2023-2024学年第一学期三明市四地四校联考期中考试联考协作卷
高二数学
（满分 150分，完卷时间 120分钟）
学校__________ 班级________ 姓名___________ 座号_______
一、单选题（共 8题，每题 5分，共 40分。在每小题的四个选项中，只有一项是正确的）
1．直线 x-y+2=0的倾斜角是（ ）
A．30 B．45 C．60 D．135
1 2 ．已知向量a 1,2, ，b 3,x, 2 2 ，且 a b，则实数
x等于（ ）
A 1．1 B． 2 C
2 D 1． 3 ． 4
3．椭圆3x2 4y2 12的焦点坐标为（ ）
A． 1,0 B． 0, 1 C． 7,0 D． 0, 7
4．若直线 y ax c经过第一、二、三象限，则有（ ）
A． a 0,c 0 B．a 0,c 0
C．a 0,c 0 D．a 0,c 0
5．已知v1,v2分别为直线 l1, l2的方向向量（ l1, l2不重合），n1,n2 分别为平面 ， 的法向量（ ，
不重合），则下列说法中，错误的是（ ）
A．v1//v2 l1//l2 B． v1 n1 l1 C．n1//n2 // D．n1 n2
6．已知直线 l : 3x y 3 0与圆 x2 y a 2 9相切，则实数 a的值为（ ）
A．3 B．6 C． 3或 5 D．3或 9
7．已知 A 3,0 ,B 0,3 ，从点 P( 1,0)射出的光线经 y轴反射到直线 AB上，又经过直线 AB反射
到 P点，则光线所经过的路程为（ ）
A．2 10 B．6 C． 2 5 D．2 6
8．过点(0,2)引直线 l与圆 x2 y2 2相交于 A，B两点，O为坐标原点，当⊿AOB面积取最大值时，
直线 l的斜率为（ ）
A 3 2． B． C．±1 D． 3
3 2
二、多选题（共 4题，每题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选
错的得 0 分.）
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线 l：x+y+2=0在 y轴上的截距为 2
B．直线 x+y+1=0的方向向量为（1，-1)
C．经过点P 2,1 ，且在 x，y轴上截距相等的直线方程为 x+y-3=0
D．已知直线 l过点 2,1 ，且与 x，y轴正半轴交于点 A B两点，则△AOB面积的最小值为 4
高二数学试卷（共 4 页，第 1页）
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10．已知空间向量a 1,0,2 ，b 1,1,1 ，则（ ）
A． 2a b 3, 1,3 B． = 2
1 1 1
C a b 10 D a , , ． ． 在b 的投影向量的坐标是
3 3 3
11．设圆O： x2 y2 r 2 r N* ，点 A 3,4 ，若圆O上存在两点到A的距离为 2，则 r的可能取值
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成
的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米
德体.如图，这是一个棱数 24，棱长为2 2的半正多面体，它所有顶点都
在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面
体所得的，下列结论正确的有（ ）
A．AG⊥平面 BCDG B．若 E是棱 BC的中点，则 DE与平面 AFG平行
C 4 3 128．点 B到平面 ACD的距离为 D．该半正多面体的体积为
3 3
三、填空题（共 4题，每题 5分，20分）
13．两条平行直线3x 4y 5 0与 ax 8y 20 0间的距离是 ．
14.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，异面直线 AC1与 B1C所成的角的余弦值为____________
D1 C1
A1 B1
D C
A B
2 2
15 ．一个圆经过椭圆 + = 1的三个顶点，且圆心在 x轴的正半轴上，则该圆的标准方程
9 3
为 .
