5.2.4 二次函数的图像和性质-第4课时 课件（26张ppt）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

5.2.4 二次函数的图像和性质-第4课时
第5章 二次函数
教学目标
01
能用配方法把二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)转化成顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)
02
能根据二次函数的一般式描述函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等
二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)的图像和性质
Q1-1：如何平移y=ax2(a≠0)的图像得到y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像？
Q1-2：请描述y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质。
当a>0时，图像开口向上，顶点坐标为：(h,k)，对称轴为：x=h，图像先减后增，当x=h时，函数有最小值k；
01
复习引入
向右平移h个单位，向上平移k个单位
当a<0时，图像开口向下，顶点坐标为：(h,k)，对称轴为：x=h，图像先增后减，当x=h时，函数有最大值k。
∵y=2x2向右平移2个单位，向上平移1个单位，即可得到y=(x-2)2+1；
∴y=2x2向右平移2个单位，向上平移1个单位，即可得到y=x2-4x+5。
【举例】y=x2-4x+5
01
情境引入
Q2：y=ax2+bx+c(a≠0)的图像能否由y=ax2(a≠0)的图像平移得到？
配方得：y=x2-4x+4+1=(x-2)2+1
【猜想】y=ax2+bx+c(a≠0)的图像可以由y=ax2(a≠0)的图像平移得到
【验证】
将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方法转化成顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x2+????????x)+c=a[x2+????????x+(????????????)2-(????????????)2]+c=a(x+????????????)2-????????????????+c=a(x+????????????)2+?????????????????????????????
?
01
情境引入
y=ax2
向左平移????????????个单位长度
?
向上平移?????????????????????????????个单位长度
?
y=a(x+????????????)2+?????????????????????????????
?
02
知识精讲
一般式转化为顶点式
一般式转化为顶点式：y=ax2+bx+c=a(x+????????????)2+?????????????????????????????(a≠0)
?
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是由y=ax2(a≠0)的图像向左平移????????????个单位长度，向上平移?????????????????????????????个单位长度得到
?
练一练1：将y=????????x2-6x+21转化为顶点式。
?
【分析】y=????????(x2-12x)+21
=????????(x2-12x+36-36)+21
=????????(x-6)2-18+21
=????????(x-6)2+3
?
02
知识精讲
练一练2：y=????????x2-6x+21的图像是由y=????????x2的图像怎样变换得到？
?
02
知识精讲
【分析】y=????????x2-6x+21=????????(x-6)2+3的图像是由y=????????x2的图像向右平移6个单位长度，向上平移3个单位长度得到
?
练一练3：请描述y=????????x2-6x+21的图像和性质。
?
02
知识精讲
【分析】y=????????x2-6x+21=????????(x-6)2+3，
图像开口向上，
顶点坐标为：(6,3)，
对称轴为：x=6，
当x<6时，y随x增大而减小，当x>6时，y随x增大而增大，
当x=6时，函数有最小值3。
?
a的正负
图像
开口
顶点坐标
对称轴
增减性
a>0
向上
(-,)
直线x=-
当x<-时，y随x增大而减小
当x>-时，y随x增大而增大
当x=-时，y取最小值
a<0
向下
(-,)
直线x=-
当x<-时，y随x增大而增大
当x>-时，y随x增大而减小
当x=-时，y取最大值
知识精讲
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质
02
知识精讲
一般式y=ax2+bx+c(a≠0)→顶点式y=a(x+????????????)2+?????????????????????????????(a≠0)
?
例1、用配方法把下列函数写成y=a(x-h)2+k的形式，并画出函数图像，写出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。
(1)y=x2+6x+1；
(2)y=2x2+8x-8；
(3)y=-3x2-6x+1。
03
典例精析
(1)y=x2+6x+1；
解：(1)y=(x2+6x+9-9)+1
=(x+3)2-9+1
=(x+3)2-8；
图像开口向上，
顶点坐标为：(-3,-8)，
对称轴为：x=-3，
当x<-3时，y随x增大而减小，当x>-3时，y随x增大而增大，
当x=-3时，函数有最小值-8。
03
典例精析
(2)y=2x2+8x-8；
(2)y=2(x2+4x+4-4)-8
=2(x+2)2-8-8
=2(x+2)2-16；
图像开口向上，
顶点坐标为：(-2,-16)，
对称轴为：x=-2，
当x<-2时，y随x增大而减小，当x>-2时，y随x增大而增大，
当x=-2时，函数有最小值-16。
03
典例精析
(3)y=-3x2-6x+1。
(3)y=-3(x2+2x+1-1)+1
=-3(x+1)2+3+1
=-3(x+1)2+4；
图像开口向下，
顶点坐标为：(-1,4)，
对称轴为：x=-1，
当x<-1时，y随x增大而增大，当x>-1时，y随x增大而减小，
当x=-1时，函数有最大值4。
03
典例精析
例2、(1)抛物线y=x2-2x+3对称轴为（　　）
A. 直线x=-1 B. 直线x=-2
C. 直线x=1 D. 直线x=2
【法一：配方法】
∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2，
∴对称轴为直线x=1。
C
对称轴
直线x=-
03
典例精析
【法二：公式法】
∵a=1，b=-2，
∴对称轴为直线x=-????????????=1。
?
