1.4.1空间向量直线、平面的平行垂直关系 (3课时) 高中数学人教A版选择性必修1 课件（共37张PPT）
文档属性
| 名称 | 1.4.1空间向量直线、平面的平行垂直关系 (3课时) 高中数学人教A版选择性必修1 课件（共37张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-28 15:39:06 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
1.4.1 空间中直线、平面的平行
问：上节课我们学习了法向量，请同学回答求法向量的步骤？
设法向量
找两向量
列方程组
赋非零值
下结论
直线
平面
方向向量
法向量
位置关系
位置关系
立体几何
空间向量
问题1：前面我们已经学习了用空间向量表示点线面，那么由直线与直线的平行关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？
如图设， 分别是直线， 的方向向量，
∥ ∥
λ∈R，
问题2：由直线与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系呢？
追问：由平面与平面的平行关系，可以得两个面的法向量有什么关系呢？
设，是l1，l2，l的方向向量，是平面α，β的法向量，
l1
l2
l
设，是l1，l2，l的方向向量，是平面α，β的法向量，
l1
l2
l
问题3：由直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，所对应的直线的方向向量与平面的法向量的关系，你能类比推出直线与平面的垂直关系吗？
例2：证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行.
a
b
P
a
b
P
从有限到所有
向量的运算
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
分析：
是否存在P？
找到P
如何判断
P在哪儿？
P在B1C上
如何表示
A1P//面ACD1
如何
确定
向量运算
确定存在
P30-例3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，
线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1.
x
y
z
坐标法
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
Q
方法二：立体几何先证再猜
作A1D的中点交AD1中于Q
1．用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
l
m
练习（第31页）
D
A
B
C
E
F
练习（第31页）
2. 如图, 在四面体ABCD中, E是BC的中点. 直线AD上是否存在点F, 使得AE//CF
基底法
A
B
C
D
E
F
此方程组无解
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
F
E
x
y
z
练习（第31页）
3. 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F分别是面AB1, 面A1C1的中心. 求证：EF//平面ACD1.
线面的 位置关系 向量的 位置关系 向量的运算 向量运算的
坐标表示
其中， 分别是直线 的方向向量；
分别是平面 的法向量.
1.4.1 空间中直线、平面的垂直
设，是l1，l2，l的方向向量，是平面α，β的法向量，
l1
l2
l
设，是l1，l2，l的方向向量，是平面α，β的法向量，
l1
l2
l
B
C
D
D1
A1
B1
C1
A
例4如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, AB=AD=AA1=1,
求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
分析：
直线A1C⊥平面BDD1B1
A1C⊥BD
A1C⊥BB1
其中，n是平面BDD1B1的法向量
B
C
D
D1
A1
B1
C1
A
例4如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, AB=AD=AA1=1,
求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
证明：因为AB= AD =AA1=1,
所以
基底法
B
C
D
D1
A1
B1
C1
A
证明：
则对于平面BDD1B1上任意一点P,
存在唯一的有序实数对 ,
使得 .
在平面BDD1B1上, 取 为基向量,
基底法
例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
l
已知：如图， 求证： .
即平面，的法向量互相垂直.
证明：
因为 ,
又因为 , 而n是平面的法向量,
所以 .
所以
取直线 l 的方向向量u, 平面的法向量为n.
所以u是平面的法向量.
法向量垂直，则两平面垂直。
立体几何问题
证明面面垂直
空间向量问题
证明法向量垂直
转化
还原
向量法
练习（第33页）
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
坐标法
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
E
F
x
y
z
坐标法
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
E
F
x
y
z
空间中直线、平面的平行、垂直
习题课
【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)若点P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点，(1)求证：PQ∥RS.(2)若点M,N分别是BC1,CC1的中点，求证：MN∥平面A1BD.
证明： 以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
证线线平行：证明两直线的方向向量共线(找λ).
x
y
z
基底法
坐标法
P42-3
【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(2)若点M,N分别是BC1,CC1的中点，求证：MN∥平面A1BD.
x
y
z
基底法
坐标法
【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(2)若点M,N分别是BC1,CC1的中点，求证：MN∥平面A1BD.
x
y
z
思考P42-4：一题多法
【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(3)若点G,K分别是DD1,CC1的中点，O为底面ABCD的中心，
求证：平面GHA∥平面D1BK.
x
y
z
P43-12
坐标法
【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(3)若点G,K分别是DD1,CC1的中点，O为底面ABCD的中心，
求证：平面GHA∥平面D1BK.
