人教版2023年八年级上册 14.2 乘法公式 同步练习卷 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版2023年八年级上册 14.2 乘法公式 同步练习卷 （含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 214.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-28 16:39:24 | ||
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文档简介
人教版2023年八年级上册 14.2 乘法公式 同步练习卷
一．选择题
1．计算（x﹣1）2＝（ ）
A．x2﹣1 B．x2﹣x+1 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
2．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（y﹣x） B．（﹣m+n）（m﹣n）
C．（2x﹣3）（2x+3） D．（﹣x+2y）（﹣2y+x）
3．若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（ ）
A．±6 B．±3 C．6 D．3
4．计算：（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）下列步骤出现错误的是（ ）
①（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
②[（a﹣c）+b][（a﹣c）﹣b]
③（a﹣c）2﹣b2
④a2﹣2ac﹣c2﹣b2
A．① B．② C．③ D．④
5．若多项式4x2+（k﹣1）x+9是关于x的完全平方式，则k的值为（ ）
A．±13 B．13或﹣11 C．﹣7或﹣5 D．±6
6．若x﹣y＝4，xy＝5，则x2+y2的值是（ ）
A．16 B．20 C．25 D．26
7．观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（ ）
A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2
D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2
8．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
二．填空题
9．计算：（﹣3a+2b）（﹣3a﹣2b）＝ ．
10．化简：（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣b）＝ ．
11．计算20242﹣2023×2025＝ ．
12．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ ．（结果中保留幕的形式）
13．育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为 ．
14．若的值是 ．
三．解答题
15．用简便方法计算下列各题．
（1）1032；
（2）998×1002．
16．先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+（a+3）2，其中a＝﹣2．
17．先化简，再求值：（2x+1）2+（x+2）（x﹣2）﹣x（5x﹣4），其中x＝2．
18．已知x+y＝5，xy＝4，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）（x﹣y）2．
19．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于 ．
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．
方法① ．
方法② ．
（3）观察图②，试写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系 ．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝5，ab＝2，则求（a﹣b）2的值．
20．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的选项）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9a2﹣b2＝36，3a+b＝9，则3a﹣b＝ ．
②计算：．
21．阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（28+1）
＝216﹣1．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）；
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
试题解析
一．选择题
1．计算（x﹣1）2＝（ ）
A．x2﹣1 B．x2﹣x+1 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
【分析】根据完全平方公式求出答案即可．
【解答】解：（x﹣1）2＝x2﹣2x+1．
故选：C．
2．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（y﹣x） B．（﹣m+n）（m﹣n）
C．（2x﹣3）（2x+3） D．（﹣x+2y）（﹣2y+x）
【分析】利用平方差公式判断即可．
【解答】解：A、原式＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，不符合题意；
B、原式＝﹣（m﹣n）2＝﹣m2+2mn﹣n2，不符合题意；
C、原式＝4x2﹣9，符合题意；
D、原式＝﹣（x﹣2y）2＝﹣x2+4xy﹣4y2，不符合题意．
故选：C．
3．若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（ ）
A．±6 B．±3 C．6 D．3
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：∵（a+1）（a﹣1）＝35，
∴a2﹣1＝35，
∴a2＝36，
∴a＝±6，
故选：A．
4．计算：（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）下列步骤出现错误的是（ ）
①（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
②[（a﹣c）+b][（a﹣c）﹣b]
③（a﹣c）2﹣b2
④a2﹣2ac﹣c2﹣b2
A．① B．② C．③ D．④
【分析】运用完全平方公式和平方差公式进行计算、辨别．