公式法更简单
例2、(2)若二次函数y=2x2-ax-a+1的图像的对称轴是y轴，则a的值是（　　）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
【公式法】
∵a=2，b=-a，
∴对称轴为直线x=-????????????=????????=0。
?
A
03
典例精析
例3、(1)二次函数y=2x2-x，当x_____时，y随x增大而增大，当x_____时，y随x增大而减小。
【分析】∵a=2>0，b=-1，
∴x对=-????????????=????????。
?
>????????
?
?
03
典例精析
a的正负
对称轴
增减性
a>0
直线x=-
当x<-时，y随x增大而减小
当x>-时，y随x增大而增大
当x=-时，y取最小值
例3、(2)已知二次函数y=-x2+bx+c，当2b≤4
03
典例精析
a的正负
对称轴
增减性
a<0
直线x=-
当x<-时，y随x增大而增大
当x>-时，y随x增大而减小
当x=-时，y取最大值
【分析】
∵a=-1<0，
∴x对=-??????????=????????，
∴当x>????????时，y随x增大而减小，
∵当2?
例4、(1)若二次函数y=x2-6x+c的图像过A(-1,y1)，B(2,y2)，C(3+????,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2
C. y2>y1>y3 D. y3>y1>y2
?
【分析】
将x1=-1，x2=2，x3=3分别代入，
可得：y1=7+c，y2=-8+c，y3=-7+c，
即y1>y3>y2。
B
03
典例精析
例4、(2)若A(-????????????,y1)，B(-????????,y2)，C(????????,y3)为二次函数y=-x2+4x-5的图像上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A. y1B. y2C. y3D. y1?
A
法二：利用增减性
∵a=-1<0，-????????????=2，
当x<2时，y随x的增大而增大，
?
∵-????????????<-????????∴y1?
03
典例精析
【分析】法一：
同上题——直接代入x值，求出y值，再比较大小
例5、(1)抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线_____，它必定经过点_____和_____。
【分析】
x=-????????????=-2
?
∵过定点，
∴y的值与k无关，
∴含有k的项合并同类项后，系数为0。
x=-2
∵y=(k-1)x2+(2-2k)x+1
=(x2-2x)k+(-x2+2x+1)，
∴x2-2x=0，解得：x=0或x=2，
∴定点为(0,1)和(2,1)。
(0,1)
(2,1)
03
典例精析
例5、(2)二次函数y=ax2+2ak+ak2+k，当k取不同值时，图像顶点所在的直线是（　　）
A. y=x
B. x轴
C. y=-x
D. y轴
【分析】
1、当k取不同值时，顶点在变
2、两点确定一条直线
【解题策略】赋值法：令k=0，k=-1
1、先分别这两种情况下求出二次函数的顶点
2、再用待定系数法求过这两点的直线
03
典例精析
03
典例精析
例5、(2)二次函数y=ax2+2ak+ak2+k，当k取不同值时，图像顶点所在的直线是（　　）
A. y=x
B. x轴
C. y=-x
D. y轴
C
设过A、B两点的直线解析式为y=kx+b，
则????=?????????+????=????，解得：????=????????=?????，即y=-x。
?
令k=0，原函数可化为y=ax2，
此时顶点坐标为A(0,0)；
令k=1，原函数可化为y=a(x+1)2+1，
此时顶点坐标为B(-1,1)；
课后总结
一般式转化为顶点式：y=ax2+bx+c=a(x+????????????)2+?????????????????????????????(a≠0)
?
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是由y=ax2(a≠0)的图像向左平移????????????个单位长度，向上平移?????????????????????????????个单位长度得到
?
课后总结
a的正负
图像
开口
顶点坐标
对称轴
增减性
a>0
向上
(-,)
直线x=-
当x<-时，y随x增大而减小
当x>-时，y随x增大而增大
当x=-时，y取最小值
a<0
向下
(-,)
直线x=-
当x<-时，y随x增大而增大
当x>-时，y随x增大而减小
当x=-时，y取最大值
一般式y=ax2+bx+c(a≠0)→顶点式y=a(x+????????????)2+?????????????????????????????(a≠0)