x
y
z
如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
方法一：基向量法
以它们为空间的一个基底。
例2
能否建系用向量坐标运算证呢？怎么建系？
如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
方法二：法向量法
例2
例2
如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有
棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
方法三：坐标法
1.4.1 空间中直线、平面的平行
问：上节课我们学习了法向量，请同学回答求法向量的步骤？
设法向量
找两向量
列方程组
赋非零值
下结论
直线
平面
方向向量
法向量
位置关系
位置关系
立体几何
空间向量
问题1：前面我们已经学习了用空间向量表示点线面，那么由直线与直线的平行关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？
如图设， 分别是直线， 的方向向量，
∥ ∥
λ∈R，
问题2：由直线与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系呢？
追问：由平面与平面的平行关系，可以得两个面的法向量有什么关系呢？
设，是l1，l2，l的方向向量，是平面α，β的法向量，
l1
l2
l
设，是l1，l2，l的方向向量，是平面α，β的法向量，
l1
l2
l
问题3：由直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，所对应的直线的方向向量与平面的法向量的关系，你能类比推出直线与平面的垂直关系吗？
例2：证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行.
a
b
P
a
b
P
从有限到所有
向量的运算
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
分析：
是否存在P？
找到P
如何判断
P在哪儿？
P在B1C上
如何表示
A1P//面ACD1
如何
确定
向量运算
确定存在
P30-例3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，
线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1.
x
y
z
坐标法
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
Q
方法二：立体几何先证再猜
作A1D的中点交AD1中于Q
1．用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
l
m
练习（第31页）
D
A
B
C
E
F
练习（第31页）
2. 如图, 在四面体ABCD中, E是BC的中点. 直线AD上是否存在点F, 使得AE//CF
基底法
A
B
C
D
E
F
此方程组无解
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
F
E
x
y
z
练习（第31页）
3. 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F分别是面AB1, 面A1C1的中心. 求证：EF//平面ACD1.
线面的 位置关系 向量的 位置关系 向量的运算 向量运算的
坐标表示
其中， 分别是直线 的方向向量；
分别是平面 的法向量.
1.4.1 空间中直线、平面的垂直
设，是l1，l2，l的方向向量，是平面α，β的法向量，
l1
l2
l
设，是l1，l2，l的方向向量，是平面α，β的法向量，
l1
l2
l
B
C
D
D1
A1
B1
C1
A
例4如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, AB=AD=AA1=1,
求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
分析：
直线A1C⊥平面BDD1B1
A1C⊥BD
A1C⊥BB1
其中，n是平面BDD1B1的法向量
B
C
D
D1
A1
B1
C1
A
例4如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, AB=AD=AA1=1,
求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
证明：因为AB= AD =AA1=1,
所以
基底法
B
C
D
D1
A1
B1
C1
A
证明：
则对于平面BDD1B1上任意一点P,
存在唯一的有序实数对 ,
使得 .
在平面BDD1B1上, 取 为基向量,
基底法
例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
l
已知：如图， 求证： .
即平面，的法向量互相垂直.
证明：
因为 ,
又因为 , 而n是平面的法向量,
所以 .
所以
取直线 l 的方向向量u, 平面的法向量为n.
所以u是平面的法向量.
法向量垂直，则两平面垂直。
立体几何问题
证明面面垂直
空间向量问题
证明法向量垂直
转化
还原
向量法
练习（第33页）
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
坐标法
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
E
F
x
y
z
坐标法
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
E
F
x
y
z
空间中直线、平面的平行、垂直
习题课
【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)若点P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点，(1)求证：PQ∥RS.(2)若点M,N分别是BC1,CC1的中点，求证：MN∥平面A1BD.
证明： 以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
证线线平行：证明两直线的方向向量共线(找λ).
x
y
z
基底法
坐标法
P42-3
【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(2)若点M,N分别是BC1,CC1的中点，求证：MN∥平面A1BD.
x
y
z
基底法
坐标法
【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(2)若点M,N分别是BC1,CC1的中点，求证：MN∥平面A1BD.
x
y
z
思考P42-4：一题多法
【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(3)若点G,K分别是DD1,CC1的中点，O为底面ABCD的中心，
求证：平面GHA∥平面D1BK.
x
y
z
P43-12
坐标法
【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(3)若点G,K分别是DD1,CC1的中点，O为底面ABCD的中心，
求证：平面GHA∥平面D1BK.
x
y
z
如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
方法一：基向量法
以它们为空间的一个基底。
例2
能否建系用向量坐标运算证呢？怎么建系？
如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
方法二：法向量法
例2
例2
如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有
棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
方法三：坐标法