【解答】解：∵（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）
＝（a﹣c+b）（a﹣c﹣b），
＝[（a﹣c）+b][（a﹣c）﹣b]
＝（a﹣c）2﹣b2
＝a2﹣2ac+c2﹣b2，
∴步骤①②③正确，④错误，
故选：D．
5．若多项式4x2+（k﹣1）x+9是关于x的完全平方式，则k的值为（ ）
A．±13 B．13或﹣11 C．﹣7或﹣5 D．±6
【分析】根据完全平方式得出（k﹣1）x＝±2×2x×3，再求出k即可．
【解答】解：∵多项式4x2+（k﹣1）x+9是关于x的完全平方式，
∴（k﹣1）x＝±2×2x×3，
∴k＝13或﹣11．
故选：B．
6．若x﹣y＝4，xy＝5，则x2+y2的值是（ ）
A．16 B．20 C．25 D．26
【分析】根据x﹣y＝4得出（x﹣y）2＝16，再根据完全平方公式展开即可计算出结果．
【解答】解：∵x﹣y＝4，
∴（x﹣y）2＝16，
∴x2﹣2xy+y2＝16，
∵xy＝5，
∴x2+y2＝16+2xy＝16+2×5＝26，
故选：D．
7．观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（ ）
A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2
D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2
【分析】从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示大长方形的面积即可．
【解答】解：整体是长为a+2b，宽为a+b的长方形，因此面积为（a+2b）（a+b），
整体是由6个部分的面积和，即a2+3ab+2b2，
因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，
故选：A．
8．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
二．填空题
9．计算：（﹣3a+2b）（﹣3a﹣2b）＝ 9a2﹣4b2 ．
【分析】原式利用平方差公式化简即可得到结果．
【解答】解：原式＝（﹣3a）2﹣（2b）2＝9a2﹣4b2．
故答案为：9a2﹣4b2．
10．化简：（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣b）＝ ﹣2ab+2b2 ．
【分析】根据完全平方公式，平方差公式求解即可．
【解答】解：（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣b）
＝a2﹣2ab+b2﹣（a2﹣b2）
＝﹣2ab+2b2，
故答案为：﹣2ab+2b2．
11．计算20242﹣2023×2025＝ 1 ．
【分析】将原式变形为20242﹣（2024﹣1）×（2024+1），然后再按平方差公式计算可得答案．
【解答】解：原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）
＝20242﹣20242+1
＝1．
故答案为：1．
12．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ 216﹣1 ．（结果中保留幕的形式）
【分析】将原式变形后利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）
＝216﹣1，
故答案为：216﹣1．
13．育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为 8a+16 ．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：拼成的长方形的面积为（a+4）2﹣a2＝8a+16，
故答案为：8a+16．
14．若的值是 11 ．
【分析】把x﹣＝3利用完全平方公式两边平方展开，整理即可得解．
【解答】解：∵x﹣＝3，
∴（x﹣）2＝9，
即x2﹣2+＝9，
解得x2+＝9+2＝11．
故答案为：11．
三．解答题
15．用简便方法计算下列各题．
（1）1032；
（2）998×1002．
【分析】（1）根据完全平方公式简化运算即可；
（2）根据平方差公式简化运算即可．
【解答】解：（1）1032
＝（100+3）2
＝1002+2×100×3+32
＝10609；
（2）998×1002
＝（1000﹣2）×（1000+2）
＝1000000﹣4
＝999996．
16．先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+（a+3）2，其中a＝﹣2．
【分析】用平方差公式和完全平方公式展开，合并同类项后将a＝﹣2代入计算即可．
【解答】解：原式＝4﹣a2+a2+6a+9
＝6a+13；
当a＝﹣2时，
原式＝6×（﹣2）+13
＝﹣12+13
＝1．
17．先化简，再求值：（2x+1）2+（x+2）（x﹣2）﹣x（5x﹣4），其中x＝2．
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（2x+1）2+（x+2）（x﹣2）﹣x（5x﹣4）
＝4x2+4x+1+x2﹣4﹣5x2+4x
＝8x﹣3，
当x＝2时，原式＝8×2﹣3＝16﹣3＝13．
18．已知x+y＝5，xy＝4，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）（x﹣y）2．
【分析】（1）利用x2+y2＝（x+y）2﹣2xy变形，再代入计算；
（2）利用（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy变形，再代入计算；
【解答】解：（1）∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∴当x+y＝5，xy＝4时，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×4＝17；
（2）∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴当x+y＝5，xy＝4时，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝52﹣4×4＝9．
19．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于 m﹣n ．
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．
方法① （m﹣n）2 ．
方法② （m+n）2﹣4mn ．
（3）观察图②，试写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系 （m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝5，ab＝2，则求（a﹣b）2的值．
