第十三章 轴对称 最短路径问题 教学设计 人教版数学八年级上册 （无答案）

课题 课题学习 最短路径问题（第二课时）
教学目标
教学目标： （1）利用平移、轴对称解决最短路径的问题，进一步感悟化归思想. （2）培养培养用符号语言和图形语言表达数学问题的能力. 教学重点：利用平移、轴对称解决最短路径的问题 教学难点：体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想
教学过程
时 间 教 学 环 节 主要师生活动
3 分 钟 复 习 引 入 上节课我们研究了两类最短路径问题： 1. A ，B 在直线 l 异侧时： 如图，在直线 l 上求作一点 C，使得 CA+CB 最短.
思考： （1）作图方法： 连接 AB ，交直线 l 于点 C，点 C 即为所求. （2）依据：“两点之间，线段最短 ”， 2. 当 A 、B 在直线 l 同侧时（牧马人饮马问题） (
B
A
l
) （2）作法： 通过轴对称转移线段，转化为研究过的 A 、B 两点在直线异侧的问题. 利用“两点之间，线段最短 ”，找到满足条件的点 C. 同时，我们通过几何推理，证明了这个作法的正确性.
12 分 钟 探 索 新 知 本节课我们继续研究“最短路径 ”问题. 例：造桥选址问题 如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN．桥造在何处 可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河
垂直）？ A B
思考： （1）实际问题，首先做什么？ 将实际问题抽象为数学问题，用文、图、示的语言表达. 图形语言： A 、B 两点看作两个定点，河的两岸看成两条平行线 a 和 b . N 为直线 b 上的一个动点．先画一个一般的点 N．桥垂直于河的两岸，即 MN 垂直于直线 b ，交直线 a 于 M.
文字/符号语言：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小. （几何画板演示） （2） 问题是否可以简化？ 由于河的宽度是固定的，当 AM+NB 最小时，AM+MN+NB 最小. 所以问题转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM +NB 最小. （3）能否通过图形的变化（轴对称、平移等），将问题转化为我们研究过的 问题呢？ 将 AM 沿与河岸垂直的方向平移，点 M 移动到点 N，点 A 移动到 A ’，则AA' = MN ，AM+NB=A’N+NB， 所以问题转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，A’N+NB 最小. （4）这是我们上节课讲的哪种类型？ 两点在直线异侧，连接 A ’，B 两点，与直线 b 的交点即为 N．依据：两点之 间，线段最短. （5）结论 在点 N 处造桥 MN，所得路径 AMNB 是最短的. （6）用文字和符号语言整理一下作法 总结： ① 实际问题可以抽象为数学问题，用文、图、示的语言表达. ② 利用平移，实现线段的转移. 平移：沿直线方向移动．轴对称：绕某一点旋转. ③ 把已知问题转化为容易解决的问题，体会化归思想. 思考（6）如何证明这条路径最短？
在直线 b 上任取一点 N′ ， 过 N′作 N′M′ ⊥a 连接 AM′ ，A ′N′ ，N′B 由平移性质可知， AM=A ′N，AM′=A ′N′. AM+NB=A ′N+NB=A ′B AM′+N′B =A ′N′+N′B. 由两点之间，线段最短可知： A ′B6 分 钟 能 力 提 升 练习： 已知线段 a ，点 A、B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上求作两点 P 、Q （点 P 在 点 Q 的左侧）且 PQ ＝a ，使得四边形 APQB 的周长最小. 思考 （1）哪些点是定点，哪些是动点？ A ，B 为定点，P ，Q 为直线 l 上的动点，且 PQ=a ，距离不变．先从一般的 点 P 和相应的点 Q 出发，画图观察. （2） 问题是否可以简化？ 由于 AB 、PQ 的长度是固定的．当 AP+QB 最小时，四边形 APQB 的周长最 小. （3）如何通过平移、轴对称等方式转移线段，从而转化为我们研究过的问 题？ 将 AP 沿直线 l 的方向平移，点 P 移动到点 Q，点 A 移动到 A ’，则AA' = PQ， AP+QB=A’Q+QB， 所以问题转化为：当点 Q 在直线 l 的什么位置时，A’Q+QB 最小. （4）这是我们研究过的哪种类型？ 两点在直线异侧，连接 A ’，B 两点，与直线 l 的交点即为 Q ．依据：两点之 间，线段最短. （5）如何证明这条路径最短？ 总结：将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知（已解决） 的问题.
