课题 整式的乘法与因式分解全章复习(第一课时)
教学目标
教学目标： 1.巩固整式的乘法法则，并利用整式的乘法解决有关问题； 2.通过整式的乘法运算，加深对知识的理解，建立比较清晰的知识体系. 教学重点：熟练地运用整式的乘法法则进行运算. 教学难点：灵活运用整式的乘法法则解决有关问题.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
2 分 钟 一 、 本章知 识结构 本章我们类比数的乘法学习了整式的乘法.整式的乘法主要包 括幂的运算性质、单项式的乘法、多项式的乘法，还学习了特 殊形式，乘法公式等.利用“除法是乘法的逆运算 ”，学习了简 单的除法，掌握了因式分解这种与整式的乘法方向相反的变形. 这是本章的知识结构图. 我们这节课主要复习整式的乘法，因式分解的具体内容下节课 再复习.
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22 分 钟 二、 典例 选讲 在整式的运算中，幂的运算是基础，有着至关重要的作用,下面 我们通过具体的例题来看一下. 【例 1】判断下面的计算对不对？如果不对，应该怎样改正？ （1）a2 ·a3=a6 ； （2） (b4)3=b7； （3）a10÷a2=a5 ； （4） (-2ab2)3=-8a3b6. 【分析】 （1）明确运算法则；（2）法则具体内容. 【答案】解：（1）a2 ·a3=a6 ， × , 改正：a2 ·a3=a5； （2） (b4)3=b7 ， × , 改正： (b4)3=b12； （3）a10÷a2=a5 ， × , 改正：a10÷a2=a8； （4） (-2ab2)3=-8a3b6 ， √ , (-2ab2)3=(-2)3a3 (b2)3=-8a3b6. 【小结】 1.幂的运算法则： （1）am ·an=am+n (m,n 都是正整数)； （2） (am)n =amn (m,n 都是正整数)； （3）am÷an=am-n (a ≠0,m,n 都是正整数,并且 m ＞n)； （4） (ab)n=anbn (n 都是正整数). 2.使用法则时，要明确法则和具体内容. 【例 2】已知 10m=5 ，10n=3 ，求 102m+3n 的值. 【分析】 要想求 102m+3n 的值，可以先求 m，n 的值，10 的多少次方等于 5 呢？10 的多少次方等于 3 呢？就我们现在来说是求不出来的. 观察题目中已知条件与所求值的代数式的特点，都是幂的形式， 并且底数相同都是 10，指数不同，用 10m ，10n 如何表示 102m+3n 呢，102m+3n 是指数相加的形式，我们不难想到同底数幂相乘， 逆用就得到 am+n=am ·an ，所以 102m+3n= 102m ·103n ，而 102m 与 103n 是指数相乘的形式，我们想到幂的乘方，逆用得到 amn =(am)n =(an)m ，102m=(10m)2 ，103n=(10n)3 ，这道题就可以解 决了. 【答案】解：102m+3n= 102m · 103n=(10m)2 · (10n)3. 将 10m=5 ，10n=3 代入，原式=52 ×33=675. 【巩固练习】 计算：0.12516 根 (- 8)17 . 【分析】 运算中有乘、乘方，按照运算顺序，先算乘方，但是计算比较 复杂，观察式子的特点，底数虽然不同，但是 0.125 与-8 乘积 等于-1 ，逆用 anbn= (ab)n ，但是指数 需要相 同 ，所 以逆用 am+n=am ·an 后就解决问题. 【答案】解：原式
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= 0.12516 根 (- 8)16 根 (- 8) = [0. 125 根 (- 8)]16 根 (- 8) = -8. 【小结】 幂的运算算法则不仅可以正用，也可以逆用. （1）am+n=am ·an (m,n 都是正整数)； （2）amn =(am)n (m,n 都是正整数)； （3）am-n=am÷an (a ≠0,m,n 都是正整数,并且 m ＞n)； （4）anbn= (ab)n (n 都是正整数). 在复习了幂的运算的基础上，我们来看一道例题. 【例 3】若定义一种新运算，a *b=2ab-b2 ，求 x * (x+2y). 【分析】 这道题定义了一种新运算，两数*运算，它的法则是什么？ =2ab-b2 ，也就是这两数乘积的 2 倍与后一个数的平方的差，转 化为我们已经学过的整式的运算,关键是确定这两数. 【答案】解：（1） ∵a *b=2ab-b2， 法一： ∴x * (x+2y)=2x (x+2y)- (x+2y)2 （单×多）（完全平方公式） =2x2 +4xy- (x2 +4xy+4y2) =2x2 +4xy-x2-4xy-4y2 =x2-4y2； 此题是化简，结果应为一个整式，注意和因式分解结果的区别. 同学们，这道题还有其他的方法化简吗？ 法二： ∴x * (x+2y)=2x (x+2y)- (x+2y)2 = (x+2y)[2x- (x+2y)] = (x+2y)(2x-x-2y) = (x+2y)(x-2y)（平方差公式） =x2-4y2； 我们不仅可以利用整式乘法化简，也可以利用分解因式达到化 简的目的. 【巩固练习】 先化简再求值： (ab+2)(ab-2)- (a2b2-4ab)÷ab ，其中 a=-3， b= . 分析：明确运算顺序，运算法则.按照要求对代数式先化简，运 算有加、减、乘、除，按照运算顺序，先算乘除，后算加减. 解：原式=a2b2-4- (ab-4)（平方差公式）（多÷单） =a2b2-4-ab+4 =a2b2-ab 将 a=-3 ，b=代入，原式=(ab)2-ab= .
