学生回答：根据同底数幂的乘法法则，可得 m －n n m －n+n m a . a = a = a 教师设问：因为除法是乘法的逆运算，则 am 政 an = ？ 学生回答： am 政 an = am一n 教师引导学生总结： 同底数幂的除法法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减. am 政 an = am一n (a 子 0, m, n都是正整数，并且m > n) 活动 3： 教师设问：根据同底数幂的除法法则计算 am 政 am = (a 子 0, m是正整数) 学生回答： am 政 am = am一m = a0 (a 子 0, m是正整数) 教师设问：根据除法意义可知： am 政 am = 1(a 子 0, m是正整数) 你知道 a0 = ？（a 子 0） 学生回答： a0 = 1（a 子 0） 教师引导学生总结： 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1. a0 = 1（a 子 0）
2
4 分 钟 例题解析 例 1.计算： 8 2 （1） x x (
x
)解：原式 = 8-2 6 = x （2） (ab)5 (ab)2 解：原式 = (ab)5-2 = (ab)3 = a3b3 （3） (-a)10 (-a)5 解：原式 = (-a)10-5 = (-a)5 5 = -a （4）（- m3）2 m4 (
6
4
)解：原式 = m m = m2 注意：混合运算要注意运算顺序，有负号的先处理负号 例 2. 已知 (2x - 3)0 = 1 ，则 x 的取值范围是 分析：根据“任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1 ” 可知： 2x - 3 0 3 x - 2
3
2 分 钟 巩固练习 练习 1. 计算： （1） (a3 )4 (a4 )3 解：原式 = a12 a12 = a0 = 1 （2） (xy)6 (xy)2 解：原式 = (xy)6-2 = (xy)4 4 4 = x y 活动 3： 教师设问： 4a2x3 × ( ) = 12a3b2x3 学生回答： 12 4 = 3，a3 a2 = a，x3 x3 = 1，b2 1 = b2， 所以： 4a2x3 ×（3ab2）= 12a3b2x3 教师引导学生得到： 12a3b2x3 4a2x3 = 3ab2 教师引导学生总结： 单项式除以单项式法则： 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
4
4 分 钟 3 分 钟 探究新知 例题解析 活动 4： 教师设问： m(a + b) = 学生回答： m(a + b) = am + bm 教师引导学生回答： (am + bm) m = (a + b) 又∵ am m + bm m = a + b ∴ (am + bm) m = am m + bm m 教师引导学生总结： 多项式除以单项式法则： 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的 商相加. 教师设问：你现在知道光速约是声速的多少倍吗？ 学生回答： (
8
2
)(3 10 ) (3 10 ) = 108-2 = 106 答：光速约是声速的106 倍 例 3.计算 （1） - 5a5b3c 15a4b 解：原式 = - ab2c
5
3 分 钟 2 分 钟 巩固练习 例题解析 （2） 3m(2m2p)3 4m2 解：原式 = 3m(8m6p3 ) 4m2 (
=
m
p
m
)24 7 3 4 2 = 6m5p3 （3） (12a3 - 6a2 + 3a) 3a 解：原式 = 12a3 3a - 6a2 3a + 3a 3a (
=
a
-
a
+
)4 2 2 1 练习 2.计算 （1） 28x4y2 (-7x3y) 解：原式 = -4xy （2） (6a3b2 - 5a2 + 8a) (-a) 解：原式 = 6a3b2 (-a) - 5a2 (-a) + 8a (-a) = -6a2b2 + 5a - 8 例 4.若一个长方形的面积为 a3 - 2ab + a ，宽为 a ，则长方形的长为 分析：根据“长方形的面积等于长乘宽的积 ” 可知：长方形的长=面积÷ 宽 (
3
)解： (a - 2ab + a) a = a3 a - 2ab a + a a = a2 - 2b + 1
6
2 分 钟 归纳小结 例 5.已知 2a -b = 6 ，求 [a2 + b2 + 2b(a -b) - (a -b)2 ] 4b 的值 解：原式= [a2 + b2 + 2ab- 2b2 - (a -b)(a -b)] 4b = [a2 + b2 + 2ab- 2b2 - (a2 - 2ab + b2 )] 4b (
=
a
2
+
b
2
+
2
ab
-
2
b
2
-
a
2
+
2
ab
-
b
2
4
b
)[ ] = (4ab- 2b2 ) 4b = a - b 又：2a -b = 6 \ a - b = 3 原式= 3 注：本题先利用多项式除法单项式进行运算，再运用整体的思想代入求解 活动 5：总结 一、同底数幂的除法法则： am an = am-n (a 0, m, n都是正整数，并且m > n) 二、任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1. a0 = 1（a 0） 三、单项式除以单项式法则： 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 四、多项式除以单项式法则： 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的 商相加. 五、计算时，先处理符号，再利用法则 教材 105 页---6 计算
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1 分 钟 布置作业 (1) (a3 )2 (a2 )3 ； (2) 24x2y (-6xy) ； (2) (ab2 )3 (-ab)2 ； (4) 7m(4m2p)2 7m2 ；
(5) (6x4 - 8x3 ) (-2x2 ) ； (6) (0.25a2b- a3b2 - a4b3 ) (-0.5a2b) .
