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第4章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
素 养 目 标 学 科 素 养
1.理解n次方根的概念和性质,理解分数指数幂的意义; 2.掌握根式与分数指数幂的互化、简单根式的化简.
1、数学运算
2、数学抽象
概念抽象
1. n次方根的概念
如果_______ ,那么 叫做 的平方根.
则 是4的平方根.
±2
x2=a
如果 ,那么 x 叫做 a 的立方根.
x3=a
类似地,由于 (±2)4=16,
则我们把 叫做 的 次方根.
4
2. n次方根的性质
性质探究
观察:当 n 是奇数时,
观察:当 n 是偶数时,
3. 根式的概念
式子叫做根式,其中 n 叫做根指数, 叫做被开方数
问题1:负数有没有偶次方根?
追问1:0的n次方根是
3. 根式的概念
不一定
①当n为奇数时,
②当n为偶数时,
4. 巩固练习
例1 求下列各式的值:
(1) ;(2) ;(3) ;(4) .
解:
(1) ;
(2) ;
(3)
(4)
根据n次方根的定义和运算,我们知道
___________________(a>0)
___________________(a>0)
也就是说,当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时,根式可以表示成分数指数幂的形式.
探究
问题 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否 也能表示为分数指数幂的形式呢?
事实上,任何一个根式都可以表示为分数指数幂的形式,例如:
探究
4.分数指数幂
我们希望整数指数幂的性质对分数指数幂的性质仍然适用,由此,我们规定:
正数的正分数指数幂的意义是:
正数的负分数指数幂的意义是:
规定0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义.
5.分数指数幂的运算性质
同底数幂相乘,底数不变,指数相加
幂的乘方,底数不变,指数相乘
积的乘方,等于积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘
同底数幂相除,底数不变,指数相减
注意:①法则的逆用:
②当a<0,b<0时运算法则不一定成立. 只有当a>0,b>0时运算法则才一定成立.
5.分数指数幂的运算性质
巩固练习
例2 求值:(1) ;(2) .
解:
(1)法一;
(2)法一.
法二;
法二.
法三.
解:
例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中a>0).
; .
(1) ;
(2) .
巩固练习
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
解:
巩固练习
一般地,无理数指数幂ax(a>0,x为无理数)是一个确定的实数.这样,我们就将指数幂ax(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数. 实数指数幂是一个确定的实数.
6.无理数指数幂及其运算性质
实数指数幂也满足分数指数幂的所有性质
D
A
B
课堂检测:
练习和作业
1、练习(1)P107 NO.1、2、3;(2)P109 NO.1、2
2、作业:(1)P109 习题4.1;(2)《课时作业》P250《基础巩固》