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【小结】 1.明确运算顺序： （1）有括号要先算括号里的； （2）先乘方，再乘除，最后加减. 2.明确运算法则： （1）整式的运算法则，单项式的乘除法是关键； （2）新定义的运算法则，一般转化为学过的运算法则. 3.运算中正确使用乘法公式： 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2； 完全平方公式： (a ±b)2=a2 ±2ab+b2. 【例 4】如图 1 是一个长为 4b 、宽为 a 的长方形，沿图中虚线 用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个 “ 回形 ”正方形（如图 2）. (1)观察图 2，请写出(a+b)2 ， (a-b)2 ，ab 之间的数量关系； (
b
a
)(2)应用：根据(1)中的结论，若 x+y=5 ，xy = ，求 x-y 的值. 4b b a (
a
)a b a b 图 1 图 2 【分析】 (1)结合图 2，(a+b)2 表示的是大正方形的面积，ab 是一个小长 方形的面积，而(a-b)2 呢？观察图 2 发现，中间阴影部分的图 形是正方形，边长是 a-b，所以(a-b)2 是中间阴影小正方形的面 积. 由图 2 发现，大正方形的面积=小正方形的面积+4 个长方形 的面积； (2)由(1)得到，a+b ，a-b ，ab 的关系，整体代入，可以解决. 【答案】解： (1)(a+b)2=(a-b)2+4ab； (2)由(1)得： (a+b)2=(a-b)2+4ab，
∵x+y=5 ，xy = ，
∴52= (x-y)2+4× 9 . 4
∴(x-y)2=16. 对于(a+b)2=(a-b)2+4ab 这个关系，我们不仅可以通过图形之间 的面积关系得到，也可以通过完全平方公式变形得到. 【小结】 完全平方公式既可以直接使用，也可以变形使用，通过这些关 系式，a+b ，a-b ，ab ，a2 +b2 ，知二求二.
4
【巩固练习】 已知长方形 ABCD 的周长为 20，面积为 28，求分别以长方形的 长和宽为边长的正方形面积之和是多少？ 【分析】 我们一起画一下示意图，为了使条件更加直观，设长为 x，宽为 y ，则 2(x+y)=20，xy=28 ，要求的是 x2 +y2 的值.直接求 x，y 的 值，就现在的知识还不能解决，那么 x2 +y2 ，x+y ，xy 之间有什 么关系呢？利用完全平方公式的变形，解决问题. 【答案】解：设这个长方形的长为 x ，宽为y ，则 (
y
D
) (
(
2
(
x
+
y
)
=
20
) (
A
) (
〈
)lxy = 28 ， (
(
x
+
y
=
10
) (
x
):〈lxy = 28 . (
B
) (
C
)∴x2 +y2=(x+y)2-2xy= 102-2 ×28=44. ∴分别以长方形的长和宽为边长的 正方形面积之和是 44.
1 分 钟 三、 归纳 总结 这节课复习了整式的乘法，并灵活运用，相信同学们对这一章 有了比较清晰的认识. 对于运算问题：明确法则，理清顺序； 使用运算法则：既可以正用，也可以逆用；既可以直接用，也 可以变形用.