8课题 整式的乘法（第一课时）
教学目标
教学目标： (1) 理解并掌握单项式与单项式相乘的法则，能够熟练地进行单项式的乘法运算； (2) 经历单项式与单项式相乘的法则的探究过程，发展学生的归纳概括能力； (3) 在探索新知的过程中体会从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程，体会类比、 转化等数学思想方法. 教学重点：掌握单项式乘单项式的法则，应用法则熟练进行运算. 教学难点：探索并归纳运算法则、理解运算法则.
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
2 分 钟 (1) 复习 旧知 做好 铺垫 教师提出问题，引导学生回顾幂的运算性质. 1 ．am an =am+n (m,n 都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.(am)n =amn (m,n 都是正整数) 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.(ab)n=anbn (n 为正整数) 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
1
3 分 钟 (2) 创设 情境 引入 新知 4.计算（1）23 25= （2）a3 a4= （3） (- 2xy)2 = （4）(- m2 )3 = 解：(1)23 25=23+5=28 (2) a3 a4=a3+4=a7 (3) -2xy2=(-2)2x2y2=4x2y2 (4) m23= -13 m23= m6 光的速度约是 3× 105km/s,太阳光照射到地球需要的时间约是 5× 102 s 问题 1：你知道地球与太阳的距离是多少吗？ 教师提出问题： （1） 表示出地球与太阳的距离; （2） 表示地球与太阳的距离的式子属于什么运算; （3） 计算，表示出运算结果. 学生列算式解答，并回答问题: 距离等于速度乘以时间，即：(3× 105)×(5× 102) 这个式子属于含有科学计数法的有理数乘法运算，可以把 3 与 5 相乘，105 与 102 相乘，即(3×5)×(105 × 102) (3× 105) ×(5× 102)=(3×5)×(105 × 102)=15× 107= 1.5 × 108 (km) 追问 1：如果我们把 3 和 5 看成是科学计数法的系数，(3×5)×(105 × 102)可以 用文字语言如何描述？ 学生回答：系数与系数相乘，同底数的幂相乘. 追问 2：如果把底数 10 换作字母 a,将式子(3× 105)×(5× 102)变为 3a5 .5a2 ,请问这属于什么运算？ 学生回答：单项式乘以单项式. 通过前面的三个问题，教师引出本节课的课题—— 单项式乘以单项式，明 确本节课探究的主要内容：单项式乘以单项式的运算是怎样进行的？如何 确定运算结果？ 【问题 2】：类比计算(3× 105) ×(5× 102) ，你会如何进行 3a5 .5a2 的运算？
2
5 分 钟 2 分 钟 (3) 类比 转化 生成 法则 (4) 分析 依据 明确 算理 学生在教师的引导下，根据乘法交换律和乘法结合律，我们可以将单项式 的系数与系数相乘， 同底数的幂相乘，得到 (3x 5) . (a 2 . a 5 ) 再根据同 , 底数幂的运算性质，进一步计算得到1 5 a 7 . 追问 1：如果在单项式中增加一个因式b3 , 即 3a5 .5a2 .b3 该怎样运算呢？ 学生在教师的引导下，得出：将b3 照抄下来，进一步归纳对于只在一个单项 式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 追问 2：你能尝试归纳单项式与单项式乘法法则吗？ 学生尝试进行归纳，用自己的语言加以概括，小组讨论，教师在学生表述 的基础上，和学生共同得到单项式乘以单项式的法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个 单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 追问 3：按照单项式乘以单项式的法则，运算包括几个步骤？ 学生尝试提炼步骤，教师在学生回答的基础上进行归纳： 法则分三步走：1.系数相乘；2.相同字母，同底数幂相乘；3.不同字母连同 指数抄下来. 【问题 3】：(3× 105) ×(5× 102)=(3×5)×(105 × 102) ， 3a5 5a2=(3×5)(a5 a2) 上面的运算过程中，运算的依据是什么？运用了哪些运算律和 运算性质？ 学生通过观察、思考、讨论，进行归纳：运用的运算律是乘法交换律、乘 法结合律、运算性质是同底数幂相乘. 教师在学生回答的基础上进行总结：有理数的运算律和运算性质在整式运 算中仍然适用，即数式通性. 类比学习 有理数的乘法----院单项式乘以单项式 从数到式 数式通性 例 1： 计算 (1) 4x(一 2x3y 2 ) (2)(-5a2b)(-3a)
