人教版 九年级上册 第二十二章 二次函数26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质课件(共18张PPT)

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26.2 二次函数的图象与性质
第26章 二次函数
1. 二次函数 y = ax2 的图象与性质
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
例1 画出二次函数 y = x2 的图象.
9
4
1
0
1
9
4
典例精析
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值：
二次函数 y = ax2 的图象
3. 连线：如图，再用光滑曲线顺次连结各点，就得到 y = x2 的图象．
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面内描点 (x，y)；
-3
3
o
3
6
9
当取更多个点时，函数 y = x2 的图象如下：
x
y
这样的曲线通常把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y 轴
对称，y 轴就是它的
对称轴.
抛物线与它的对称
轴的交点叫做抛物线
的顶点
练一练：画出函数 y = -x2 的图象.
y
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = -x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　
y = x2
y = -x2
y = x2
y = -x2
1. 顶点都在原点；
3. 当 a＞0 时，开口向上；
当 a＜0 时，开口向下.
二次函数 y = ax2 的图象特征：
知识要点
2. 图象关于 y 轴对称；
思考1：从抛物线 来看，开口大小与 a 的大小有什么关系？
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
当 a＞0 时，a 越大，开口越小.
当 a＜0 时，a 越小（即 a 的绝对值越大），开口越小.
思考2 从抛物线 来看，开口大小与 a 的大小有什么关系？
y＝ax2 a＞0 a＜0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，在 x 轴上方
开口向下，在 x 轴下方
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当 x = 0 时，y最小值 = 0
当 x = 0 时，y最大值 = 0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
知识要点
y
O
x
y
O
x
1. 函数 y = 2x2 的图象的开口 ，对称轴 ，顶点是 ；
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ；
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 .
向上
y 轴
(0，0)
减小
增大
2. 函数 y = -3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 .
在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；
在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 .
向下
y 轴
(0，0)
减小
增大
3. 如右图，观察函数 y = (k - 1)x2 的图象，则 k 的取值范围是 .
k＞1
例 已知二次函数 y = 2x2.
(1) 若点 (－2，y1) 与 (3，y2) 在此二次函数的图象上，
则 y1_____ y2 (填“＞”“＝”或“＜”)；
＜
(2) 如图，此二次函数的图象经过点 (0，0)，长方形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为 2，求图中阴影部分的面积之和．
二次函数 y＝ax2 的图象关于 y 轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象上的点具有对称性转化到同一变化区域中 (全部为升或全部为降)，根据对称点的高低去比较函数值的大小；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
方法总结
已知 是二次函数，且当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，则 k = .
分析： 是二次函数，即二次项的系数不为 0，x 的指数等于 2. 又因当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，即说明二次项的系数大于 0. 因此，
解得 k = 2.
2
练一练
二次函数 y = ax2 的图象及性质
画法
描点法
根据对称性对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
7. 已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于 A、B 两点，求出 A、B 两点的坐标，并求出三角形 AOB 的面积．
B
B
解：由题意得
解得
∴ 两交点坐标为 A (4，16) 和 B (-1，1)．
∵ 直线 y＝3x＋4 与 y 轴相交于点 C (0，4)，即 CO＝4，
∴ S△ACO＝ ×4×4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2.
∴ S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝10.