课题 轴对称全章复习（第二课时）
教学目标
教学目标：（1）识别共顶点，等线段，等角的特殊等腰三角形的特征. （2）经历图形演变过程，体会“从特殊到一般” ，发展自己观察、比较、分析、推理 的能力. 教学重点：辨别共顶点，等线段，等角的等腰三角形的特征及灵活应用. 教学难点：辨别共顶点，等线段，等角的等腰三角形的特征及灵活应用.
教学过程
时 间 教 学 环 节 主要师生活动
8 分 钟 环 节 一 各位同学，等腰三角形都有哪些性质？ 追问：等边三角形都有哪些性质呢？ 通过之前的学习，我们发现两个共顶点的等边三角形会产生一对全等三 角形，接下来我们来看下面一道例题： 类型一 共顶点的等边三角形 1 、如图，ΔABC和ΔCDE均为等边三角形，并且点B 、C 、E在一条直线上，
6 分 钟 环 节 二 (
E
D
)连接 、交于点 , 求证：① = ; ② AE 与DC 之间的夹角为 60。. A (
.
D
.
.
O
) B C E 【分析】①两线段相等，可以联想到的证明方法一般有：一是同一三角形中 可以通过两角相等证得两线段相等；二是通过两个三角形全等证得两线段相 等；三是通过中间量的代换证得两线段相等。 通过对题干的分析发现，线段 AE 和 DB 分属不同的三角形，可以从全等的 角度寻求解决问题的途径。有了此思路，可以找三角形全等的条件，通过分 析可以证得△≌△(SAS) ，所以 = . ②充分根据①的全等，找到角等，然后根据 8 字倒角得到∠AOB=∠ACB. 【解答】 证：① △≌△(SAS) ，所以 = ; ②∵△≌△(SAS) ∴ ∠EAC=∠DBC ∵ ∠AFO=∠BFC ∴ ∠AOB=∠ACB=60° ; 【变式】 如图， △ABC 与△CDE 均为等边三角形，连结 AE 与 CD ，证明: （1） AE = DC A (2) AE 与DC 之间的夹角为 60。 B C 【分析】（1）上题的全等依然成立，角等变成了等量减等量；
6 分 钟 环节三 （2）求两条线段的夹角，实际上是求两条线段所在直线的夹角，因此需要 将 BD 延长与 AE 相交. （1）△≌△BEA(SAS) ，所 以 = ; A . (
E
)（2） ∵△≌△(SAS) F (
∵
∠
AFO
=
∠
BFC
D
)∴ ∠EAC=∠DBC ∴ ∠AOB=∠ACB=60° ; B C 图形特征总结：这个图形是由两个共顶点的等边三角形构成，在相对位置变 化的同时，始终存在一对全等三角形. 请问，等腰直角三角形都有什么性质呢？ 答：①两直角边相等； ②顶角等于 90° , 底角等于 45° ; ③“三线合一” . 我们进一步思考，除了等边三角形，等腰直角三角形是否也有上述类似的结 论呢？ 类型二 共顶点的等腰直角三角形 【例题】如图， △ADC 与△EDG 都为 等腰直角三角形，连接 AG 、CE ，相交 于点 H，问： （1）AG 与 CE 是否相等？ （2）AG 与 CE 之间的夹角为多少 度？ 解答： （1）AG ＝CE ．理由如下： ∵∠ADG = ∠ADC+∠CDG ， ∠CDE = ∠GDE+∠CDG，
3 分 钟 环 节 四 ∠ADC = ∠EDG ＝90° , ∴∠ADG = ∠CDE . 在△ADG 和△CDE 中， (
〈
l
CDE
﹐
∴△
ADE
≌△
CDE
.
∴
AG
＝
CE
.