3
10 分 钟 (5) 例题 练习 应用 法则 例 1 是单项式与单项式乘法法则的直接应用,师生共同进行分析解答，教师 引导学生利用单项式乘法法则进行运算，清晰运算步骤，另外注意系数乘 积运算，先确定运算符号. 解：（1） 4x(一 2x3y2 ) = [4 x(一 2)](x . x3 ). y2 = 一8x4y2 （2） -5a2b -3a= -5 × -3(a2 a) b=15a3b 练习 1：下面的计算对不对？如果不对，请改正 13a3 2a2=6a6 2)2x2 3x2=6x4 ( 3 3x2 4x2= 12x2 (4)5y3 3y5= 15y15 学生独立思考，通过辨析，熟练单项式与单项式乘法法则. 解：（1）3a3 2a2=6a6 ，错误，3a3 2a2=6 a3 a2=6a5 , 同底数幂相乘，底数不变，指数应该是相加，不是相乘. （2）正确 （3）3x2 4x2= 12(x2 x2)=12x4 （4）5y3 3y5= 15y3 y5= 15y8 注意区别同底数相乘运算和幂的乘方运算. 例 2 ： 比较式子①(2x)(-5xy2) 与 ②(2x)(-5xy)2 有何不同？并进行计算. 教师引导学生分析得出：指数 2 所在的底数不同，第一个式子的底数是y， 第二个式子的底数是-5xy. 2x -5xy2是两个最简单项式直接相乘，直接用法则即可. 而(2x)(-5xy)2 含有积的乘方、单项式乘以单项式的运算，应该先算积的乘方， 再算单项式乘法. 即先乘方，再进行单项式的乘法运算.通过对比，学生体会 到需要考虑运算顺序. 解：(2x)(-5xy2)=2 × -5 x x y2=-10x2y2 (2x)(-5xy)2=2x 25x2 y2= 2 ×25 ox x2y2=50x3y2 练习 2. 计算02x 3 (-5xy2) 学生独立思考，完成,教师在学生完成的基础上强调运算顺序——含有乘方 的运算，先算乘方再算乘法，强调注意运算符号. 解：02x 3 (-5xy2) =8x3 . -5xy2=[8×(-5)](x3 .x).y2 =-40x4y2
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例 3 计算（1） 2mn)3 -mn2)3 2)5a2b3 4b2 c - a2 ) 例 3（1）除了积的乘方运算、单项式乘以单项式，还有幂的乘法运算；学 生在教师的引导下，一起分析运算顺序，复习幂的运算性质，对于符号， 容易错，先确定运算符号。（2）是三个单项式相乘的运算， 教师引导学生 一起分析，体会单项式乘以单项式运算法则同样适用,系数相乘时，先确定 运算符号. 解： 12mn3 -mn23=8m3n3 -m3n6) =-8 m3 m3)(n3n6)=-8m6n9 2)5a2b3 4b2c - a2 ) = -5 ×4 × 21 a2 a2b3 b2 c=-10a4b5 c 练习 3： (1) -a22 -3ab23 （2）(-3xy)(-x2z)(6xy2z) 学生在独立思考的基础上独立完成,教师巡视发现学生可能存在的问题，进 行指导. 解:(1) -a22 -3ab2) (3=a4 -27a3b6 =-27a4 a3b6=-27a7b6 （2）(-3xy)(-x2z)(6xy2z) = 18x x2 x) y y2 z z= 18x4y3z2 拓展提升： 已知(x2y3 )m 与 (2xy n+1)2 的积是 x4 y9 的同类项，求 m ，n 的 值. 本题是指数中含有字母的运算，相比前面指数是数字的运算，难 度有所提升，教师首先引导学生算出(x2 y3 )m (2xy n+1)2 的结果，再根据同 类项概念“所含字母相同并且相同字母的指数也相同” 列出关于 m ，n 的方 程组，最后解方程组.