2 分 钟 课 堂 小 结 课堂小结： 比较本节课研究的两个问题 （1）最短路径的依据：两点直线，线段最短 （2）方法：利用轴对称、平移等变化，将已知问题转化为容易解决的问题。 （3）思想：化归思想。
课 后 作 业 如图，点 A 、B 、C 在直线 l 的同侧，在直线 l 上，求作一点 P ，使得四边形 APBC 的周长最小； C A B l课题 最短路径问题（第一课时）
教学目标
教学目标： （1）利用轴对称解决最短路径的问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟 化归思想。 （2）在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，渗透数 学建模的思想。 教学重点：利用轴对称解决最短路径的问题 教学难点：如何利用轴对称将问题转化为“两点之间，线段最短 ”的问题。
教学过程
时 间 教 学 环 节 主要师生活动
复 习 引 入 在我们的学习生活中，接触过很多“最值问题 ”：最多最少，最长最短。 思考以下两个问题：
复习 1：如图，连接 A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 答：路线 2 最短，因为两点的所有连线中，线段最短，简称：两点之间，线段 最短 复习 2：点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪 条最短？为什么？ 答：PC 最短，因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 设计意图：复习“两点之间，线段最短 ”和“垂线段最短 ”，为最短路径问题 做好铺垫。通过识别，也让学生有动态的思想，在比较中，找到最短路径。
探 索 新 知 教师：刚刚的两个问题都是识别最短路径，接下来，我们尝试通过画图，找到 最短路径。 引例 1： 如图，在直线 l 上求作一点 C，使得 CA+CB 最短。 教师：
（1）点 C 是直线 l 上的一个动点。我们不妨先画一个一般的点 C，连接 CA， CB ，我们的目标：找到一个点 C，使得 CA+CB 最小。 （2）观察几何画板的演示：当 C 在运动的过程中，线段 CA ，CB 也在移动， 观察：什么时候线段和最短？ （3）同学们可以观察到：当 C 是线段 AB 和 l 的交点，即 ACB 共线时，CA+CB 最短。依据是：两点之间，线段最短。 作图方法：连接 AB ，交直线 l 于点 C，点 C 即为所求。 总结： 从一般的点 C 出发，从运动变化的角度观察图形，并用到“两点之间，线段 最短 ”解决问题。 教师： 接下来，我们用这样的方法，研究数学史上经典的“牧马人饮马问题 ”。 例 1：如图，牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地，牧 马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B A l
教师： （1）实际问题，首先做什么？ 将实际问题抽象为数学问题，用文、图、示的语言表达。 图形语言： 把 AB 两地看成两个点，把河近似看成一条直线，C 为直线 l 上的一个动点。 文字/符号语言： 在直线 l 上求作一点 C，使 CA+CB 最短 （2）观察几何画板：从一般的点 C 出发，连结 CA ，CB ，观察：什么时候线 段和最短？ 遇到了问题：无法通过观察，找到满足条件的点 C 的位置。 （3）继续思考：
若 AB 在 l 异侧，只需连接 AB 即可。能否通过图形的变化（轴对称、平移等）， 将问题转化为我们研究过的问题呢？ 问题的关键：如何把同侧的点 B 移到另一侧 B ’，同时 CB=CB ’呢？ 解决的方案：利用轴对称的知识。
做法如下： （1）作点B关于直线l的对称点B′； （2）连接AB′交直线l于点C； （3）则点C即为所求的点.
教师：如何证明这条路径最短？ 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′ ，连接 AC′ ，BC′ ，B′C′ ，只需证明AC+ CB< AC′+C′B即可。 证明： 由作图可知，点B和B′关于直线l对称， 所以直线l是线段BB′ 的垂直平分线. 因为点C与C′在直线l上， 所以BC ＝B′C，BC′ ＝B ′C′ . 根据两点之间，线段最短： AB′教师：类比例 1 分析方法。 （1）先把实际问题抽象成数学问题。小虫在 A——B 路径爬行，即小虫 P 是 线段 AB 上一个动点，小鸟的路线为：DP ，PC 。那么 D ，C 是两个定点。 （2）将文字转化成文/图/示的语言，在 AB 上求作一点 P ，使得 PC+PD 最短。 （3）回顾刚刚例 1 的做法即可。 转化成数学问题，迎刃而解啦。
能 力 提 升 例 2：如图，已知点 D 、点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边的中点， AD=5 ，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF+EF 的最小值为 .
(
A
E
F
B
C
D
)
思考： （1）图形中，B ，E ，F 三个点，哪些是定点，哪些是动点？ B ，E 是定点，F 是线段 AD 上的动点 （2）剥离出基本图形，求作一点 F，使得 BF+FE 最小。考虑：AD 是河，牧 马人在点 B ，去河边饮马，再去点 E 。方法：作对称点 （3）B 和 E ，作哪个点的对称点更方便？ △ABC 为等边三角形（轴对称图形），点 D 是 BC 边的中点，即点 B 与点 C 关 于直线 AD 对称. ∵ 点 F 在 AD 上，故 BF=CF. 即 BF+EF 的最小值可转化为求 CF+EF 的最小值，故连接 CE 即可，线段 CE 的长即为 BF+EF 的最小值。 总结：
（1）此类求线段和的最小值问题，分析题目中的定点和动点，转化为我们熟 悉的最短路径问题。 （2）找准对称点是关键（利用等边三角形的轴对称性）。而后将求线段长的和 转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
小 结 课堂小结 （1）解决最短路径问题的基本方法 利用轴对称实现线段的转移，从而转化为“两点之间，线段最短 ”的问题。 （2）进行轴对称变换需要注意的事情 可以从一般点入手，既要弄清楚选哪条直线为对称轴，也要区分哪些点是动点， 哪些点是定点。
作 业 如图, P、Q 为 ΔABC 边上的两个定点. 在 BC 边上求作一点 M, 使 PM+MQ 最 短 B P A Q C