四、 课后 练习 1.计算： （1） (2a)3 ·b4÷ 12a3b2 ； （2） (2a+3b)(2a-b)； （3）3(y-z)2- (2y+z)(-z+2y)；（4）[x (x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y. 2.求证：当 n 是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2- (2n-1)2 是 8 的倍数.
5课题 整式的乘法与因式分解全章复习(第二课时)
教学目标
教学目标：1.巩固因式分解的定义与方法，并利用因式分解解决有关问题； 2.了解 x 2 + (m + n)x + mn 型式子因式分解的方法. 教学重点：多项式因式分解的应用. 教学难点：灵活运用因式分解解决有关问题.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
2 分 钟 一 、 复习 回顾 上节课了解了本章的知识结构，具体复习了整式的乘法，我们 这节课来复习因式分解. 1.因式分解的定义： 因式分解是整式的一种恒等变形，是与整式的乘法方向相反的 变形. 整式的乘法是把几个整式相乘，得到一个新的整式.而因式分解 是把一个多项式化成几个整式的积的形式. 知道了这种关系，不仅有助于理解因式分解的意义，而且也可 以把整式乘法的过程反过来，得到因式分解的方法. 2.因式分解的方法：
（1）先提公因式：ma + mb + mc = m(a + b + c) (|两项：a 2 -b2 = (a + b)(a -b) （2）观察项数：〈|l三项：a 2 土 2ab + b2 = (a 土 b)2 （3）检查分解是否彻底. 平方差公式 完全平方公式(非负性)
对于完全平方公式中的(a ±b)2 具有非负性，可以帮助我们解决 一些问题.
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12 分 钟 二、 典例 选讲 例 1.下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ）. A.a(a + b- 1) = a 2 + ab- a ； B.a 2 - a - 2 = a(a - 1)- 2 ； (
（
x
)
)C.- 4a2 + 9b2 = -(2a + 3b)(2a - 3b)； D.2x +1 = x(|2 + 1 )| . 分析：（1）审题：从左到右的变形 （2）选项 A ，等式右边没有化成乘积的形式，它是两个整式相 乘，得到了一个新的整式，属于整式的乘法； 选项 B ，等式右边没有化成乘积的形式； 选项 C ，首先从形式上符合因式分解，分解的是否正确呢？ - 4a2 + 9b2 = -(4a2 - 9b2 )= -(2a + 3b)(2a - 3b) ，我们不难判断出，选项 C 是正确的. 当然我们也可以利用整式乘法与因式分解是相反的 变形，来进行判断； 选项 D，等式右边出现了分母中含有字母的式子，它不是整式， 不属于因式分解. 小结 1：判断变形是否属于因式分解，这个变形要符合因式分 解定义的每一个条件. 例 2.分解因式： （1）x 2 (x - y )+ (y - x) ； （2）(x - 2y)2 - (2x - y )2 . 分析：观察代数式的特点，结合因式分解的步骤分析. 解：（1）x 2 (x - y )+ (y - x) = x 2 (x - y )- (x - y ) = (x - y )(x 2 - 1) = (x - y )(x +1)(x - 1)； 小结 2：分解因式中，提公因式是我们的首选方法，检查因式 分解是否彻底也是很关键的一步. （2）(x - 2y)2 - (2x - y )2
法一： 法二： 原式 = x 2 - 4xy + 4y2 - (4x2 - 4xy + y2 ) (
2
2
2 2
)= x - 4xy + 4y - 4x + 4xy - y (
2
2
2 2
) - +- ) = -3(x + y)(x - y ) . 原式 = [(x - 2y)+ (2x - y )][(x - 2y)- (2x - y )] = (x - 2y + 2x - y )(x - 2y - 2x + y) = (3x - 3y)(- x - y ) = -3(x - y )(x + y) .
小结 3：通过观察代数式的特点，如果能够直接分解因式，就 可以直接分解因式，如果没有观察出来，也可以先整理，然后
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再分解因式. 巩固练习：分解因式
（1）(2a -b)2 + 8ab ； （2） 解：（1）(2a -b)2 + 8ab = 4a2 - 4ab + b2 + 8ab = 4a2 + 4ab + b2 = (2a + b)2 ； (a 2 + 2)2 - 6(a 2 + 2) + 9 . （2） (a 2 + 2)2 - 6(a 2 + 2) + 9 = (a 2 + 2 - 3)2 (
2
-
2
)= (a 1) = (a +1)2 (a - 1)2 .