16．在平面直角坐标系中，两动直线 L1: kx-y+16-8k=0与 L2: x+ky+8k+2=0相交于点 A，O为原
点，则线段 OA的长度的最大值是___________
高二数学试卷（共 4 页，第 2页）
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四、解答题（共 6题，17题 10分，其他每题 12分，70分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
17．在平面直角坐标系中，已知⊿ABC中，A(1,-2)，B(4,2)，C(3,4)，求:
(1) ⊿ABC中 AB边上的高的直线方程；
(2) ⊿ABC的面积。
18．已知圆C经过 A 2,0 ， B 4,0 两点，且与 y轴的正半轴相切
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线 L: x y 3 = 0 与圆C交于M ,N，求 MN ．
19．如图，在正四棱锥 S ABCD中，O为顶点 S在底面 ABCD内的投影，P为侧棱 SD的中点，
且 SO OD =2
(1)证明:SB∥平面 ACP.
(2)求直线 BC与平面 ACP的所成角的余弦值
2 2
20．如图，F1,F
x y
2分别是椭圆C： 2 + 2 =1（a b 0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是a b
直线 AF2与椭圆C的另一个交点， F1AF2 60 ．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知△AF1B的面积为40 3，求椭圆的标准方程．
高二数学试卷（共 4 页，第 3页）
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21．如图，在四棱锥P ABCD中，平面 PAB 平面 ABCD，
AB BC, AD∥BC, AD 3，PA BC 2AB 2,PB 3．
(1)求证： BC PB；
(2)求平面PCD与平面 ABCD夹角的余弦值；
(3)棱 PA上是否存在点 E，它与点 B到平面 PCD的距离相等，若存
在求线段 BE的长；若不存在说明理由．
22．已知圆 C: 2 + 2 = 2与圆（x 2)2 + 2 = 3的相交弦长为 3
(1)求圆 C的半径 R的值；
(2)若对于 R<2的圆，已知点 P 0,1 ，点M，N在圆 C上，直线MN不经过点 P，且直线PM，PN
的斜率之和为 2，求证：直线MN经过一定点，并求出该定点的坐标。
y
P
M
O x
N
高二数学试卷（共 4 页，第 4页）
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高二数学答案解析部分
一．单选题（共 8 题，每题 5 分，共 40 分。在每小题的四个选项中，只有一项是正确的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A A B D C D
二．多选题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
题号 9 10 11 12
答案 BD AD BCD AC
12．【答案】AC
【分析】根据题意作图，结合正方体的几何性质，可得 AB 的正误，建立空间直角坐标值，利用线线角与点面
距的公式，可得 CD 的正误.
【详解】由题意，可作图如下：
对于 A，根据正方体的几何性质，易知 AG 平面 BCDG 故 A 正确的；
对于 B，根据正方体的几何性质，易知 CG 平面 AFG，若 ED 与平面 AFG 平行，则要有 ED⊥CG，在正方形
BCDG 中这是不可能的。故 B 是错误的；
对于 C 建立空间直角坐标系，如下图：
由图可知B 0,2,4 ， A 2,0,0 ，C 2,4,4 ，D 4,2,4 ，
高二数学试卷（共 6 页，第 1 页）
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在平面 ACD内取 AD 2,2,4 ， AC 0,4,4 ，
r uuur
r n AD 0
设平面 ACD的法向量n x, y, z ，由 r uuur ，
n AC 0
2x 2y 4z 0 x y
可得 ，化简可得 ，令 y 1，则 x 1， z 1，
4y 4z 0 z y
r
所以平面 ACD的一个法向量n 1,1, 1 ，取 AB 2,2,4
AB n 2 2 4 4 3
设点 B 到平面 ACD的距离d ，故.C 正确
n 1 1 1 3
对于 D 由图可知， BCDG由图可知，该阿基米德体的定点分为为正方体各棱的中点，
则其是由六个正方形和八个正三角形组成的，所以该立体图形的体积
1 1 160
V=4×4×4-8× × × 2 × 2 × 2 = ，故 D 是错误的。
3 2 3
故选：AC.