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3 分 钟 (6) 课堂 小结 课后 作业 (
1
2 3
m n
+
1
2
)解： 8 (x y ) (2xy )
1 2m 3m 2 = 8 x y 2 2 2n+2 x y
(
l
3
m
+
2
n
+
2
=
9
) (
l
n
=
2
)= ( x 4)x2m+2y3m+2n+2 依题意： (
〈
)(2m + 2 = 4 (
解得：
〈
)(m = 1 教师与学生一起回顾本节课序所学的主要内容： （1）归纳出单项式乘以单项式乘法法则和运算步骤; （2）明确了单项式乘以单项式运算运用的运算律是乘法交换律、乘法结合 律、运算性质是同底数幂相乘; （3）体会类比思想和转化思想：类比有理数的乘法运算，我们就把“ 单项 式乘以单项式”转化为学过的“有理数的乘法、同底数幂乘法、幂的乘方、积 的乘法”等运算; （4）体会有理数的运算律和运算顺序在整式运算中仍然适用，即数式通性; （5）提高运算正确律 :注意结果的运算的符号，注意幂的运算性质的正确 应用，注意运算顺序等等. 作业： 1. 计算 01 3x2 5x3 2〕4y -2xy2 03〕0-3x2 4x2 4〕(-2a)3 (-3a)2 2.若 -5am+1b2n-1(2anbm=-10a4b4 ，则 m-n 的值为 3.计算：（1）(a3b)2 (a2b)3 (
1
2
2
2
3
3
)（2） (- 2 xyz)(3 x y )(- 5 yz )
6课题 整式的乘法（第三课时）
指导教师 崔佳佳 北京市西城区教育研修学院
教学目标
教学目标： （1）理解并掌握多项式乘以多项式的运算法则.体会乘法分配律的作用，渗透“整体 ” 和“转化 ”的数学思想，发展学生的思维能力和运算能力； （2）经历探索多项式与多项式相乘的过程，借助几何图形，对运算法则及公式作出直观 解释，体会数形结合的重要数学思想和方法.能够按多项式乘法步骤进行简单的多项式 乘法的运算，达到熟练进行多项式的乘法运算的目的； （3）培养学生的数学感知，体验数学在实际应用中的价值，树立良好的学习态度. 教学重点：多项式乘以多项式法则的形成过程以及理解和应用. 教学难点：多项式乘以多项式法则熟练和正确地使用.
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
2 分 钟 温 故 知 新 活动 1： 教师设问：幂的运算性质是什么？ 学生回答：同底数幂的乘法： am . an = am+n (m, n为正整数) 幂的乘方： (am )n = a mn (m, n为正整数) 积的乘方： (ab)m = amb m (m为正整数)
1
5 分 钟 探 究 新 知 教师设问：单项式乘单项式的运算法则是什么？ 学生回答：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只 在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 教师设问：单项式乘多项式的运算法则是什么？ 学生回答：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所 得的积相加. 教师设问： p(a + b) = 学生回答：根据单项式乘以多项式的运算法则 p(a + b) = pa + pb 活动 2： 问题引入：为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长 am 、宽 pm 的长方形绿 地,加长了 bm , 加宽了 qm .你能用几种方法求出扩大后的绿地面积 教师设问： (1)扩大后的公园的面积有几种表示法 学生思考，得出结论： 第一种：整体求面积，得 (a + b)(p + q) (
p
(
a
+
b
)
q
(
a
+
b
)
)第二种：先求 A 和 B 的总面积为 再求 C 和 D 的总面积为 最后求和,得p(a + b)+ q(a + b) 第三种：先求 A 和 C 的总面积为 a(p + q) 再求 B 和 D 的总面积为 b(p + q) 最后求和,得 a(p + q) + b(p + q) 第四种：分别求出 A,B,C,D 的面积，再求和，得 ap + aq +bp +bq 教师设问： (2)用四种方法表示出来的代数式是什么关系呢 为什么呢？ 学生回答：用四种方法表示出来的代数式是相等关系，因为图形的面积是相等 的。
2