)(AD = CD﹐ （2） ∵△ADG≌△CDE， ∴∠DAG = ∠DCE . ∵∠COH= ∠AOD， ∴∠CHA = ∠ADC ＝90° . ∴AG 与 CE 之间的夹角是 90° . 总结：解题经验：共直角顶点的等腰直角和共顶点的等边三角形，往往利用 相等边长和等角构造全等三角形. 归纳的典型特征：共顶点，等线段，顶角度数相等.体会图形变化中的不变量. 思考：通过今天的学习，你可以把这些基本结论再拓展到更一般的等腰三角 形的范围吗？你还能发现什么样的结论？
A A E / D E
(
A
) D
(
E
D
)
B C 图① B C B C 图② 图③
如果时间来得及就分析一下第 1 个，如果时间来不及，就把它作为学生课下 的思考题. 模型分析：
(
A
) (
D
) (
B
)
1 分 钟 1 分 钟 环 节 五 环 节 六 如图① , ∠BAD = ∠BAC-∠DAC， ∠CAE = ∠DAE-∠DAC . ∵∠BAC = ∠DAE ＝a ， ∴∠BAD = ∠CAE . 在△BAD 和△CAE 中， (
〈
l
CAE
﹐
∴△
BAD
≌△
CAE
.
)(AB = AC﹐ 方法总结：共顶点，等线段，顶角度数相等的 两个等腰三角形，在相对位置变化的同时，始终存在一对 全等三角形.
B A 小结：
E D
C
从特殊到一般. 作业： 1 、如图两个等边三角形 ΔABD 与 ΔBCE ，连结 AE 与 CD ， 证明：（1）AE=CD；
D (
。
)（2）AE 与 DC 之间的夹角为 60 .
A (
.
) (
H
) B E
C
2 、如图，在△ABC 中，AB ＝CB ， ∠BAC = ∠BCA ， ∠ABC ＝90° , F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE ＝CF. （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）求证：AE⊥CF； （3）若∠CAE ＝30° , 求∠ACF 度数. 【点睛】（1） 由“HL”可证 Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）根据 Rt△ABE≌Rt△CBF，可以得到∠BCF= ∠BAE ，由直角三角形 的性质可得结论； （3） 由三角形内角和定理可以得到∠ACF 的度数. 【解析】证明：（1） ∵∠ABC ＝90° ,
∴∠ABE = ∠CBF ＝90° , 在 RtΔABE 和 RtΔCBF 中， (
,
AE
=
CF
){AB = BC ∴RtΔABE≌RtΔCBF（HL）； （2）如图， ∵RtΔABE≌RtΔCBF， ∴∠BCF= ∠BAE， ∵∠BCF+∠F＝90° , ∴∠BAE+∠F＝90° , ∴∠AHF＝90° , ∴AF⊥CF； （3） ∵∠AHF＝90° , ∠EAC ＝30° , ∴∠ACF＝60° .课程基本信息
课题 轴对称全章复习（第一课时）
教学目标
教学目标：通过对简单图形进行基础知识梳理，能够简单应用，提升不同层次学生 在复习课中的兴趣. 教学重点：通过典型例题构建本章知识体系. 教学难点：运用轴对称的相关知识解决问题.
教学过程
时 间 教学 环节 主要师生活动
1 分 钟 环节 一： 复习 引入 同学们，本章我们学习了“轴对称” ，“ 画轴对称图形” ，“等 腰三角形” ，“最短路径” 的相关知识.（出本章的知识结构图） 下面我们通过一些典型例题，复习本章的基础知识.
