1.3.1空间向量坐标系 高中数学人教A版选择性必修1 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
1.3.1 空间直角坐标系
问题1：类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？
学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算．
所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础．
平面向量与平面直角坐标系
在平面内选取一点O和一个单位正交基底{, }，以O为原点，分别以, 的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系Oxy.
x
y
z
i
j
k
O
空间向量与空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}，以点O为原点，分别以, , 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系Oxyz.
空间直角坐标系定义
在空间选定一点O和一个单位正交基底{, , }，以点O为原点，分别以i, j, k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-xyz.
||＝||＝||＝1.
·＝·＝·＝0
Oxy平面
Oyz平面
Oxz平面
①点O叫做原点，向量,, 都叫做坐标向量.
②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，
分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.
它们把空间分成8个部分.
新知1：空间直角坐标系
③画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135(或45°)，∠yOz=90°.
④空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，
食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，
则称该坐标系为右手直角坐标系.
问题2：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
追问1：空间中任意一点A与哪个向量的坐标相同？
追问2：在空间直角坐标系中如何定义 的坐标呢？
平面直角坐标系内 空间直角坐标系内
取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数 ， ，使得 . 我们把有序数对 ， 叫做 的坐标，记作 ， .
取与 轴、 轴、 轴方向相同的单位向量 ， ， 为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使得 .
追问3：对于给定的向量a又该如何定义它的坐标呢？
我们在空间直角坐标系 中可以作 .
我们在空间直角坐标系 中可以作 .
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使
有序实数组 ，， 叫做 在空间直角坐标系 中的坐标，上式可简记为 ， ，
问题3: 在空间直角坐标系 中，对空间任意一点 ，或任意一个向量 ，你能借助几何直观确定它们的坐标 ， ， 吗？
O
x
z
A
B
C
D
思路小结：目前，我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点 或任意一个向量 的坐标呢？
点 的坐标
给定的向量 的坐标
的坐标


应用空间向量基本定理确定坐标
根据几何直观确定 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标
P18-例1. 如图，在长方体中OABC-O'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，
以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O.
(1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标;
(2)写出向量，，的坐标.
析：(1)D'(0, 0, 2)
C(0, 4, 0)
A'(3, 0, 2)
B'(3, 4, 2)
(2)==(0,4,0)
=-=(0,0,-2)
===(0,4,0)－(3,0,0)=(-3,4,0)
=+=(-3,0,0)+(0,4,0)+(0,0,2)=(-3,4,2)
(法1)利用向量的加减及数乘运算，将所求向量尽量用坐标平面内易知坐标的向量表示出来，从而确定该向量的坐标。
练习（第18页）
P18-练习2.在空间直角坐标系Oxyz中,
(1)坐标平面____与x轴垂直，坐标平面_____与y轴垂直，坐标平面____与z轴垂直；
(2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标；
在Oyz平面内的射影坐标为____________
在Oxz平面内的射影坐标为____________
在Oxy平面内的射影坐标为____________
(3)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是___________.
(4)点P(1,3,5)在x轴上的射影坐标为_________.
Oyz
Oxz
Oxy
(0,3,4)
(2,0,4)
(2,3,0)
(-1,-3,-5)
点在平面内的射影：过点作平面的垂线所得的垂足.
点在坐标轴的射影：过点作坐标轴的垂线所得的垂足.
(1,0,0)
规律：在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0.
O
A
B
C
x
y
z
P
空间中的特殊点和对称点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 xOy平面 xOz平面 yOz平面
点的坐标
(x, 0, 0)
(0, y, 0)
(0, 0, z)
(x, y, 0)
(x, 0, z)
(0, y, z)
已知点A(x , y , z) ，则：
①点A关于x轴对称的点为A1___________;
②点A关于y轴对称的点为A2___________;
③点A关于z轴对称的点为A3___________.
④点A关于原点对称的点为A4___________.
⑤点A关于Oxy平面对称的点为A5 __________;
⑥点A关于Oxz平面对称的点为A6 __________;
⑦点A关于Oyz平面对称的点为A7 __________.
(x , y , -z)
(-x , y , z)
(x , -y , z)
(x , -y , -z)
(-x , -y , z)
(-x , y , -z)
(-x , -y , -z)
规律：关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数。
空间任意一点A对应一个，即点A的位置由唯一确定.
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使=x+y+z.
空间点的坐标：在单位正交基底{, , }下，=x+y+z，则有序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.
空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量，作=(如图), 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使=x+y+z. 把有序实数组(x, y, z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，简记作＝(x, y, z).
向量终点的坐标
A(x,y,z)
向量的坐标
OA=(x,y,z)
一一对应
3
6
2
A(6,3,2)
=(6,3,2)
以坐标原点O为起点的向量的坐标和终点A的坐标相同。