2 分 钟 3 分 钟 得出 结论 例 题 解 析 教师引导学生总结： 式子 1： (a + b)(p + q) = p(a + b)+ q(a + b) = ap + aq +bp +bq 式子 2： (a + b)(p + q) = a(p + q) + b(p + q) = ap + aq +bp +bq 教师设问：两个式子中第二步是利用什么进行的计算？ 学生回答：乘法分配律 教师设问：两个式子中第一步是利用什么进行的计算？ 学生思考，教师引导，得出总结：式子 1 是将 (a + b) 看成一个整体，式子 2 是 将 (p + q) 看成一个整体，分别再利用乘法分配律。 活动 3： 教师引导学生总结： 多项式乘以多项式的解决方法： 多项式乘以多项式→单项式乘以多项式→单项式乘以单项式 蕴含的数学思想—“整体 ”的思想 多项式与多项式相乘法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加. 活动 4： 例 1.计算 （1） (3x +1)(x + 2) 解：原式 = (3x) . x + (3x) 2 + 1 . x + 1 2 = 3x2 + 6x + x + 2 (
=
x
+
x
+
)3 2 7 2
3
1 分 钟 巩 固 练 习 （2） (x 一 8y)(x 一 y) 解：原式 = x . x + x . (一y) + (一8y) . x + (一8y) . (一y) (
2
2
)= x 一 xy 一 8xy + 8y = x2 一 9xy + 8y2 注意：单项式的每一项要带上自己前面的符号看 （3） (x + y)(x2 一 xy + y2 ) 解：原式 3 2 2 2 2 3 = x 一 x y + xy + x y 一 xy + y 3 3 = x + y 练习 1.计算 (1) (2x +1)(x 一 3) 解：原式 = 2x2 一 6x + x 一 3 = 2x2 一 5x 一 3 (2) (2x 一 5)(x2 + 3x 一 1) 解：原式 = 2 x3 + 6 x 2 一 2 x 一 5 x 2 一 15 x + 5 = 2 x3 + x 2 一 17 x + 5
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7 分 钟 例 题 解 析 例 2. 如图，边长为m + 3 的正方形纸片，剪出一个边长为 m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙） ，若拼成的矩形一边长为 3，根 据剩余部分的面积，写出一个正确的等式是 分析：剩余部分的面积有两种方法表示： 1、大正方形的面积减去小正方形的面积： (m + 3)2 - m2 2、剩余的部分剪拼成一个小长方形的面积： 3(m + 3 + m) 整理得： 3(2m + 3) 所以，等式是 (m + 3)2 - m2 = 3（2m + 3） 注：可以用整式的乘法进行验证 左 = m2 + 6m + 9 - m2 = 6m + 9 右 = 6m + 9 例 3.(1) 已知： x +11y = 0 求：代数式 (x + 3y)(x - 4y) - (x - y)(x + y) 的值
5
3 分 钟 巩 固 练 习 (2) 如果 (a + b + 1)(a + b 一 1) = 63 ，求 a + b 的值 分 析 ： 将 a + b 看 成 一个整体 ， 用 多 项 式乘 以 多 项 式 的法 则进 行运 算 解：(a + b)2 一 (a + b) + (a + b) 一 1 = 63 得：(a + b)2 = 64 ：a + b = 土8 (3)如果 (x + m) 与 (x－4) 的乘积中不含 x 的一次项，求 m 的值 分析： “不含 x 的一次项 ”是指 x 的一次项系数为 0，不用将所有项都展开， 只需将整理含 x 的一次项整理出来 解：整理一次项得： (m－4)x 乘积中不含 x 的一次项 ：m 一 4 = 0 ：m = 4 练习 2. (1)若代数式 (x 一 a)(x 一 b) 一 ab 可化为x2 一 6x ,求 a + b 的值 解： (x 一 a)(x 一 b) 一 ab = x2 一 (a + b)x + ab 一 ab = x2 一 (a + b)x 又(x 一 a)(x 一 b) 一 ab = x2 一 6x ：x2 一 (a + b)x = x2 一 6x ：a + b = 6
6
1 分 钟 1 分 钟 归 纳 小 结 布 置 作 业 (2)若 x + y = 3, (x + 2)(y + 2) = 12 ，求 xy 的值 解： ：(x + 2)(y + 2) = 12 ：xy + 2(x + y) + 4 = 12 ：x + y = 3, ：xy + 2x 3 + 4 = 12 ：xy = 2 活动 6： 利用“整体 ”的思想和乘法分配律，将多项式乘以多项式转化成单项式乘以多 项式，再利用乘法分配律将其转化成单项式乘以单项式，进而将问题解决. 多项式与多项式相乘法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加.
