江苏省泰州市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省泰州市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 686.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-28 14:14:35 | ||
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文档简介
泰州市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一 单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.）
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知正项等比数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
5.过原点的直线与双曲线交于两点，点为双曲线上一点，若直线的斜率为2，则直线的斜率为（ ）
A.4 B.1 C. D.
6.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）
A. B. C. D.
7.在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为（ ）
A. B. C. D.8
二 多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）
9.若三条直线不能围成三角形，则的值可以是（ ）
A.2 B.-2 C. D.
10.设是无穷数列，，则下面给出的判断中，正确的有（ ）
A.若是等差数列，则是等差数列
B.若是等差数列，则是等差数列
C.若是等比数列，则是等比数列
D.若是等差数列，则是等差数列
11.已知直线与圆交于两点，点满足，若的中点为，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知分别为椭圆和双曲线的公共左，右焦点，（在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点，若，则下列说法正确的是（ ）
A.的周长为 B.双曲线的离心率为
C.椭圆的离心率为 D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设为实数，则双曲线的焦距为__________.
14.已知直线与轴 轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为__________.
15.已知椭圆焦点分别为，且是抛物线焦点，若是与的交点，且，则的值为__________.
16.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长为3，往里第二个正方形为，往里第个正方形为.那么第7个正方形的周长是__________，至少需要前__________个正方形的面积之和超过20.（本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：）.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率：
（2）渐近线方程是，虚轴长为4.
18.已知的顶点边上的中线所在直线方程为边上的高所在直线方程为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程.
19.已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为12，点到轴的距离为9.
（1）求的值；
（2）若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点.求线段的长.
20.数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21.已知等差数列满足，其中为的前项和，递增的等比数列满足，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设的前项和为，求；
（3）设的前项和为，若恒成立，求实数的最大值.
22.已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的的标准方程；
（2）若直线的斜率分别为，且，求的取值范围.
泰州市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
参考答案
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B D C B D C
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
题号 9 10 11 12
答案 ABC AD AC BCD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.27 15. 16.，
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）由题意，，解得，则，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由题意，当双曲线焦点在轴上时，，解得，
所以双曲线的标准方程为；
当双曲线焦点在轴上时，，解得，
所以双曲线的标准方程为.
综上所述，双曲线的标准方程为或.
18.【解析】（1）边上的高所在直线方程为，
，且，即，
的顶点直线方程，
联立，解得：顶点的坐标为；
（2）所在直线方程为，设点，
是中点，，
在所在直线方程为上，
，解得：，
的方程为：，即.
19.【解析】（1）设，且，
则.
（2）由（1）知抛物线，焦点，直线，.
联立，得，设，
则，
.
20.【解析】（1），则，
，两式相除得：，
当时，，
，即，
当时，，
，即，
综上所述，的通项公式为：；
（2）由题设及（1）可知：，
.
21.【解析】（1）设等差数列的公差为，
.
设等比数列公比为（其中），因为，
由，可得，解得或-1（舍去）；
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
则①.
②
由①减去②得，
则，所以的前项和.
（3）由（1）可知，，
则
恒成立，恒成立，
单调递增，时，，
最大值为.
22.【解析】（1）由椭圆的离心率为，左顶点为，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，，
因为直线与椭圆交于两点，
由题可知，直线斜率为0时，，
所以直线的斜率不为0，所以设直线
联立方程，得，
所以，
所以
，解得，
此时恒成立，
所以直线的方程为直线，直线过定点，
此时，
，令
，
令在上单调递减，
所以的取值范围为.
数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一 单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.）
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知正项等比数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
5.过原点的直线与双曲线交于两点，点为双曲线上一点，若直线的斜率为2，则直线的斜率为（ ）
A.4 B.1 C. D.
6.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）
A. B. C. D.
7.在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为（ ）
A. B. C. D.8
二 多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）
9.若三条直线不能围成三角形，则的值可以是（ ）
A.2 B.-2 C. D.
10.设是无穷数列，，则下面给出的判断中，正确的有（ ）
A.若是等差数列，则是等差数列
B.若是等差数列，则是等差数列
C.若是等比数列，则是等比数列
D.若是等差数列，则是等差数列
11.已知直线与圆交于两点，点满足，若的中点为，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知分别为椭圆和双曲线的公共左，右焦点，（在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点，若，则下列说法正确的是（ ）
A.的周长为 B.双曲线的离心率为
C.椭圆的离心率为 D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设为实数，则双曲线的焦距为__________.
14.已知直线与轴 轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为__________.
15.已知椭圆焦点分别为，且是抛物线焦点，若是与的交点，且，则的值为__________.
16.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长为3，往里第二个正方形为，往里第个正方形为.那么第7个正方形的周长是__________，至少需要前__________个正方形的面积之和超过20.（本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：）.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率：
（2）渐近线方程是，虚轴长为4.
18.已知的顶点边上的中线所在直线方程为边上的高所在直线方程为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程.
19.已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为12，点到轴的距离为9.
（1）求的值；
（2）若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点.求线段的长.
20.数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21.已知等差数列满足，其中为的前项和，递增的等比数列满足，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设的前项和为，求；
（3）设的前项和为，若恒成立，求实数的最大值.
22.已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的的标准方程；
（2）若直线的斜率分别为，且，求的取值范围.
泰州市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
参考答案
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B D C B D C
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
题号 9 10 11 12
答案 ABC AD AC BCD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.27 15. 16.，
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）由题意，，解得，则，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由题意，当双曲线焦点在轴上时，，解得，
所以双曲线的标准方程为；
当双曲线焦点在轴上时，，解得，
所以双曲线的标准方程为.
综上所述，双曲线的标准方程为或.
18.【解析】（1）边上的高所在直线方程为，
，且，即，
的顶点直线方程，
联立，解得：顶点的坐标为；
（2）所在直线方程为，设点，
是中点，，
在所在直线方程为上，
，解得：，
的方程为：，即.
19.【解析】（1）设，且，
则.
（2）由（1）知抛物线，焦点，直线，.
联立，得，设，
则，
.
20.【解析】（1），则，
，两式相除得：，
当时，，
，即，
当时，，
，即，
综上所述，的通项公式为：；
（2）由题设及（1）可知：，
.
21.【解析】（1）设等差数列的公差为，
.
设等比数列公比为（其中），因为，
由，可得，解得或-1（舍去）；
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
则①.
②
由①减去②得，
则，所以的前项和.
（3）由（1）可知，，
则
恒成立，恒成立，
单调递增，时，，
最大值为.
22.【解析】（1）由椭圆的离心率为，左顶点为，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，，
因为直线与椭圆交于两点，
由题可知，直线斜率为0时，，
所以直线的斜率不为0，所以设直线
联立方程，得，
所以，
所以
，解得，
此时恒成立，
所以直线的方程为直线，直线过定点，
此时，
，令
，
令在上单调递减，
所以的取值范围为.
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