三．填空题（共 4 题，每题 5 分，20 分）
13．【答案】1 14．【答案】0
15．【答案】(x-1)2+y2=4 16．【答案】8
四．解答题（共 6 题，17 题 10 分，其他每题 12 分，70 分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
17．【答案】
（1）3x+4y-25=0 (2) 5
2 2 4
详解：（1）依题意可知直线 AB 的斜率k = = ……………….1 分
1 4 3
3
故 AB 边上的高的斜率k = ……………….2 分
4
3
即 AB 边上的高的直线方程为：y-4= （x-3） ……………….4 分
4
化简得 3x+4y-25=0 ………………5 分
4
（2）依题意可知直线 AB 的方程为 y-2= （x-4） ……………..6 分
3
化简得 4x-3y-10=0 ……………..7 分
|4×3 3×4 10|
故点 C 到直线 AB 的距离为d = = 2 ……………8 分
√32+42
2 2
又|AB|=√（4 1） + （2 + 2） =5 ……………9 分
1
故⊿ABC 的面积 S= × 5 × 2=5 ……………10 分
2
高二数学试卷（共 6 页，第 2 页）
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18．【答案】
(1) (x 3)2 (y 2 2)2 9； (2) 2 5 .
【详解】（1）设圆的标准方程为： (x a)2 (y b)2 r2 ， …………….1 分.
由圆C 经过 A 2,0 ，B 4,0 两点，且与 y轴的正半轴相切，
(2 a)2 (0 b)2 r2 a 3
得 (4 a)
2 (0 b)2 r2 ，解得 b 2 2 ， …………..5 分
a r,b 0
r 3
所以圆C 的标准方程为： (x 3)2 (y 2 2)2 9 . …………….6 分
| 3 2 2 3 |
（2）圆心C(3,2 2)到直线 l : x y 3 0的距离为 d 2 3， …….8 分
1 1
所以 MN 2 r2 d 2 2 32 22 =2 5， ………….12 分
19．【答案】
3
(1)见解析；(2) √
2
【详解】(1)证明:连接 OP，因为 O，P 分别为 BD 和 SD 的中点，所以OP / /SB， …….2 分
又OP 平面 PAC， SB 平面 PAC，所以SB / / 平面 PAC. …….5 分
(2)解:如图，以 O 为坐标原点，以 OA 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，
OS 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系O xyz . ……..6 分
设 OD=OS=OA=OB=OC=2
则 A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(-2,0,0)，S(0,0,2)，D(0,-2,0)，P(0,-1,1) ……..7 分
则 =(-4,0,0) ， =(-2,-1,1)， = (-2,-2,0) ……….8 分
r
设平面 ACP 的法向量为n x, y, z ，
= 4 = 0
则{
= 2 + = 0
所以 x=0,令 y 1得 z=1，则平面 ACP 的一个法向量 =(0,1,1) ……..10 分
高二数学试卷（共 6 页，第 3 页）
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设 BC 与平面 ACP 所成的角为θ
| | 2 1
cos(90° θ) = sinθ = = =
| | √2 2√2 2
θ=30 ………..11 分
3
故直线 BC 与平面 PAC 的余弦值为√ ………..12 分
2
20．【答案】
1 2 2
（1） ；（2） + = 1.