课后作业 1.教材 102 页练习 2 计算 (1) (2x +1)(x + 3) ； (3) (a 一 1)2； (5) (2x2 一 1)(x 一 4) ； (2) (m + 2n)(3n 一 m) ； (4) (a + 3b)(a 一 3b) ； (6) (x2 + 2x + 3)(2x 一 5) .
2.教材 105 页-8 计算 (1) (x 一 3)(x 一 3) 一 6(x2 + x 一 1) ； (2) (2x + 1)2 一 (x + 3)2 一 (x 一 1)2 + 1 . 3.已知 ab = a + b +1 ，求 (a 一 1)(b 一 1) 的值.
7课题 整式的乘法（第二课时）
教学目标
教学目标： (1) 在具体情境中，了解单项式乘以多项式的意义，理解并掌握单项式与多项式相 乘的法则； (2) 能熟练、正确地运用法则进行单项式与多项式的乘法运算； (3) 经历探索单项式与多项式的乘法法则的过程，让学生体验从特殊到一般的分析 问题的方法，感受转化思想、数形结合思想. 教学重点：掌握单项式乘多项式的法则，应用法则熟练进行运算. 教学难点：正确进行单项式与多项式的乘法运算.
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
3 分 钟 (1) 复习 旧知 做好 铺垫 教师提出问题，引导学生回顾单项式乘以单项式的运算 （1） 6x2 . 3xy （2） 2ab2 . (一 3ab) （3） 4x2 y . (一 xy2 )3 复习单项式乘单项式的运算法则和运算步骤：1.系数相乘；2.相同字母，同 底数幂相乘；3.不同字母连同指数抄下来.
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3 分 钟 (2) 创设 情境 引入 新知 通过复习，为本课的学习做好铺垫. 解：（1）原式 = (6 x 3)(x2 xy) = 18x3y （2）原式 = (一 2 x 3)(a . a)(b2 . b) = 一6a2b3 （3）原式 = 4x2 y . (一 1)3 . x3 (y 2 )3 = 一4(x2 . x3 )(y . y 6 )= 一4x5y7 【引入】为了扩大绿地面积，要把街心花园 的一块长为p 米，宽 b 米的长方形绿地，向 两边分别加宽 a 米和 c 米. 教师提出问题： （1） 你能用哪些方法表示扩大后的绿地面积; （2） 不同的表示方法之间有什么关系？为什么？ 学生并回答问题: （1） p(a + b + c) 或pa + pb + pc 或 p(a + b)+ pc 或pa + p(b + c) （2）相等，都表示扩大后的长方形的面积. 追问 1:你还能通过别的方法得到等式 p(a + b + c) = pa + pb + pc 吗？ 学生回答：乘法分配律. 追问 2： p(a + b + c) = pa + pb + pc ，请问这属于什么运算？ 学生回答：单项式乘多项式. 教师引出本节课的课题——单项式乘多项式，明确本节课探究的主要内容： 单项式乘多项式的运算是怎样进行的？如何确定运算结果？ 【问题 1】：你能尝试计算 2x(x 一 2y) 吗？ 教 师 引 导 学 生利 用 乘法 分 配 律进 行 运 算 . 2x(x 一 2y) = 2x . x 一 2x . 2y = 2x2 一 4xy 追问 1：你能尝试归纳单项式与多项式乘法运算法则吗？ 学生尝试进行归纳，用自己的语言加以概括，小组讨论，教师在学生表述 的基础上，和学生共同得到单项式乘以多项式的运算法则：
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4 分 钟 12 分 钟 (3) 归纳 法则 提炼 步骤 (4) 例题 练习 应用 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 相加. 追问 2：你能尝试归纳单项式与多项式相乘的步骤吗？ ①用单项式去乘多项式的每一项； ②转化为单项式与单项式的乘法运算； ③把所得的积相加. 教师引导学生进行归纳：这里我们将单项式与多项式相乘转化为单项式相 乘，这体现出数学的转化思想. 例 1 计算 （1） (一 4x2 )(3x +1) （2） ab2 一 2ab . ab 【分析】引导学生进行分析： （1） 中单项式是 一 4x2 多项式是 3x +1 , , 根据单项式乘多项式法则，用一 4x2 分别乘 3x, 1,再把得到的积相加.