(
4
) (
3
) (
B
) (
1
) (
1
) (
2
) (
3
) (
4
)
2 分 钟 4 分 钟 环 节 二 环 节 三 【例 1】 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式， 下列甲骨文中，不是轴对称的是( ) 教师提问：请各位同学观察这四幅图，选出不是轴对称图形的 选项. 继续提问：你一般怎样快速判断一个图形是否为轴对称图 形？ 【解后反思】本题可通过轴对称图形的定义直接得到. 【例 2】如图，在10×10的方格纸中，每个小正方形的边长均 为 1 个单位长度，△OBC的位置如图所示. （1）画出关于 x 轴对称的图形; （2）将向左平移 3 个单位长度后得到△O2B2C2，画 出△O2B2C2 . （3）请在y 轴上找一点 P ，使得 PC+PB 的值最小. y
5 5 x
C
2
– 5 – 4 – 3 – 2 – 1 O 1 2 3 4
–
–
–
–5
解析：
(
5
) (
4
) (
3
) (
B
) (
1
) (
1
) (
B
) (
B
) (
2
) (
3
) (
4
)
6 分 钟 环 节 四 y (
x
) (
4
) (
5
)
C
2
O2
– 5 – 4 – 3 – 2 – 1 O 1 2 3
–
(
2
)– 1
C2 C 1
–5
方法：一、作出每个特殊点的对称点的坐标；二、顺次连接这些对称点. 总结：坐标系中作轴对称图形，一般先根据点关于坐标轴对称的点的特征， 找出对称点，而后连线即可.点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x,-y) ，关 于y 轴对称的点的坐标为(-x,y). 【例 3】如图 . （1）尺规作图：作线段 AC 的垂直平分线 MN 交 AC 、BC 于 点 M 、N ，连结 AN； （2）若 MC=4， ABC 的周长为 23，则 ABN 的周长是 ； （3）若 AN=BN=5 ，LC=30 ，求 ，AB 的长. （1）
8 分 钟 环 节 五 （2） ∵MN 是 AC 的垂直平分线， ∴AN=NC,AM=CM=4, ∵△ ABC 的周长为 23 ∴AB+BC+AC=23， ∴ AB + BC = 15. ∴△ ABN 的周长=AB+BN+AN=AB+BN+NC=AB+BC= 15. 方法总结：线段的垂直平分线一般会与中点、90°角、等腰三角形一同出现， 在求三角形的周长时，要注意线段之间的转化. （3） ∵ AN = NC, ∠C = 30° A ° ● ∴ ∠ANB = 60 M ∵ AN = BN ∴ ABN 是等边三角形 B · N · C ° ∴ ∠B = 60 ， ° ∴ ∠BAC = 90 ∴ 2AB = BC = BN + NC = BN + AN= 10 . ∴ AB = 5. 【例 4】如图，等腰△中， = , 点、在边上，并且 = , 求证： = . 思路 1：不做辅助线，证全等. ∵AD=AE ∴ ∠ADE=∠AED ∴ ∠ADB=∠AEC ∵AB=AC ∴ ∠B=∠C ∵AB=AC 或 AD=AE ∴ ABD ACE ∴ BD = CE.
2 分 钟 环 节 六 思路二：做辅助线，不用全等，充分运用等腰三角形三线合一 的性质. 作 AH ⊥ BC 交于 H ∵ AB = AC, AH ⊥ BC ∴ BH = HC ∵ AD = AE, AH ⊥ BC = HC EC 即 BD=EC. 方法总结：在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常用的作辅助线的 方法是作底边的高线，然后利用等腰三角形三线合一的性质，可以实现 线段或角之间的相互转化. 小结：
1 分 钟 环 节 七 作业： 1 、如图, 已知在△ABC 中，∠B ＝15° , ∠C ＝90° , AB 的垂直平分线交 CB 于 M ，交 AB 于 N ，BN ＝12cm ，则 AC=_6cm . A
B (
N
) (
M
) C
2 、阅读下面的解答过程，然后回答问题： 已知：如图，在△ABC 中，D 为 BC 的中点，AD 平分∠BAC. 求证：AD⊥BC. 证明： ∵AD 为 BC 边上的中线，AD 平分∠BAC，
∴AD⊥BC. A B D C
问：上面的证明过程是否正确？若正确，请说明理由；若不正 确，请写出你认为正确的证明过程.
解：上面的证明过程不正确. 证明：如图，延长 AD 到点 E ，使 DE =DA ，连接 BE. 又∵CD ＝BD ， ∠ADC = ∠EDB， ∴△ACD≌△EBD， ∴∠CAD = ∠BED ，AC ＝EB. ∵∠CAD = ∠BAD， ∴∠BED = ∠BAD， ∴AB ＝EB ， ∴AB ＝AC. ∵AD 为 BC 边上的中线，
∴AD⊥BC. 3 、已知：如图等边ΔABC ，D 是 AC 的中点，且 CE=CD ，DF⊥BE . 求证：BF=EF . 证明： ∵在等边ΔABC ，且 D 是 AC 的中点， ∴∠DBC∠ABC×60°=30° , ∠ACB=60° , ∵CE=CD， ∴∠CDE=∠E， ∵∠ACB=∠CDE+∠E， ∴∠E=30° , ∴∠DBC=∠E=30° , ∴BD=ED ，ΔBDE 为等腰三角形， 又∵DF⊥BE， ∴F 是 BE 的中点 ∴BF=EF .