【分析】（1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为m﹣n的正方形；
（2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；
方法二，从边长为（m+n）的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即可；
（3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式；
（4）将（a﹣b）2的变形为：（a+b）2﹣4ab即可求解．
【解答】解：（1）由拼图可知，阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，
故答案为：m﹣n；
（2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为（m﹣n）2；
方法二：从边长为（m+n）的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即为阴影部分的面积，
即（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（3）由（2）的两种方法可得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
∵a+b＝5，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝52﹣4×2＝17．
20．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 D ．（请选择正确的选项）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9a2﹣b2＝36，3a+b＝9，则3a﹣b＝ 4 ．
②计算：．
【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可．
（2）①利用（1）中得到的平方差公式计算即可；②根据平方差公式可进行求解．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图②中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）．∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
（2）①∵（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2，3a+b＝9，
∴9（3a﹣b）＝36，
∴3a﹣b＝36÷9＝4．
故答案为：4．
②
＝
＝
＝
＝．
21．阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（28+1）
＝216﹣1．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）；
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
【分析】（1）根据题中例题可得，在本题式子前面可乘以（2﹣1），然后利用平方差公式即可算出答案；
（2）根据题中例题可得，在整体的式子前面乘以（3﹣1），要想保持结果不变，再在式子前面乘以，然后利用平方差公式即可运算．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）
＝（216﹣1）（216+1）
＝232﹣1；
（2）原式＝×[（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（38﹣1）（38+1）（316+1）]
＝×[（316﹣1）（316+1）]
＝．
一．选择题
1．计算（x﹣1）2＝（ ）
A．x2﹣1 B．x2﹣x+1 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
2．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（y﹣x） B．（﹣m+n）（m﹣n）
C．（2x﹣3）（2x+3） D．（﹣x+2y）（﹣2y+x）
3．若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（ ）
A．±6 B．±3 C．6 D．3
4．计算：（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）下列步骤出现错误的是（ ）
①（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
②[（a﹣c）+b][（a﹣c）﹣b]
③（a﹣c）2﹣b2
④a2﹣2ac﹣c2﹣b2
A．① B．② C．③ D．④
5．若多项式4x2+（k﹣1）x+9是关于x的完全平方式，则k的值为（ ）
A．±13 B．13或﹣11 C．﹣7或﹣5 D．±6
6．若x﹣y＝4，xy＝5，则x2+y2的值是（ ）
A．16 B．20 C．25 D．26
7．观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（ ）
A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2
D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2
8．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
二．填空题
9．计算：（﹣3a+2b）（﹣3a﹣2b）＝ ．
10．化简：（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣b）＝ ．
11．计算20242﹣2023×2025＝ ．
12．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ ．（结果中保留幕的形式）
13．育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为 ．
14．若的值是 ．
三．解答题
15．用简便方法计算下列各题．
（1）1032；
（2）998×1002．
16．先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+（a+3）2，其中a＝﹣2．
17．先化简，再求值：（2x+1）2+（x+2）（x﹣2）﹣x（5x﹣4），其中x＝2．
18．已知x+y＝5，xy＝4，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）（x﹣y）2．
19．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于 ．