（2） 中多项式是 ab2 一 2ab , 多项式的两项是 ab2 和 一 2ab ，注意多项
式的每一项都包括前面的符号,还要注意单项式的符号，从而正确确定积的 符号. 进一步归纳: ①单项式乘以多项式，结果是一个多项式，其项数与所乘多项式的项数相 等； ②要特别注意积的符号：多项式的每一项包括前面的符号，要注意积的各 项符号的确定，同号相乘得正，异号相乘得负. （1）解：原式 = (一 4x2 )3x + (一 4x2 )x 1 = (一 4 x 3)(x2 . x)+ (一 4x2 ) = 一12x3 一 4x2 （2）解：原式 = ab2 . ab + (一 2ab). ab = a2b3 一 a2b2
3
或： 原式 = ab2 . ab 一 2ab. ab = a2b3 一 a2b2 练习 1 计算： （1） 3a(5a 一 2b) （2） (x 一 3y)(一 6x) 通过练习进一步落实单项式与多形式相乘的步骤和注意事项. 解： （1）解：原式 = 3a . 5a 一 3a . 2b = 15a2 一 6ab （3）解：原式 = 一x . 6x + 3y . 6x = 一6x2 +18xy 练习 2 判断下面的计算是否正确，如果不对，请改正. （1） (x 一 2y)(一 2x) = 一2x2 一 4xy (
（
5
)
)（2） (|一 3 x2 y)|(5xy +1) = 一3x3y 2 +1 （3） 4xy(3x2 + 2xy 一 1)= 12x3y + 8x2 y 2 解：（1） (x 一 2y)(一 2x) = 一2x2 + 4xy 注意符号：注意积的符号的确定， (一 2x)(一 2y) = 4xy ，负负得正. (
（
5
)
5
)（2） (|一 3 x2y)|(5xy +1) = 一3x3y2 一 3 x2y (
（
5
)
5
)运用乘法分配律，每一项都要分配到位， (|一 3 x2y)| . 1 = 一 3 x2y （3） 4xy(3x2 + 2xy 一 1)= 12x3y + 8x2 y 2 一 4xy 单项式乘以多项式，积仍是一个多项式，其项数与所乘多项式的项数相等， 错解中结果为两项，错因在于4xy 与- 1 没有相乘， 4xy . (一 1) = 一4xy . 当多 项式里含有 1 或-1 时，注意不要漏乘. 例 2 计算 （1） am (am 一 a2 + 7)
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(
（
2
)
)（2） (|3x2 + 2y 一 1 y2 )| . (一 2xy)2 【分析】（1）中指数含字母，依据单项式乘多项式法则逐步进行即可,注意 正确应用幂的运算性质: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. （2）中含有乘方运算，运算顺序上先乘方，再进行单项式与多项式的乘法 运算. 解：（1）原式= am . am 一 ama2 + 7am = am+m 一 am+2 + 7am = a2m 一 am+2 + 7am (
（
2
)
)（2）原式= (一 2)2 x2y2 (|3x2 + 2y 一 1 y2 )| (
（
2
)
)= 4x2 y 2 (|3x2 + 2y 一 1 y 2 )| 2 2 2 2 2 1 2 2 2 = 4x y . 3x + 4x y . 2y 一 4根 2 x y . y = 12x4 y 2 + 8x2 y3 一 2x2 y4 练习 计算 (
（
5
)
3
)（1） (| 3 abm一1 + 3am一1b +1)| . 2 ab （2） (一 2a2b)3 (2a 一 3b +1) 注意正确进行幂的运算法则，单项式乘单项式法则，单项式乘多项式法则， 教师巡视，发现问题，进行有针对性的指导. 解：（1）原式 = abm一1 . ab + 3am一1b. ab + ab = a1+1bm一1+1 +2am一1+1b1+1 +ab = a2bm + 2amb2 + ab
5
（2）原式 = (一 2)3 (a2 )3 b3 (2a 一 3b +1) = (一 8a6b3 )(2a 一 3b +1) = 一8 x 2a6b3 . a + 8 x 3a6b3 . b 一 8a6b3 = 一16a7b3 + 24a6b4 一 8a6b3 例 3 计算 (