2 100 75
【详解】解：（1） F1AF2 60
a 2c ……………2 分
c 1
e ； …………..4 分
a 2
（2）设 BF2 m；则 BF1 2a m， ……..5 分
2 2 2
在△BF1F2 中， BF BF
1 2 F1F2 2 BF2 F1F2 cos120 ……6 分
(2a m)2 m2 a2 am， ………….7 分
3
m a ………………8 分
5
1
△AF1B 面积 S F2F1 AB sin 60 ……….9 分
2
1 3 3
a (a a) 40 3 …………10 分
2 5 2
a 10,c 5,b 5 3 ． ………..11 分
2 2
故椭圆的标准方程为 + = 1 ……..12 分
100 75
21．【答案】
10 7
(1)证明见解析 (2) (3)
5 3
高二数学试卷（共 6 页，第 4 页）
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【详解】（1）证明：因为平面PAB 平面 ABCD，
且平面PAB 平面 ABCD=AB，
因为BC AB，且BC 平面 ABCD
所以BC 平面PAB． ……..2 分
因为PB 平面PAB，所以BC PB． ………..4 分
（2）解：在△PAB中，因为PA 2,PB 3, AB 1，
所以PA2 AB2 PB2，所以PB AB． ……….5 分
所以，建立空间直角坐标系B xyz ，如图所示．
uuur uuur
所以 A( 1,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0), D( 1,3,0), P(0,0, 3),CD ( 1,1,0),PC (0,2, 3)， ……..6 分
r
易知平面 ABCD的一个法向量为n (0,0,1)．
ur
设平面PCD的一个法向量为m (x, y, z)，
r uuur
m CD=0 x=y ur
则 r uuur ，即 ，令 z=2，则m ( 3, 3,2)． …………7 分
m PC=0 2y= 3z
r ur
r ur n m 2 10
则cos n,m r ur ，
| n | | m | 3 3 4 5
10
即平面PCD与平面 ABCD夹角的余弦值为 ． ……………8 分
5
（3）解：B、E 到平面 PCD 的距离相等，则有BE∥平面PCD …….9 分
uuur uuur
因为点 E 在棱PA，所以 AE AP, [0,1]．
uuur
因为 AP (1,0, 3)．
uuur uuur uuur uuur
所以 AE ( ,0, 3 ),BE BA AE ( 1,0, 3 )． ……..10 分
ur
又因为BE∥平面PCD，m 为平面PCD的一个法向量，
uuur ur 1
所以BE m 0，即 3( 1)+2 3 =0，所以 ． ………11 分
3
uuur 2 3 uuur 7
所以BE ,0, ，所以BE | BE | ． ……..12 分
3 3 3
高二数学试卷（共 6 页，第 5 页）
{#{QQABBQYEogAoABJAARgCAQVoCEEQkAEACAoGQBAMoAAAgRFABAA=}#}
22．【答案】
(1)R=1 或 R=√13
(2)存在 Q（-1,-1）．
【详解】（1）Q 依题意可知两圆的相交弦与 x 轴垂直
2 + 2 = 2
联立方程组{ 2 2 ………2 分 ( 2) + = 3
1+ 2 2 2
得x = 故有 1+
2 √3
( ) + ( ) = 2 ………3 分
4 4 2
化简得 R4-14R2+13=0 ………4 分
故得 R2=1 或 R2=13 ………..5 分
故圆C 的半径为 R=1 或 R=√13 ………..6 分
（2）由（1）及 R<2 可知 R=1，则圆C 的方程为 x2 y2 1， …….7 分
设M x1, y1 ，N x2 , y2 ，
当直线MN 的斜率存在，则可设直线MN 的方程为 y kx m m 1 ，
代入圆方程可得： 1 k2 x2 2mkx m2 1 0 4 m2 k2，则 1 0，得 m2 k2 1 0，
2mk m2 1
且 x1 x2 ， x x ， ……….9 分
1 k 2 1 2 1 k 2
y 1 y
k k 1 2
1 (y1 1)x2 (y2 1)x1
所以 PM PN
x1 x2 x1x2
(kx1 m 1)x2 (kx2 m 1)x1 2kx1x2 (m 1)(x1 x2)
x1x2 x1x2
(m 1)(x x ) (m 1) 2km 2km
2k 1 2 2k 2k
2 ． ……………10 分 x1x2 m 1 m 1
2
又Q 直线PM ，PN 斜率之和为 2， 2k = 2
+1
化简得 m=k-1
代入 y kx m，得 y=kx+k-1=k(x+1)-1，
直线MN 恒过定点 Q(-1,-1)． ………….11 分
y1 1 y1 1 2
当直线 l的斜率不存在时， x2 x1 ， y2 y ， kPM kPN 1 ， x1 x2 x1
2
Q 直线PM ，PN 斜率之和为 2， = 2，解得 x
1
=-1，
1
但 1 x1 1，且 x1 0，故不合题意，舍去．
综上，直线MN 恒过定点 Q(-1,-1)． …………………..12 分
高二数学试卷（共 6 页，第 6 页）
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