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．
方法① ．
方法② ．
（3）观察图②，试写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系 ．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝5，ab＝2，则求（a﹣b）2的值．
20．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ．（请选择正确的选项）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9a2﹣b2＝36，3a+b＝9，则3a﹣b＝ ．
②计算：．
21．阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（28+1）
＝216﹣1．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）；
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
试题解析
一．选择题
1．计算（x﹣1）2＝（ ）
A．x2﹣1 B．x2﹣x+1 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
【分析】根据完全平方公式求出答案即可．
【解答】解：（x﹣1）2＝x2﹣2x+1．
故选：C．
2．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（y﹣x） B．（﹣m+n）（m﹣n）
C．（2x﹣3）（2x+3） D．（﹣x+2y）（﹣2y+x）
【分析】利用平方差公式判断即可．
【解答】解：A、原式＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，不符合题意；
B、原式＝﹣（m﹣n）2＝﹣m2+2mn﹣n2，不符合题意；
C、原式＝4x2﹣9，符合题意；
D、原式＝﹣（x﹣2y）2＝﹣x2+4xy﹣4y2，不符合题意．
故选：C．
3．若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（ ）
A．±6 B．±3 C．6 D．3
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：∵（a+1）（a﹣1）＝35，
∴a2﹣1＝35，
∴a2＝36，
∴a＝±6，
故选：A．
4．计算：（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）下列步骤出现错误的是（ ）
①（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
②[（a﹣c）+b][（a﹣c）﹣b]
③（a﹣c）2﹣b2
④a2﹣2ac﹣c2﹣b2
A．① B．② C．③ D．④
【分析】运用完全平方公式和平方差公式进行计算、辨别．
【解答】解：∵（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）
＝（a﹣c+b）（a﹣c﹣b），
＝[（a﹣c）+b][（a﹣c）﹣b]
＝（a﹣c）2﹣b2
＝a2﹣2ac+c2﹣b2，
∴步骤①②③正确，④错误，
故选：D．
5．若多项式4x2+（k﹣1）x+9是关于x的完全平方式，则k的值为（ ）
A．±13 B．13或﹣11 C．﹣7或﹣5 D．±6
【分析】根据完全平方式得出（k﹣1）x＝±2×2x×3，再求出k即可．
【解答】解：∵多项式4x2+（k﹣1）x+9是关于x的完全平方式，
∴（k﹣1）x＝±2×2x×3，
∴k＝13或﹣11．
故选：B．
6．若x﹣y＝4，xy＝5，则x2+y2的值是（ ）
A．16 B．20 C．25 D．26
【分析】根据x﹣y＝4得出（x﹣y）2＝16，再根据完全平方公式展开即可计算出结果．
【解答】解：∵x﹣y＝4，
∴（x﹣y）2＝16，
∴x2﹣2xy+y2＝16，
∵xy＝5，
∴x2+y2＝16+2xy＝16+2×5＝26，
故选：D．
7．观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（ ）
A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2
D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2
【分析】从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示大长方形的面积即可．
【解答】解：整体是长为a+2b，宽为a+b的长方形，因此面积为（a+2b）（a+b），
整体是由6个部分的面积和，即a2+3ab+2b2，
因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，
故选：A．
8．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
二．填空题
9．计算：（﹣3a+2b）（﹣3a﹣2b）＝ 9a2﹣4b2 ．
【分析】原式利用平方差公式化简即可得到结果．
【解答】解：原式＝（﹣3a）2﹣（2b）2＝9a2﹣4b2．
故答案为：9a2﹣4b2．
10．化简：（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣b）＝ ﹣2ab+2b2 ．
【分析】根据完全平方公式，平方差公式求解即可．
【解答】解：（a﹣b）2﹣（a+b）（a﹣b）
＝a2﹣2ab+b2﹣（a2﹣b2）
＝﹣2ab+2b2，
故答案为：﹣2ab+2b2．
11．计算20242﹣2023×2025＝ 1 ．
【分析】将原式变形为20242﹣（2024﹣1）×（2024+1），然后再按平方差公式计算可得答案．
【解答】解：原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）
＝20242﹣20242+1
＝1．
故答案为：1．
12．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ 216﹣1 ．（结果中保留幕的形式）
【分析】将原式变形后利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）
＝216﹣1，
故答案为：216﹣1．
13．育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为 8a+16 ．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：拼成的长方形的面积为（a+4）2﹣a2＝8a+16，
故答案为：8a+16．
14．若的值是 11 ．