2
2
)2(a b 一 ab +1)+ 3ab(1 一 ab) 【分析】本题含有混合运算，注意运算顺序，对于同类项注意进行合并， 结果要最简. 解：原式 = 2a2b2 一 2ab + 2 + 3ab 一 3a2b2 (
2
2
2
2
)= (2a b 一 3a b )+ (一 2ab + 3ab)+ 2 = 一a2b2 + ab + 2 练习 计算 一 2xy x2 一 3y2 一 4xy(2x2 + y2 ) (
2
3
)注意 一 (8x . x . y + 4xy ) ，括号前是负号，去括号后，注意每一项都要变 号，尤其要关注第二项的符号. 解：原式 = 一2xy . x2 + 2xy . 3y2 一 (4xy . 2x2 + 4xy . y2 ) (
=
一
x
.
x
y
+
6
xy
.
y
一
8
x
.
x
.
y
+
4
xy
)2 2 ( 2 3 ) = 一x3y + 6xy3 一 8x3y 一 4xy3 = 一9x3y + 2xy3 例 4 先化简，再求值 () )混合运算.注意运算顺序， 和有理数的运算顺序一样，先乘方、再乘除，后加减，有括号，先算括号
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3 分 钟 (5) 课堂 小结 课后 作业 里的.运算结果要检查，结果要最简，所以如有同类项要合并.求值问题，应 先化简，再求值. 解：原式 = 2x3 一 4x2 一 6x3 + 3x2 + x(4x2 ) = 2x3 一 4x2 一 6x3 + 3x2 + 4x3 = (2x3 一 6x3 + 4x3 )+ (- 4x2 + 3x2 ) 2 = 一x (
1
2
(
1
)
2
1
) (
2
（
2
)
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)当x = 一 时，原式 = 一x = 一| 一 | = 一 练习：先化简，再求值 3a(一 2a2b)2 + 3a(一 4a4b2 一 b +1) 其中 a=-3,b=-2. 【分析】注意正确进行幂的运算法则，单项式乘单项式法则，单项式乘以 多项式法则，教师巡视，发现问题，进行有针对性的指导. 解：原式 = 3a . 4a4b2 一 12a5b2 一 3ab + 3a = 12a5b2 一 12a5b2 一 3ab + 3a = 一3ab + 3a 当 a = 一3, b = 一2 时，原式 = 一3 x (一 3)x (一 2)+ 3x (一 3) = 一 18 一 9 = 一27 教师与学生一起回顾本节课序所学的主要内容： （1）归纳出单项式乘多项式乘法运算法则和运算步骤； （2）明确了单项式乘多项式运算运用的运算律是乘法分配律； （3）体会转化思想：将单项式与多项式相乘转化为单项式相乘；体会数形 结合思想方法： 同一个矩形的面积可以通过不同的方式来表示,将乘法分配 律通过图形直观呈现； （4）提高运算正确率.常见错误: ①单项式与多项式中的项勿漏乘，尤其是 1 或-1； ②注意符号：多项式的每一项都包括前面的符号,还要注意单项式 的符号，从而正确确定积的符号； ③注意运算顺序：在混合运算时，还有 注意运算顺序,先乘方、再乘除，后加减，有括号，先算括号里的;④注意结 果最简：运算结果要检查,有同类项的必须合并同类项,从而得到最简结果.
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作业： 1. 计算： （1） (4a -b2 )(- 2b) （2） 2x2 (|（x - (
（
3
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)
)（3） 5ab(2a -b + 0.2) （4） (|2a2 - 2 a - 4 )|(- 9a) 2.化简：（1） x(x - 1)+ 2x(x +1) - 3x(2x - 5) （2） 3xy6xy - 3(xy - x2y) 3. 先化简，再求值 3a(2a 2 - 4a + 3)- (2a)2 (3a + 4) 其中 a = -2
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