因式分解作为一种重要的恒等变形，在一些问题的解决中，有 着重要的作用. 例 3.（1）已知a + b = 3 ，ab = 2 ，求a 3b + 2a2b2 + ab3 的值； （2）若x 2 + y2 - 4x + 6y +13 = 0 ，求x + y 的值. （1）分析：观察题目已知中的代数式a + b 与ab ，与所求值的代 数式a 3b + 2a2b2 + ab3 之间的关系. 解： a 3b + 2a2b2 + ab3 = ab(a 2 + 2ab + b2 ) = ab(a + b)2 . 将a + b = 3，ab = 2 代入， 原式=2 x 32 = 18 . （2）分析：观察题目中的条件，如何确定 x，y 值？ 解：x 2 + y2 - 4x + 6y +13 = 0 (
2
2
)x - 4x + 4 + y + 6y + 9 = 0 (x - 2)2 + (y + 3)2 = 0 x - 2 = 0且y + 3 = 0 x = 2，y = -3 ：x + y = 2 + (- 3) = - 1 . 小结 4：通过观察题目中代数式的特征，从比较复杂的条件入 手，利用分解因式进行计算，或者化简，从而解决问题
10 分 钟 三、 知识 拓展 探究：分解因式：x 2 + 5x + 6 观察这个代数式发现，提公因式法和公式法都不能将其分解因 式，下面一起来探究，某些二次项系数为 1 的二次三项式如何 分解因式. 利用整式乘法可以得到：(x + m)(x + n) = x 2 + (m + n)x + mn ，因式分解
3
与整式乘法是方向相反的变形，x 2 + (m + n)x + mn = (x + m)(x + n)，某 些二次项系数为 1 的二次三项式可以分解为两个一次二项式乘 积的形式 ，关键确定 m ，n 的值 ，下面以 x 2 + 5x + 6 为例： (
2
) (
+
x
+
=
x
+
x
+
) (
x
)5 6 ( 2)( 3) (
1
1
) (
1
1
) (
-1
) (
-2
) (
1
6
) (
1
1
) (
2
) (
1
1
) (
:
)拆 (
-6
) (
3
)-3 凑：1根 6 +1根1 = 7 1根3 +1根 2 = 5 1根(- 6)+1根(- 1) = -7 1根(- 2)+1根(- 3) = -5 像这种分解因式的方法叫做十字相乘法. 能使用十字相乘法分解因式的式子的特征： （1）三项；（2）二次；（3）二次项系数为 1； （4）常数项 mn ，一次项系数 m+n. 注意：1.竖拆二次项系数和常数项；2.横写分解因式结果. 小结 5：x 2 + (m + n)x + mn 型式子因式分解的步骤： 1.拆常数项；2.凑一次项；3.横写结果. 当然我们在拆凑的过程中，可以先观察常数项与一次项系数的 符号.常数项 6>0 ，有四种拆法，分为两类，同正，同负，而一 次项系数为 5>0 ，分得的两数的和为正，那么只拆凑同正的情 况就可以了.这样可以减少尝试的次数，提高做题的速度. 例 4.分解因式：y 2 + 2y - 3 解：y 2 + 2y - 3 = (y - 1)(y + 3) 拆： 1 -1 (
1
)3 凑：1根3 +1根(- 1) = 2 小结 6：先观察符号，再进行拆凑，多次尝试，不断积累经验， 会比较迅速地找到正确的结果. 巩固练习：分解因式x 2 - 2x - 8
解： 拆： 凑： x 2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4) 1 1 1 -8 (
根
-
+
根
=
-
)1 ( 8) 1 1 7 1 2 1 -4
(
根
-
+
根
=
-
)1 ( 4) 1 2 2
十字相乘法也可以分解某些二次项系数不为 1 的二次三项式， 同学们课下可以尝试一下.
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1 分 钟 四、 归纳 总结 1.复习因式分解的定义与方法，并利用因式分解解决有关问题； 2.了解x 2 + (m + n)x + mn 型式子因式分解的方法.
五、 课后 练习 1.分解因式： （1）6xy2 - 9x2 y - y 3 （2）16x4 - 1
（3）x 2 + 7x +10 （4）x 2 + 2x - 15 2.已知x + 2y = 3 ，x 2 - 4y2 = - 15 ，求x - 2y 的值.
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