【分析】把x﹣＝3利用完全平方公式两边平方展开，整理即可得解．
【解答】解：∵x﹣＝3，
∴（x﹣）2＝9，
即x2﹣2+＝9，
解得x2+＝9+2＝11．
故答案为：11．
三．解答题
15．用简便方法计算下列各题．
（1）1032；
（2）998×1002．
【分析】（1）根据完全平方公式简化运算即可；
（2）根据平方差公式简化运算即可．
【解答】解：（1）1032
＝（100+3）2
＝1002+2×100×3+32
＝10609；
（2）998×1002
＝（1000﹣2）×（1000+2）
＝1000000﹣4
＝999996．
16．先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+（a+3）2，其中a＝﹣2．
【分析】用平方差公式和完全平方公式展开，合并同类项后将a＝﹣2代入计算即可．
【解答】解：原式＝4﹣a2+a2+6a+9
＝6a+13；
当a＝﹣2时，
原式＝6×（﹣2）+13
＝﹣12+13
＝1．
17．先化简，再求值：（2x+1）2+（x+2）（x﹣2）﹣x（5x﹣4），其中x＝2．
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（2x+1）2+（x+2）（x﹣2）﹣x（5x﹣4）
＝4x2+4x+1+x2﹣4﹣5x2+4x
＝8x﹣3，
当x＝2时，原式＝8×2﹣3＝16﹣3＝13．
18．已知x+y＝5，xy＝4，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）（x﹣y）2．
【分析】（1）利用x2+y2＝（x+y）2﹣2xy变形，再代入计算；
（2）利用（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy变形，再代入计算；
【解答】解：（1）∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∴当x+y＝5，xy＝4时，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×4＝17；
（2）∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴当x+y＝5，xy＝4时，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝52﹣4×4＝9．
19．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于 m﹣n ．
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．
方法① （m﹣n）2 ．
方法② （m+n）2﹣4mn ．
（3）观察图②，试写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系 （m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝5，ab＝2，则求（a﹣b）2的值．
【分析】（1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为m﹣n的正方形；
（2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；
方法二，从边长为（m+n）的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即可；
（3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式；
（4）将（a﹣b）2的变形为：（a+b）2﹣4ab即可求解．
【解答】解：（1）由拼图可知，阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，
故答案为：m﹣n；
（2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为（m﹣n）2；
方法二：从边长为（m+n）的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即为阴影部分的面积，
即（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（3）由（2）的两种方法可得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
∵a+b＝5，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝52﹣4×2＝17．
20．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 D ．（请选择正确的选项）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9a2﹣b2＝36，3a+b＝9，则3a﹣b＝ 4 ．
②计算：．
【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可．
（2）①利用（1）中得到的平方差公式计算即可；②根据平方差公式可进行求解．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图②中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）．∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
（2）①∵（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2，3a+b＝9，
∴9（3a﹣b）＝36，
∴3a﹣b＝36÷9＝4．
故答案为：4．
②
＝
＝
＝
＝．
21．阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（28+1）
＝216﹣1．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）；
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
【分析】（1）根据题中例题可得，在本题式子前面可乘以（2﹣1），然后利用平方差公式即可算出答案；
（2）根据题中例题可得，在整体的式子前面乘以（3﹣1），要想保持结果不变，再在式子前面乘以，然后利用平方差公式即可运算．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）
＝（216﹣1）（216+1）
＝232﹣1；
（2）原式＝×[（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（38﹣1）（38+1）（316+1）]
＝×[（316﹣1）（316+1）]
＝．